湖北省專升本數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則f(x)在x0處（）。

A.必定取得極值

B.必定不取得極值

C.可能取得極值

D.不一定可導(dǎo)

2.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)為（）。

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上除有限個(gè)點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必定（）。

A.可導(dǎo)

B.連續(xù)

C.可積

D.可微

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f'(x)在區(qū)間I上（）。

A.必定大于0

B.必定小于0

C.必定為0

D.可能為0

5.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒展開式為f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，則a1等于（）。

A.f'(x0)

B.f''(x0)

C.f'(x0)/1!

D.f''(x0)/2!

6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上可積，則f(x)在區(qū)間I上（）。

A.必定可導(dǎo)

B.必定連續(xù)

C.必定可微

D.必定可積

7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的拉格朗日中值定理成立，則存在ξ∈(x0,x1)，使得（）。

A.f'(ξ)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

B.f'(ξ)=(f(x0)-f(x1))/(x0-x1)

C.f(ξ)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

D.f(ξ)=(f(x0)-f(x1))/(x0-x1)

8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上（）。

A.必定單調(diào)

B.必定可積

C.必定可微

D.必定存在原函數(shù)

9.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的麥克勞林展開式為f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+…+f^n(0)x^n/n!，則f'(0)等于（）。

A.f(0)

B.f''(0)

C.f''(0)/2!

D.f^n(0)/n!

10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上（）。

A.必定存在原函數(shù)

B.必定單調(diào)

C.必定可微

D.必定可積

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有（）。

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=-x

D.y=ln|x|

2.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有（）。

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=1/x

D.y=sin(x)

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上可積的有（）。

A.y=1/x

B.y=x^2

C.y=sin(x)

D.y=|x|

4.下列說法中，正確的有（）。

A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)=0

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上可積

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上連續(xù)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f'(x)在區(qū)間I上大于0

5.下列說法中，正確的有（）。

A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒展開式為f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上必定存在原函數(shù)

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的麥克勞林展開式為f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+…+f^n(0)x^n/n!，則f(x)在點(diǎn)x0處可微

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=5，則當(dāng)x在x0附近變化時(shí)，f(x)的線性主部為________。

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差為________。

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上可導(dǎo)，則根據(jù)微積分基本定理，f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)可以表示為________。

4.函數(shù)f(x)=e^x的n階麥克勞林展開式中的x^n項(xiàng)系數(shù)為________。

5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且在區(qū)間I上除有限個(gè)點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則根據(jù)黎曼積分的定義，f(x)在區(qū)間I上________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的平均值。

3.求不定積分：∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx

4.計(jì)算定積分：∫[0,π/2]sin^2(x)dx

5.求函數(shù)f(x)=x^2*e^-x在x=1處的泰勒展開式的前三項(xiàng)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.A

8.D

9.B

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.B,D

2.B,D

3.B,C,D

4.A,B,C

5.A,C,D

三、填空題答案

1.5(x-x0)

2.16

3.∫f(t)dt(t屬于I)

4.1/n!

5.可積

四、計(jì)算題答案及過程

1.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x^2]*[(e^x-1+x)/(e^x-1+x)]=lim(x→0)[(e^x-1)^2/x^2(e^x-1+x)]=lim(x→0)[(x^2/x^2)(e^x-1+x)]=lim(x→0)(e^x-1+x)=1

2.解：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的平均值=(1/3-(-1))/∫[f(x)dx]=(1/4)[f(3)-f(-1)]=(1/4)[(27-27+2)-(-1-3+2)]=4

3.解：∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx=∫(x+1)dx=(1/3)x^3+x+C

4.解：∫[0,π/2]sin^2(x)dx=∫[0,π/2](1-cos(2x))/2dx=(1/2)∫[0,π/2](1-cos(2x))dx=(1/2)[x-(1/2)sin(2x)]|0,π/2=(1/2)[π/2-0]=π/4

5.解：f(x)=x^2*e^-x，f'(x)=2x*e^-x-x^2*e^-x，f''(x)=2*e^-x-4x*e^-x+x^2*e^-x，f(1)=1,f'(1)=e^-1,f''(1)=e^-1-4e^-1+e^-1=-2e^-1，f(x)在x=1處的泰勒展開式的前三項(xiàng)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)(x-1)^2/2!=1+e^-1(x-1)-e^-1(x-1)^2

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)的極限與連續(xù)性：函數(shù)的極限是微積分的基礎(chǔ)，包括極限的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法等。函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它描述了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是否平滑變化。函數(shù)的極限與連續(xù)性是函數(shù)微分與積分的基礎(chǔ)。

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的變化率，是微積分的核心概念之一。函數(shù)的微分是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的另一種表達(dá)方式，它描述了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)附近的線性近似。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是函數(shù)優(yōu)化、曲線擬合等應(yīng)用的重要工具。

函數(shù)的積分：函數(shù)的積分是微積分的另一個(gè)核心概念，它包括定積分和不定積分。定積分描述了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的累積效應(yīng)，不定積分是函數(shù)的原始函數(shù)。函數(shù)的積分在求解面積、體積、弧長等問題中有著廣泛的應(yīng)用。

函數(shù)的級(jí)數(shù)：函數(shù)的級(jí)數(shù)是微積分的延伸，它將函數(shù)表示為無窮多項(xiàng)的和。函數(shù)的級(jí)數(shù)包括泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等，它們在信號(hào)處理、物理學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：考察學(xué)生對基本概念的掌握程度，例如函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等。示例：判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否可導(dǎo)，考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義的理解。

多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對多個(gè)概念的綜合應(yīng)用