課時規(guī)范練A組基礎對點練1．若直線上有兩個點在平面外，則()A．直線上至少有一個點在平面內(nèi)B．直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C．直線上所有點都在平面外D．直線上至多有一個點在平面內(nèi)解析：根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi)．答案：D2．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面有()A．4個 B．3個C．2個 D．1個解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．答案：A3．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.答案：D4．過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線lA．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：如圖，連接體對角線AC1，顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為eq\r(2).聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴體對角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，體對角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，過A點分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條．答案：D5．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b與α相交或bα或b∥α解析：結(jié)合正方體模型可知b與α相交或bα或b∥α都有可能．答案：D6．若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l(fā)α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l(fā)⊥m”，所以“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件，故選B.答案：B7．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交，充分性成立；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行，則A，B，C，D四點共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要條件．答案：A8．(2018·綿陽診斷)已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是不同的平面，則α⊥β的一個充分條件是()A．lα，mβ，且l⊥mB．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥nC．mα，nβ，m∥n，且l⊥mD．lα，l∥m，且m⊥β解析：依題意知，A、B、C均不能得出α⊥β.對于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又lα，因此有α⊥β.綜上所述，選D.答案：D9．下列命題中，錯誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析：選項A顯然正確．根據(jù)面面垂直的判定定理，選項B正確．對于選項C，設α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ內(nèi)取一點P不在l上，過點P作直線a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，∴a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又∵a∩b＝P，aγ，bγ，∴l(xiāng)⊥γ.故選項C正確．對于選項D，設α∩β＝l，則lα，但l不垂直于β，故在α內(nèi)存在直線不垂直于平面β，選項D錯誤．答案：D10．已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α解析：A：m，n可能的位置關系為平行，相交，異面，故A錯誤；B：根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知B錯誤；C：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確；D：若m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯誤，故選C.答案：C11．已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：將α，β分別換成直線a，b，則命題變?yōu)椤癮∥b，a⊥γ?b⊥γ”是真命題；將α，γ分別換成直線a，b，則命題變?yōu)椤唉痢桅拢琣⊥b?β⊥b”是假命題；將β，γ分別換成直線a，b，則命題變?yōu)椤唉痢蝍，α⊥b?a⊥b”是真命題，故真命題有2個．答案：C12．設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β；②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；③設α∩β＝l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α⊥β；④直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．其中所有的真命題的序號是________．解析：若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β，所以①正確；若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α，所以②正確；設α∩β＝l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α與β不一定垂直，所以③錯誤；直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以④錯誤．所有的真命題的序號是①②.答案：①②13．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．解析：平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對．答案：3B組能力提升練1．(2018·天津檢測)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：對于A選項，設α∩β＝a，若l∥a，且lα，lβ，則l∥α，l∥β，此時α與β相交，故A項錯誤；對于B選項，l∥α，l⊥β，則存在直線aα，使得l∥a，此時a⊥β，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故B選項正確；對于C選項，若α⊥β，l⊥α，則l∥β或lβ，故C選項錯誤；對于D選項，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關系不確定，故D選項錯誤．故選B.答案：B2．(2018·貴陽監(jiān)測)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是()A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，m⊥n，nβ，則α⊥βD．mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β解析：A：m與n的位置關系為平行，異面或相交，∴A錯誤；B：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知正確；C：由題中的條件無法推出α⊥β，∴C錯誤；D：只有當m與n相交時，結(jié)論才成立，∴D錯誤．故選B.答案：B3．設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，下列命題中正確的個數(shù)是()①若l⊥α，則l與α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.A．1 B．2C．3 D．4解析：由于直線與平面垂直是相交的特殊情況，故①正確；由于不能確定直線m，n相交，不符合線面垂直的判定定理，故②不正確；根據(jù)平行線的傳遞性，l∥n，故l⊥α時，一定有n⊥α，故③正確；由垂直于同一平面的兩條直線平行得m∥n，再根據(jù)平行線的傳遞性，可得l∥n，故④正確．答案：C4．(2018·寧波模擬)下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且aα，bβ，則a，b是異面直線B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D．若直線a∥平面α，點P∈α，則平面α內(nèi)經(jīng)過點P且與直線a平行的直線有且只有一條解析：對于A，當α∥β，a，b分別為第三個平面γ與α，β的交線時，由面面平行的性質(zhì)可知a∥b，故A錯誤．對于B，設a，b確定的平面為α，顯然aα，故B錯誤．對于C，當aα時，直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故C錯誤．易知D正確．故選D.答案：D5．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析：A中，垂直于同一個平面的兩個平面可能相交也可能平行，故A錯誤；B中，平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故B錯誤；C中，若兩個平面相交，則一個平面內(nèi)與交線平行的直線一定和另一個平面平行，故C錯誤；D中，若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，所以若兩條直線不平行，則它們不可能垂直于同一個平面，故D正確．答案：D6．已知兩條不重合的直線m，n和兩個不重合的平面α，β，有下列命題：①若m⊥n，m⊥α，則n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線，mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，則n⊥α.其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①若m⊥n，m⊥α，則n∥α或nα，故①錯誤；②因為m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故②正確；③過直線m作平面γ交平面β于直線c，因為m，n是兩條異面直線，所以設n∩c＝O.因為m∥β，mγ，γ∩β＝c，所以m∥c.因為mα，cα，所以c∥α.因為nβ，cβ，n∩c＝O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正確；④由面面垂直的性質(zhì)定理可知④正確．答案：C7.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱CC1上的一個動點，平面BED1交棱AA1于點F.則下列命題中真命題有()①存在點E，使得A1C1∥平面BED1②存在點E，使得B1D⊥平面BED1F③對于任意的點E，平面A1C1D⊥平面BED1④對于任意的點E，四棱錐B1BED1FA．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：當點E為棱CC1中點時，A1C1∥EF，可得A1C1∥平面BED1F；因為B1D與BD1不垂直，因此B1D⊥平面BED1F不成立；因為正方體的體對角線BD1與平面A1C1D垂直，因此平面A1C1D⊥平面BED1F；四棱錐B1BED1F的體積等于2VB1BED1＝2VD1BEB1＝2×eq\f(1,3)·D1C1·eq\f(1,2)·BB1答案：D8．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與A.eq\f(1,10)B.eqB.\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eqD.\f(\r(2),2)解析：如圖，取BC的中點D，連接MN，ND，AD，由于MN綊eq\f(1,2)B1C1綊BD，因此有ND綊BM，則ND與NA所成角即為異面直線BM與AN所成的角．設BC＝2，則BM＝ND＝eq\r(6)，AN＝eq\r(5)，AD＝eq\r(5)，因此cos∠AND＝eq\f(ND2＋NA2－AD2,2ND·NA)＝eq\f(\r(30),10).答案：C9．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,6)B.eqB.\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eqD.\f(\r(3),3)解析：設正四面體ABCD的棱長為2.如圖，取AD的中點F，連接EF，CF.在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD＝1.故∠CEF為直線CE與BD所成的角或其補角．在△ABC中，CE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)；在△ADC中，CF＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\r(3).在△CEF中，cos∠CEF＝eq\f(CE2＋EF2－CF2,2CE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋12－\r(3)2,2\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),6).所以直線CE與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).答案：B10．已知兩個不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中不正確的是()A．若m∥n，m⊥α，則n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，則α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n解析：由線面平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化知A、B正確；對于C，因為m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又nβ，所以β⊥α，即C正確；對于D，m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m與n是異面直線，故D不正確．答案：D11．在長方體ABCDA1B1C1D1中，過點A，C，B1的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面ACB1＝l，由面面平行的性質(zhì)定理得AC∥答案：平行