專題12.7三角形全等的判定3（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）.2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個(gè)直角三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.特別說(shuō)明：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、如圖，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．（1）AC與CE有什么位置關(guān)系？（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）AC⊥CE；（2）見解析【分析】（（1）根據(jù)題意寫出結(jié)論即可．（2）由條件可證明Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠ECD＝∠A，進(jìn)一步可得∠ECA＝90°，可證得結(jié)論．解：（1）．（2）證明：，，，在和中，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AB交AC于點(diǎn)E，CE=DE．連接CD交BE于點(diǎn)F．（1）求證：BC=BD；（2）若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，求∠AED的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）60°．【分析】（1）利用HL直接證明Rt△DEB≌Rt△CEB，即可解決問(wèn)題．（2）首先證明△ADE≌△BDE，進(jìn)而證明∠AED=∠DEB=∠CEB，即可解決問(wèn)題．證明：（1）∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∴△DEB與△CEB都是直角三角形，在△DEB與△CEB中，，∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL），∴BC=BD．（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD；在△ADE與△BDE中，，∴△ADE≌△BDE（SAS），∴∠AED=∠DEB；∵△DEB≌△CEB，∴∠CEB=∠DEB，∴∠AED=∠DEB=∠CEB；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，∴∠AED=60°．【點(diǎn)撥】該命題以三角形為載體，以考查全等三角形的判定及其應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定及其性質(zhì)，來(lái)分析、判斷或推理．2、如圖，在ABC中，ACBC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足．AECF，求證：ACB90．【答案】見解析【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因?yàn)椤螮AC＋ACE＝90°，所以∠ACE＋∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．證明：如圖，在RtACE和RtCBF中，∵ACBC，AECF，∴RtACE≌RtCBF（HL），∴EACBCF，∵EACACE90，∴ACEBCF90，∴ACB1809090．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，與的頂點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D共線，與交于點(diǎn)G，與相交于點(diǎn)，，，．（1）求證：；（2）若，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）1【分析】（1）先證明AC=DF，再根據(jù)HL證明；（2）先證明∠AFG=∠DCH，從而證明?AFG??DCH，進(jìn)而即可求解．（1）證明：∵，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在與中，∵，∴?（HL）；（2）∵?，∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，∴∠AFG=∠DCH，又∵，∴?AFG??DCH，∴HC=GF=1．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握HL和ASA證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．類型二、全等性質(zhì)和“HL”綜合運(yùn)用 3、（2020·江西贛州市·八年級(jí)期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）先用判斷出，得出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法，即可得出結(jié)論．解：（1）理由如下：∵，，∴在和中∴，∴∵，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）成立，理由如下：∵，，∴在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點(diǎn)撥】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．【變式1】已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠C=∠A，根據(jù)平行線的判定即可得到AB∥CD.證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEC=∠BFA=90°在Rt△DEC和Rt△BFA中AB=CDDE=BF∴Rt△DCE≌Rt△BFA（HL）∴AF=CE∴∠C=∠A∴AB∥CD【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.【變式2】如圖，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，由BF=EC可得B