幾類(lèi)非局部橢圓問(wèn)題解的存在性：理論與實(shí)例解析一、引言1.1研究背景與意義橢圓型方程作為偏微分方程領(lǐng)域的核心研究對(duì)象之一，在數(shù)學(xué)理論研究以及眾多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域都占據(jù)著舉足輕重的地位。在數(shù)學(xué)理論層面，它是構(gòu)建現(xiàn)代偏微分方程理論體系的重要基石，與調(diào)和分析、泛函分析、幾何分析等多個(gè)數(shù)學(xué)分支緊密相連，為這些領(lǐng)域的深入發(fā)展提供了豐富的研究素材和強(qiáng)大的理論支持。例如，在調(diào)和分析中，橢圓型方程的解的性質(zhì)與調(diào)和函數(shù)的理論相互關(guān)聯(lián)，推動(dòng)了對(duì)函數(shù)空間和算子理論的深入研究；在幾何分析里，橢圓型方程常被用于刻畫(huà)幾何對(duì)象的性質(zhì)，如黎曼流形上的拉普拉斯算子與橢圓型方程的結(jié)合，為研究流形的幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫再|(zhì)提供了有力工具。在實(shí)際應(yīng)用中，橢圓型方程廣泛出現(xiàn)于物理學(xué)、工程學(xué)、生物學(xué)等諸多領(lǐng)域。在物理學(xué)中，它被用于描述靜電場(chǎng)、穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)、彈性力學(xué)等物理現(xiàn)象。以靜電場(chǎng)為例，泊松方程作為一種典型的橢圓型方程，能夠精確地描述電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷分布之間的關(guān)系，對(duì)于理解和分析靜電現(xiàn)象起著關(guān)鍵作用；在穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，通過(guò)橢圓型方程可以準(zhǔn)確地計(jì)算物體內(nèi)部的溫度分布，為熱工設(shè)備的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供重要依據(jù)。在工程學(xué)領(lǐng)域，橢圓型方程在結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)等方面有著重要應(yīng)用。比如，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，用于求解彈性體的平衡方程就是橢圓型方程，工程師們可以借助這些方程來(lái)分析和設(shè)計(jì)各種工程結(jié)構(gòu)，確保其在各種載荷條件下的安全性和穩(wěn)定性；在流體力學(xué)中，橢圓型方程可用于描述不可壓縮粘性流體的定常流動(dòng)，為研究流體的流動(dòng)特性和優(yōu)化流體系統(tǒng)提供理論支持。在生物學(xué)中，橢圓型方程也被用于模擬生物種群的分布和擴(kuò)散等現(xiàn)象，為生態(tài)系統(tǒng)的研究和保護(hù)提供數(shù)學(xué)模型。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和研究的不斷深入，傳統(tǒng)的局部橢圓型方程已無(wú)法滿(mǎn)足日益復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的需求。非局部橢圓型方程應(yīng)運(yùn)而生，它突破了局部性的限制，考慮了函數(shù)在整個(gè)定義域上的相互作用，能夠更準(zhǔn)確地描述許多復(fù)雜的物理、生物和工程現(xiàn)象。例如，在描述具有長(zhǎng)程相互作用的材料特性時(shí)，非局部橢圓型方程可以考慮到材料中不同位置之間的遠(yuǎn)程相互影響，從而更精確地刻畫(huà)材料的力學(xué)行為；在研究生物種群的擴(kuò)散時(shí)，非局部橢圓型方程可以考慮到種群在不同區(qū)域之間的非局部遷移和相互作用，為生物種群的動(dòng)態(tài)研究提供更符合實(shí)際的模型。研究非局部橢圓問(wèn)題解的存在性具有至關(guān)重要的意義。從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的角度來(lái)看，解的存在性是研究非局部橢圓方程其他性質(zhì)（如唯一性、正則性、漸近行為等）的基礎(chǔ)。只有先確定解的存在性，才能進(jìn)一步深入探討方程解的各種性質(zhì)，從而完善非局部橢圓方程的理論體系。例如，如果無(wú)法確定解的存在性，那么討論解的唯一性和正則性就失去了意義。同時(shí)，對(duì)非局部橢圓問(wèn)題解的存在性的研究也有助于推動(dòng)相關(guān)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，如變分法、非線(xiàn)性泛函分析等。在變分法中，通過(guò)將非局部橢圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題，利用變分原理來(lái)研究解的存在性，這不僅豐富了變分法的研究?jī)?nèi)容，也為解決其他非線(xiàn)性問(wèn)題提供了新的思路和方法；在非線(xiàn)性泛函分析中，研究非局部橢圓方程解的存在性需要運(yùn)用各種非線(xiàn)性算子理論和不動(dòng)點(diǎn)定理，這促進(jìn)了非線(xiàn)性泛函分析的發(fā)展，使其在處理復(fù)雜非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)更加有效。在實(shí)際應(yīng)用方面，確定非局部橢圓問(wèn)題解的存在性是利用這些方程解決實(shí)際問(wèn)題的前提。只有當(dāng)方程存在解時(shí)，才能通過(guò)求解方程來(lái)獲取實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)信息，為工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究和決策提供可靠的依據(jù)。例如，在材料科學(xué)中，如果描述材料特性的非局部橢圓方程不存在解，那么就無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)材料的性能，從而影響材料的研發(fā)和應(yīng)用；在生物學(xué)中，如果用于模擬生物種群動(dòng)態(tài)的非局部橢圓方程無(wú)解，那么就無(wú)法對(duì)生物種群的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)和分析，進(jìn)而影響生態(tài)保護(hù)和生物資源的合理利用。因此，研究非局部橢圓問(wèn)題解的存在性對(duì)于推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，它能夠?yàn)榻鉀Q實(shí)際問(wèn)題提供理論支持，促進(jìn)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和創(chuàng)新。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀非局部橢圓問(wèn)題作為偏微分方程領(lǐng)域的重要研究方向，近年來(lái)吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，取得了豐碩的研究成果。國(guó)外方面，眾多學(xué)者從不同角度對(duì)非局部橢圓問(wèn)題展開(kāi)深入研究。在分?jǐn)?shù)階Laplace算子相關(guān)的非局部橢圓方程研究中，一些學(xué)者運(yùn)用變分方法，將方程轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題，通過(guò)尋找變分泛函的臨界點(diǎn)來(lái)證明解的存在性。例如，[具體學(xué)者1]在研究帶有臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Laplace方程時(shí)，巧妙地利用了分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入性質(zhì)以及山路引理等變分工具，成功證明了在一定條件下方程正解的存在性。他們深入分析了方程中各項(xiàng)系數(shù)以及非線(xiàn)性項(xiàng)的增長(zhǎng)性對(duì)解的存在性的影響，為后續(xù)研究提供了重要的理論基礎(chǔ)。同時(shí)，[具體學(xué)者2]則運(yùn)用拓?fù)涠壤碚?，通過(guò)研究算子的拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)探討非局部橢圓方程解的存在性與多解性。他們針對(duì)一些具有復(fù)雜非線(xiàn)性項(xiàng)的非局部橢圓方程，通過(guò)構(gòu)造合適的映射和拓?fù)淇臻g，計(jì)算拓?fù)涠龋瑥亩贸龇匠探獾拇嬖谛越Y(jié)論，為解決這類(lèi)復(fù)雜方程提供了新的思路和方法。在非局部橢圓方程組的研究中，[具體學(xué)者3]運(yùn)用上下解方法和單調(diào)迭代技巧，對(duì)一類(lèi)耦合的非局部橢圓方程組進(jìn)行了深入研究。他們通過(guò)構(gòu)造合適的上下解序列，并證明該序列的單調(diào)收斂性，從而得到方程組解的存在性與唯一性結(jié)果。這一研究成果對(duì)于理解非局部橢圓方程組的解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)具有重要意義，為進(jìn)一步研究非局部橢圓方程組的相關(guān)問(wèn)題提供了有力的工具。國(guó)內(nèi)學(xué)者在非局部橢圓問(wèn)題的研究中也取得了顯著的成果。一些學(xué)者專(zhuān)注于研究具有特殊非局部項(xiàng)的橢圓方程解的存在性。例如，[具體學(xué)者4]研究了一類(lèi)含有非局部積分項(xiàng)的橢圓方程，通過(guò)巧妙地運(yùn)用積分不等式和能量估計(jì)方法，在特定的函數(shù)空間中證明了方程弱解的存在性。他們?cè)敿?xì)分析了非局部積分項(xiàng)的核函數(shù)性質(zhì)對(duì)解的影響，為這類(lèi)方程的研究提供了深入的見(jiàn)解。同時(shí)，[具體學(xué)者5]針對(duì)非局部橢圓方程解的多重性問(wèn)題，運(yùn)用變分方法結(jié)合Nehari流形理論進(jìn)行研究。他們通過(guò)對(duì)變分泛函在Nehari流形上的性質(zhì)進(jìn)行深入分析，找到了多個(gè)臨界點(diǎn)，從而證明了方程存在多個(gè)解，豐富了非局部橢圓方程解的多重性理論。在非局部橢圓問(wèn)題與其他數(shù)學(xué)分支的交叉研究方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者也做出了積極的探索。[具體學(xué)者6]將非局部橢圓方程與調(diào)和分析相結(jié)合，利用調(diào)和分析中的一些經(jīng)典理論和方法，如奇異積分算子理論等，來(lái)研究非局部橢圓方程解的正則性問(wèn)題。他們通過(guò)對(duì)解的傅里葉變換以及相關(guān)積分估計(jì)，得到了解的高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)，從而提高了解的正則性，為非局部橢圓方程解的性質(zhì)研究開(kāi)辟了新的途徑。當(dāng)前研究雖然取得了眾多成果，但仍存在一些不足之處。在非局部橢圓方程的研究中，對(duì)于一些具有強(qiáng)非線(xiàn)性和復(fù)雜非局部項(xiàng)的方程，現(xiàn)有的方法往往難以有效地處理，解的存在性和唯一性的證明仍然面臨巨大挑戰(zhàn)。例如，當(dāng)非局部項(xiàng)的核函數(shù)具有高度奇異性或者非線(xiàn)性項(xiàng)的增長(zhǎng)速度非?？鞎r(shí)，傳統(tǒng)的變分方法、不動(dòng)點(diǎn)定理等可能無(wú)法直接應(yīng)用，需要發(fā)展新的理論和方法。在非局部橢圓方程組的研究中，對(duì)于高維、強(qiáng)耦合的方程組，解的存在性和性質(zhì)的研究還不夠深入。高維空間中的方程組往往涉及到更多的變量和復(fù)雜的相互作用，強(qiáng)耦合使得方程組的求解難度大大增加。目前對(duì)于這類(lèi)方程組的研究主要集中在一些特殊情況，對(duì)于一般情況下的解的存在性、唯一性以及解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究還存在許多空白。在非局部橢圓問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方面，雖然已經(jīng)有一些相關(guān)的研究，但由于非局部項(xiàng)的存在，使得數(shù)值計(jì)算面臨著計(jì)算量大、精度難以保證等問(wèn)題。非局部項(xiàng)涉及到對(duì)整個(gè)定義域的積分，這增加了數(shù)值計(jì)算的復(fù)雜度和計(jì)算量。如何設(shè)計(jì)高效、高精度的數(shù)值算法來(lái)求解非局部橢圓問(wèn)題，仍然是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本文將綜合運(yùn)用多種研究方法對(duì)幾類(lèi)非局部橢圓問(wèn)題解的存在性展開(kāi)深入研究。傅里葉變換是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，它能夠?qū)⒑瘮?shù)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，揭示函數(shù)的頻率特征。在研究非局部橢圓問(wèn)題時(shí)，對(duì)于一些具有特定形式的方程，如含有Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)=f(x)（其中0<s<1），當(dāng)s=\frac{1}{2}時(shí)，通過(guò)對(duì)u(x)和f(x)同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，將方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程\hat{u}(\xi)=\frac{\hat{f}(\xi)}{|\xi|^s}，從而可以利用傅里葉逆變換得到方程的解u(x)=c\cdot(-\Delta)^{-\frac{1}{2}}f(x)（c為常數(shù)）。這種方法將復(fù)雜的偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，為求解非局部橢圓方程提供了一種有效的途徑。變分方法是研究非線(xiàn)性偏微分方程的重要手段之一，它將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找某個(gè)泛函的臨界點(diǎn)問(wèn)題。對(duì)于許多非局部橢圓問(wèn)題，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的能量泛函，然后利用變分原理，如山路引理、極小極大原理等，來(lái)證明泛函臨界點(diǎn)的存在性，進(jìn)而得到方程解的存在性。例如，在研究帶有臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Laplace方程時(shí)，通過(guò)巧妙地構(gòu)造變分泛函，并利用分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入性質(zhì)以及山路引理等變分工具，能夠成功證明在一定條件下方程正解的存在性。變分方法不僅能夠證明解的存在性，還可以通過(guò)對(duì)泛函性質(zhì)的深入分析，得到解的一些定性性質(zhì)，如解的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等。拓?fù)涠壤碚撘彩潜疚难芯恐胁豢苫蛉钡姆椒?。它通過(guò)研究映射的拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)探討方程解的存在性與多解性。對(duì)于一些具有復(fù)雜非線(xiàn)性項(xiàng)的非局部橢圓方程，傳統(tǒng)的分析方法可能難以奏效，此時(shí)拓?fù)涠壤碚摽梢园l(fā)揮重要作用。通過(guò)構(gòu)造合適的映射和拓?fù)淇臻g，計(jì)算拓?fù)涠?，根?jù)拓?fù)涠鹊男再|(zhì)來(lái)判斷方程解的存在情況。例如，當(dāng)拓?fù)涠炔粸榱銜r(shí)，就可以得出方程至少存在一個(gè)解的結(jié)論。拓?fù)涠壤碚摓榻鉀Q這類(lèi)復(fù)雜方程提供了新的視角和方法，能夠處理一些用其他方法難以解決的問(wèn)題。上下解方法和單調(diào)迭代技巧在研究非局部橢圓方程組時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于一類(lèi)耦合的非局部橢圓方程組，通過(guò)構(gòu)造合適的上下解序列，并證明該序列的單調(diào)收斂性，從而得到方程組解的存在性與唯一性結(jié)果。在構(gòu)造上下解時(shí)，需要根據(jù)方程組的具體形式和特點(diǎn)，巧妙地選擇函數(shù)，并利用橢圓型方程的比較原理來(lái)證明上下解序列的單調(diào)性。單調(diào)迭代技巧則通過(guò)不斷迭代上下解序列，使其逐漸逼近方程組的精確解，為求解非局部橢圓方程組提供了一種有效的數(shù)值方法。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。在研究對(duì)象上，關(guān)注一些具有特殊結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的非局部橢圓方程和方程組，這些方程和方程組在以往的研究中較少涉及，或者已有的研究方法難以有效處理。例如，對(duì)于含有高度奇異核函數(shù)的非局部橢圓方程，以及具有強(qiáng)耦合和復(fù)雜非線(xiàn)性項(xiàng)的非局部橢圓方程組，通過(guò)深入分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，嘗試尋找新的研究方法和思路。在研究方法的綜合運(yùn)用上，將多種傳統(tǒng)方法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新。例如，在利用變分方法時(shí)，結(jié)合集中緊原理和全局緊原理，克服非局部項(xiàng)帶來(lái)的緊性缺失問(wèn)題。集中緊原理可以描述在某種意義下函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的集中情況，全局緊原理則可以刻畫(huà)函數(shù)在整個(gè)定義域上的緊致性。通過(guò)將這兩個(gè)原理與變分方法相結(jié)合，能夠更深入地研究非局部橢圓方程解的存在性和性質(zhì)。在處理具有復(fù)雜非線(xiàn)性項(xiàng)的方程時(shí)，將拓?fù)涠壤碚撆c變分方法相結(jié)合，從不同角度分析方程解的存在情況，提高研究結(jié)果的可靠性和全面性。在研究結(jié)果上，有望得到一些新的解的存在性條件和結(jié)論，這些結(jié)果將豐富非局部橢圓問(wèn)題的理論體系，并為相關(guān)實(shí)際應(yīng)用提供更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。例如，通過(guò)對(duì)非局部橢圓方程解的存在性的深入研究，得到在更廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)方程解的存在性條件，或者發(fā)現(xiàn)一些新的解的類(lèi)型和性質(zhì)，這些結(jié)果將對(duì)非局部橢圓問(wèn)題的理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用產(chǎn)生積極的推動(dòng)作用。二、非局部橢圓問(wèn)題的基本理論2.1非局部橢圓方程的定義與分類(lèi)非局部橢圓方程是一類(lèi)在解析上具有橢圓型性質(zhì)但非常規(guī)的偏微分方程，其解不僅依賴(lài)于函數(shù)在某一點(diǎn)的取值，還依賴(lài)于其在整個(gè)定義域上的取值。一般地，非局部橢圓方程可以表示為：Lu(x)+f(x,u(x),\nablau(x),\cdots)=0,\quadx\in\Omega其中，\Omega是定義域，L為非局部算子，f是關(guān)于x、u(x)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。這里的非局部算子L突破了傳統(tǒng)局部算子（如拉普拉斯算子\Delta）僅依賴(lài)于函數(shù)在某點(diǎn)鄰域信息的限制，體現(xiàn)了函數(shù)在整個(gè)定義域上的相互作用。例如，分?jǐn)?shù)階Laplace算子就是一種常見(jiàn)的非局部算子，當(dāng)s\in(0,1)時(shí)，分?jǐn)?shù)階Laplace算子(-\Delta)^s作用在函數(shù)u(x)上，在二維空間中的表達(dá)式為(-\Delta)^su(x)=\int_{R^2}\frac{2u(x)-u(x+y)-u(x-y)}{|y|^{2+2s}}dy，它通過(guò)對(duì)整個(gè)空間上的積分來(lái)定義，充分展示了非局部性。根據(jù)方程的不同特性，可以對(duì)非局部橢圓方程進(jìn)行多種分類(lèi)。從線(xiàn)性與非線(xiàn)性的角度來(lái)看，若方程關(guān)于未知函數(shù)u及其導(dǎo)數(shù)是線(xiàn)性的，即方程可以寫(xiě)成Lu(x)+a(x)u(x)+b(x)\cdot\nablau(x)+\cdots=0的形式（其中a(x)、b(x)等為已知函數(shù)），則稱(chēng)為線(xiàn)性非局部橢圓方程。例如，(-\Delta)^su(x)+cu(x)=f(x)（c為常數(shù)）就是一個(gè)線(xiàn)性非局部橢圓方程，這類(lèi)方程在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要地位，許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，如Fredholm理論和最大值原理等，可用于證明其解的存在性和唯一性。若方程中存在關(guān)于u及其導(dǎo)數(shù)的非線(xiàn)性項(xiàng)，如f(x,u(x),\nablau(x),\cdots)中包含u^p（p\neq1）、\sin(u)等非線(xiàn)性函數(shù)形式，則為非線(xiàn)性非局部橢圓方程。例如，(-\Delta)^su(x)+|u(x)|^{p-2}u(x)=f(x)（p\gt1），由于|u(x)|^{p-2}u(x)這一非線(xiàn)性項(xiàng)的存在，使得方程的求解和性質(zhì)研究變得更為復(fù)雜。對(duì)于非線(xiàn)性非局部橢圓方程，解的存在性和多解性問(wèn)題極具挑戰(zhàn)性，需要根據(jù)具體的方程形式和邊界條件，綜合運(yùn)用變分方法、拓?fù)涠壤碚摰榷喾N方法進(jìn)行深入分析。根據(jù)方程中是否帶有臨界項(xiàng)，又可將非局部橢圓方程分為帶臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程和非臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程。在分?jǐn)?shù)階Sobolev空間的框架下，當(dāng)方程中的非線(xiàn)性項(xiàng)的增長(zhǎng)速率達(dá)到一定臨界值時(shí)，就涉及到臨界項(xiàng)。例如，對(duì)于分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)=|u(x)|^{2_s^*-2}u(x)（其中2_s^*=\frac{2n}{n-2s}，n為空間維數(shù)），|u(x)|^{2_s^*-2}u(x)就是臨界項(xiàng)。帶臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程由于臨界指數(shù)的存在，緊性缺失等問(wèn)題給解的存在性證明帶來(lái)極大困難，通常需要借助集中緊原理等工具來(lái)克服這些困難。而非臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程在解的存在性和性質(zhì)研究方面相對(duì)較為常規(guī)，但也需要根據(jù)具體方程特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行研究。2.2相關(guān)數(shù)學(xué)工具與理論基礎(chǔ)2.2.1分?jǐn)?shù)階Laplace算子分?jǐn)?shù)階Laplace算子作為非局部橢圓方程中至關(guān)重要的非局部算子，在刻畫(huà)復(fù)雜物理現(xiàn)象和數(shù)學(xué)模型中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。它是經(jīng)典Laplace算子在分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域的推廣，其定義方式有多種，常見(jiàn)的基于傅里葉變換的定義如下：設(shè)u(x)\inS(R^n)（S(R^n)為速降函數(shù)空間），分?jǐn)?shù)階Laplace算子(-\Delta)^s（0\lts\lt1）作用于u(x)的傅里葉變換定義為\widehat{(-\Delta)^su}(\xi)=|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)，其中\(zhòng)hat{u}(\xi)是u(x)的傅里葉變換。通過(guò)傅里葉逆變換，可以得到(-\Delta)^su(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi。從積分形式來(lái)看，分?jǐn)?shù)階Laplace算子還可以表示為(-\Delta)^su(x)=C_{n,s}P.V.\int_{R^n}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}}dy，其中C_{n,s}是僅依賴(lài)于n和s的常數(shù)，P.V.表示柯西主值。這種積分形式更直觀地展示了分?jǐn)?shù)階Laplace算子的非局部性，即它通過(guò)對(duì)整個(gè)空間上的積分來(lái)定義，函數(shù)在某點(diǎn)x處的(-\Delta)^su(x)值不僅依賴(lài)于x點(diǎn)附近的u值，還與整個(gè)空間中其他點(diǎn)y處的u(y)值有關(guān)。例如，在研究具有長(zhǎng)程相互作用的材料特性時(shí)，材料中某一點(diǎn)的物理量受到整個(gè)材料中其他點(diǎn)的影響，分?jǐn)?shù)階Laplace算子的這種非局部性能夠準(zhǔn)確地刻畫(huà)這種長(zhǎng)程相互作用。分?jǐn)?shù)階Laplace算子具有一系列重要性質(zhì)。它是一個(gè)線(xiàn)性算子，即對(duì)于任意的函數(shù)u(x)、v(x)和常數(shù)a、b，有(-\Delta)^s(au+bv)=a(-\Delta)^su+b(-\Delta)^sv，這一性質(zhì)使得在對(duì)含有分?jǐn)?shù)階Laplace算子的方程進(jìn)行運(yùn)算和分析時(shí)更加方便。它具有尺度不變性，若u(x)滿(mǎn)足一定條件，對(duì)于任意的\lambda\gt0，有(-\Delta)^su(\lambdax)=\lambda^{2s}(-\Delta)^su(x)。這種尺度不變性在處理具有尺度相關(guān)現(xiàn)象的問(wèn)題時(shí)非常有用，例如在研究分形結(jié)構(gòu)上的物理過(guò)程時(shí)，分?jǐn)?shù)階Laplace算子的尺度不變性能夠更好地反映分形結(jié)構(gòu)的自相似性。在非局部橢圓方程中，分?jǐn)?shù)階Laplace算子起到核心作用。以分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)=f(x)為例，它描述了在非局部效應(yīng)下，函數(shù)u(x)與給定函數(shù)f(x)之間的關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，如在描述非均勻介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，若考慮到介質(zhì)中熱量傳遞的非局部性，就可以用分?jǐn)?shù)階Laplace方程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)求解該方程，可以得到介質(zhì)中的溫度分布u(x)，從而深入理解熱傳導(dǎo)過(guò)程。在研究具有長(zhǎng)程相互作用的材料力學(xué)行為時(shí)，也可以利用含有分?jǐn)?shù)階Laplace算子的非局部橢圓方程來(lái)描述材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，為材料的性能分析和設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。2.2.2Sobolev空間與分?jǐn)?shù)Sobolev空間Sobolev空間是偏微分方程理論中不可或缺的函數(shù)空間，它為研究各類(lèi)偏微分方程提供了重要的框架。對(duì)于整數(shù)階的Sobolev空間W^{k,p}(\Omega)（\Omega為R^n中的開(kāi)集，k為非負(fù)整數(shù)，1\leqp\leq\infty），其定義為滿(mǎn)足一定可積性和弱可微性條件的函數(shù)集合。具體來(lái)說(shuō)，u\inW^{k,p}(\Omega)當(dāng)且僅當(dāng)u及其直到k階的弱導(dǎo)數(shù)D^{\alpha}u（|\alpha|\leqk，\alpha為多重指標(biāo)）都屬于L^p(\Omega)空間，其中L^p(\Omega)是由在\Omega上p次可積的函數(shù)構(gòu)成的空間。例如，當(dāng)k=1，p=2時(shí)，W^{1,2}(\Omega)中的函數(shù)u滿(mǎn)足u\inL^2(\Omega)且其梯度\nablau\in(L^2(\Omega))^n。Sobolev空間具有完備性，即對(duì)于W^{k,p}(\Omega)中的任何柯西序列\(zhòng){u_n\}，都存在u\inW^{k,p}(\Omega)，使得\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n-u\|_{W^{k,p}(\Omega)}=0，這一性質(zhì)保證了在Sobolev空間中極限運(yùn)算的合理性，使得許多分析方法得以應(yīng)用。它還具有嵌入定理，如當(dāng)k\gt\frac{n}{p}時(shí)，W^{k,p}(\Omega)嵌入到連續(xù)函數(shù)空間C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})（0\lt\alpha\ltk-\frac{n}{p}），這意味著在一定條件下，Sobolev空間中的函數(shù)具有更好的正則性。分?jǐn)?shù)Sobolev空間是Sobolev空間在分?jǐn)?shù)階情形下的推廣，對(duì)于研究非局部橢圓問(wèn)題具有重要意義。分?jǐn)?shù)Sobolev空間W^{s,p}(\Omega)（0\lts\lt1，1\leqp\leq\infty）可以通過(guò)多種方式定義，常見(jiàn)的一種定義基于加利亞爾多（Gagliardo）半范數(shù)。對(duì)于u\inL^p(\Omega)，其加利亞爾多半范數(shù)定義為[u]_{W^{s,p}(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}\int_{\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}}dxdy\right)^{\frac{1}{p}}，則W^{s,p}(\Omega)=\{u\inL^p(\Omega):[u]_{W^{s,p}(\Omega)}\lt\infty\}，并且其范數(shù)\|u\|_{W^{s,p}(\Omega)}=\|u\|_{L^p(\Omega)}+[u]_{W^{s,p}(\Omega)}。分?jǐn)?shù)Sobolev空間也具有一些重要性質(zhì)，它是一個(gè)Banach空間，即滿(mǎn)足完備性和范數(shù)公理。在一些情況下，分?jǐn)?shù)Sobolev空間之間也存在嵌入關(guān)系，例如當(dāng)s_1\lts_2且1\leqp\leq\infty時(shí)，W^{s_2,p}(\Omega)連續(xù)嵌入到W^{s_1,p}(\Omega)。在研究非局部橢圓問(wèn)題中，Sobolev空間和分?jǐn)?shù)Sobolev空間有著廣泛的應(yīng)用。在利用變分方法研究非局部橢圓方程解的存在性時(shí)，通常會(huì)將方程轉(zhuǎn)化為在適當(dāng)?shù)腟obolev空間或分?jǐn)?shù)Sobolev空間中的變分問(wèn)題。例如，對(duì)于分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)+f(x,u(x))=0，可以構(gòu)造相應(yīng)的能量泛函I(u)=\frac{1}{2}\int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)|^2dx-\int_{R^n}F(x,u(x))dx（其中F(x,u)是f(x,u)的原函數(shù)），然后在分?jǐn)?shù)Sobolev空間H^s(R^n)（H^s(R^n)=W^{s,2}(R^n)）中尋找該泛函的臨界點(diǎn)，這些臨界點(diǎn)就是方程的弱解。通過(guò)分析能量泛函在分?jǐn)?shù)Sobolev空間中的性質(zhì)，如強(qiáng)制性、弱下半連續(xù)性等，可以利用變分原理，如山路引理、極小極大原理等，來(lái)證明解的存在性。Sobolev空間和分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入定理也常用于估計(jì)解的正則性，通過(guò)嵌入關(guān)系可以得到解在不同函數(shù)空間中的性質(zhì)，從而深入了解解的光滑性和可積性等特征。2.2.3Leray-Schauder原理Leray-Schauder原理是研究非線(xiàn)性算子方程解的存在性的重要工具，在證明非局部橢圓方程解的存在性方面具有廣泛的應(yīng)用。其內(nèi)容表述為：設(shè)X是Banach空間，T:X\rightarrowX是全連續(xù)算子（即連續(xù)且將有界集映為相對(duì)緊集），如果存在r\gt0，使得對(duì)于任意的\lambda\in(0,1)，方程x=\lambdaTx的解x都滿(mǎn)足\|x\|\ltr，那么算子方程x=Tx在X中至少有一個(gè)解。Leray-Schauder原理的證明基于拓?fù)涠壤碚摵筒粍?dòng)點(diǎn)定理。從拓?fù)涠鹊慕嵌葋?lái)看，通過(guò)構(gòu)造合適的映射和拓?fù)淇臻g，利用拓?fù)涠仍谕瑐愊碌牟蛔冃缘刃再|(zhì)來(lái)證明不動(dòng)點(diǎn)的存在性。例如，對(duì)于全連續(xù)算子T，可以考慮一族算子T_{\lambda}=(1-\lambda)I+\lambdaT（I為恒等算子，\lambda\in[0,1]），這是一個(gè)從X到X的連續(xù)同倫。若能證明在邊界\|x\|=r上，x\neqT_{\lambda}x對(duì)于所有的\lambda\in[0,1]成立，那么根據(jù)拓?fù)涠仍谕瑐愊碌牟蛔冃?，deg(I-T,B_r(0),0)=deg(I,B_r(0),0)=1（B_r(0)是以原點(diǎn)為中心，半徑為r的開(kāi)球），這就意味著方程x=Tx在B_r(0)內(nèi)至少有一個(gè)解。在證明非局部橢圓方程解的存在性時(shí)，應(yīng)用Leray-Schauder原理需要滿(mǎn)足一定的條件。需要將非局部橢圓方程轉(zhuǎn)化為算子方程的形式，使得方程可以表示為x=Tx的形式，其中x是在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間（如Sobolev空間或分?jǐn)?shù)Sobolev空間）中的未知函數(shù)，T是定義在該函數(shù)空間上的算子。要驗(yàn)證T是全連續(xù)算子，這通常需要對(duì)算子T的連續(xù)性和緊性進(jìn)行詳細(xì)的分析。對(duì)于連續(xù)性，需要利用函數(shù)空間的性質(zhì)和算子的定義，通過(guò)分析算子作用在函數(shù)上的變化情況來(lái)證明；對(duì)于緊性，常常需要借助一些緊性定理，如Rellich-Kondrachov緊嵌入定理等，該定理指出在一定條件下，Sobolev空間中的有界子集在L^p空間中是相對(duì)緊的，從而保證T將有界集映為相對(duì)緊集。還需要找到合適的r，使得對(duì)于任意的\lambda\in(0,1)，方程x=\lambdaTx的解x都滿(mǎn)足\|x\|\ltr，這通常需要通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，對(duì)于含有分?jǐn)?shù)階Laplace算子的非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)+f(x,u(x))=0，可以將其轉(zhuǎn)化為算子方程u=Tu，通過(guò)對(duì)f(x,u)的增長(zhǎng)性條件進(jìn)行分析，利用能量估計(jì)等方法得到關(guān)于u的先驗(yàn)估計(jì)，從而確定滿(mǎn)足Leray-Schauder原理?xiàng)l件的r的取值。通過(guò)這些步驟，就可以應(yīng)用Leray-Schauder原理來(lái)證明非局部橢圓方程解的存在性。三、幾類(lèi)典型非局部橢圓問(wèn)題解的存在性分析3.1線(xiàn)性非局部橢圓方程3.1.1基于Fredholm理論的解存在性證明Fredholm理論最初源于對(duì)積分方程的研究，它為解決線(xiàn)性非局部橢圓方程解的存在性問(wèn)題提供了重要的框架。該理論主要圍繞第二類(lèi)Fredholm積分方程展開(kāi)，其一般形式為y(x)=f(x)+\lambda\int_{a}^K(x,t)y(t)dt，其中f(x)是已知函數(shù)，K(x,t)為積分核，\lambda是常數(shù)，y(x)是未知函數(shù)。Fredholm理論包含幾個(gè)關(guān)鍵定理，其中二者擇一定理表明，對(duì)于非齊次方程，要么對(duì)任意給定的f(x)有唯一解，要么其對(duì)應(yīng)的齊次方程有非零解，二者必居其一。這一性質(zhì)為判斷線(xiàn)性非局部橢圓方程解的唯一性和存在性提供了重要依據(jù)。方程的齊次方程和它的轉(zhuǎn)置齊次方程有有限個(gè)相同個(gè)數(shù)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解。當(dāng)\lambda_0是特征值時(shí)，非齊次方程有解的充分必要條件是已知函數(shù)f(x)與轉(zhuǎn)置齊次方程關(guān)于\lambda_0的一切特征函數(shù)正交?？紤]如下線(xiàn)性非局部橢圓方程的例子：(-\Delta)^su(x)+\lambdau(x)=f(x)，x\in\Omega，其中\(zhòng)Omega是R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1，\lambda為參數(shù)。我們可以將其轉(zhuǎn)化為積分方程的形式來(lái)應(yīng)用Fredholm理論。通過(guò)引入格林函數(shù)G(x,y)，方程可以寫(xiě)成u(x)=f(x)+\lambda\int_{\Omega}G(x,y)u(y)dy，這就與第二類(lèi)Fredholm積分方程的形式一致。證明過(guò)程如下：首先，定義算子T:L^2(\Omega)\toL^2(\Omega)，(Tu)(x)=\int_{\Omega}G(x,y)u(y)dy。由于格林函數(shù)G(x,y)在\Omega\times\Omega上滿(mǎn)足一定的可積性條件，根據(jù)積分算子的性質(zhì)，可以證明T是一個(gè)緊算子。因?yàn)門(mén)是緊算子，所以根據(jù)Fredholm理論，對(duì)于方程u=f+\lambdaTu（即原非局部橢圓方程的積分形式），要么對(duì)于任意的f\inL^2(\Omega)，方程有唯一解u\inL^2(\Omega)；要么齊次方程u=\lambdaTu有非零解。對(duì)于齊次方程u=\lambdaTu，它等價(jià)于(-\Delta)^su(x)+\lambdau(x)=0，x\in\Omega。通過(guò)分析該齊次方程的特征值問(wèn)題，可以確定特征值\lambda的取值。假設(shè)\lambda不是齊次方程的特征值，那么根據(jù)Fredholm理論的二者擇一定理，對(duì)于任意給定的f(x)\inL^2(\Omega)，原非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)+\lambdau(x)=f(x)有唯一解u\inL^2(\Omega)。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于一些描述穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的非局部模型，若考慮到熱傳導(dǎo)過(guò)程中的長(zhǎng)程相互作用，可建立如上述形式的線(xiàn)性非局部橢圓方程。通過(guò)運(yùn)用Fredholm理論，能夠確定在給定的熱源分布f(x)下，溫度分布u(x)的存在性和唯一性，為工程設(shè)計(jì)和熱管理提供理論支持。3.1.2最大值原理在解存在性分析中的應(yīng)用最大值原理是研究橢圓型方程的重要工具，對(duì)于線(xiàn)性非局部橢圓方程，它在確定解的存在性和性質(zhì)方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用。其內(nèi)容可表述為：設(shè)L是線(xiàn)性橢圓算子（這里可以推廣到非局部情形），若Lu\leq0（或Lu\geq0）在有界區(qū)域\Omega內(nèi)成立，且u在\overline{\Omega}上連續(xù)，那么u在\overline{\Omega}上的最大值（或最小值）必在邊界\partial\Omega上取得，除非u是常數(shù)函數(shù)。以線(xiàn)性非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)+cu(x)=f(x)，x\in\Omega為例（其中c為常數(shù)），我們來(lái)分析最大值原理的應(yīng)用。假設(shè)u是該方程的解，且在\Omega內(nèi)滿(mǎn)足(-\Delta)^su(x)+cu(x)\leq0。根據(jù)最大值原理，若u不是常數(shù)函數(shù)，那么u在\overline{\Omega}上的最大值M必然在邊界\partial\Omega上取得。證明如下：假設(shè)存在x_0\in\Omega使得u(x_0)=M，且u不是常數(shù)函數(shù)。因?yàn)?-\Delta)^su(x)的非局部性，對(duì)于任意的y\inR^n，有(-\Delta)^su(x_0)=C_{n,s}P.V.\int_{R^n}\frac{u(x_0)-u(y)}{|x_0-y|^{n+2s}}dy。由于u(x_0)=M是最大值，那么對(duì)于任意的y\inR^n，u(x_0)-u(y)\geq0，所以(-\Delta)^su(x_0)\geq0。又因?yàn)?-\Delta)^su(x_0)+cu(x_0)\leq0，即(-\Delta)^su(x_0)\leq-cu(x_0)，若c\geq0，則會(huì)產(chǎn)生矛盾。所以u(píng)在\Omega內(nèi)不能取到最大值，最大值只能在邊界\partial\Omega上取得。通過(guò)最大值原理，我們可以得到關(guān)于解的一些先驗(yàn)估計(jì)，進(jìn)而確定解的存在性。在上述例子中，已知邊界條件u|_{\partial\Omega}=g，因?yàn)閡的最大值在邊界上取得，所以可以根據(jù)邊界條件g的取值范圍來(lái)估計(jì)u在\Omega內(nèi)的取值范圍。若能進(jìn)一步證明滿(mǎn)足方程和邊界條件的函數(shù)u的唯一性，那么就可以確定解的存在性。例如，假設(shè)存在兩個(gè)解u_1和u_2滿(mǎn)足方程(-\Delta)^su(x)+cu(x)=f(x)和邊界條件u|_{\partial\Omega}=g，令v=u_1-u_2，則v滿(mǎn)足(-\Delta)^sv(x)+cv(x)=0，x\in\Omega且v|_{\partial\Omega}=0。由最大值原理可知，v在\overline{\Omega}上的最大值和最小值都在邊界\partial\Omega上取得，而v|_{\partial\Omega}=0，所以v\equiv0，即u_1=u_2，從而證明了解的唯一性。結(jié)合前面通過(guò)最大值原理得到的解的估計(jì)，就可以確定解的存在性。在實(shí)際的物理問(wèn)題中，如靜電場(chǎng)的研究，通過(guò)最大值原理可以確定電場(chǎng)強(qiáng)度的分布范圍，為分析靜電場(chǎng)的性質(zhì)提供重要依據(jù)。3.2非線(xiàn)性非局部橢圓方程3.2.1變分方法求解存在性變分方法作為研究非線(xiàn)性偏微分方程的核心手段之一，其基本原理是將非線(xiàn)性非局部橢圓方程的求解問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為尋找某個(gè)泛函的臨界點(diǎn)問(wèn)題。這一轉(zhuǎn)化基于深刻的數(shù)學(xué)理論，從泛函分析的角度來(lái)看，非線(xiàn)性非局部橢圓方程可以看作是某個(gè)泛函的歐拉-拉格朗日方程。具體而言，對(duì)于給定的非線(xiàn)性非局部橢圓方程，通過(guò)構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的能量泛函，使得方程的解恰好是該泛函在適當(dāng)函數(shù)空間中的臨界點(diǎn)。這種轉(zhuǎn)化的意義在于，將偏微分方程的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函分析中的優(yōu)化問(wèn)題，從而可以利用變分學(xué)中的豐富工具和理論來(lái)研究方程解的存在性、唯一性以及其他性質(zhì)。以如下非線(xiàn)性非局部橢圓方程為例：(-\Delta)^su(x)+g(x,u(x))=0，x\in\Omega，其中\(zhòng)Omega是R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1，g(x,u)是關(guān)于x和u的非線(xiàn)性函數(shù)。我們構(gòu)造相應(yīng)的變分泛函I(u)=\frac{1}{2}\int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)|^2dx-\int_{R^n}G(x,u(x))dx，其中G(x,u)是g(x,u)關(guān)于u的原函數(shù)，即G(x,u)=\int_{0}^{u}g(x,t)dt。接下來(lái)，我們利用變分方法證明解的存在性。首先，分析泛函I(u)在分?jǐn)?shù)Sobolev空間H^s(\Omega)中的性質(zhì)。根據(jù)分?jǐn)?shù)階Laplace算子的性質(zhì)以及g(x,u)的增長(zhǎng)性條件（例如，假設(shè)g(x,u)滿(mǎn)足次臨界增長(zhǎng)條件，即存在常數(shù)C和p\lt\frac{2n}{n-2s}，使得|g(x,u)|\leqC(1+|u|^{p-1})），可以證明泛函I(u)在H^s(\Omega)上是連續(xù)可微的。然后，利用變分原理中的山路引理來(lái)尋找泛函I(u)的臨界點(diǎn)。山路引理的核心思想是通過(guò)構(gòu)造一條連接泛函在函數(shù)空間中兩個(gè)不同點(diǎn)的路徑，使得泛函在這條路徑上的最小值大于其在兩個(gè)端點(diǎn)處的值，從而保證存在一個(gè)臨界點(diǎn)。具體到我們的問(wèn)題，先找到兩個(gè)特殊的函數(shù)u_1和u_2，使得I(u_1)\lt0且I(u_2)在一定條件下大于I(u_1)，并且當(dāng)\|u\|\to\infty時(shí)，I(u)\to+\infty。這樣，在H^s(\Omega)中，連接u_1和u_2的路徑上必然存在一個(gè)點(diǎn)u_0，使得I(u_0)是這條路徑上的最小值，且I(u_0)\gtI(u_1)，根據(jù)山路引理，u_0就是泛函I(u)的一個(gè)臨界點(diǎn)，即u_0是方程(-\Delta)^su(x)+g(x,u(x))=0的一個(gè)弱解。通過(guò)變分方法，我們成功地證明了該非線(xiàn)性非局部橢圓方程解的存在性。3.2.2Nehari方法的應(yīng)用Nehari方法的核心思想是通過(guò)定義一個(gè)特殊的流形，即Nehari流形，來(lái)研究非線(xiàn)性橢圓方程解的存在性和多重性。對(duì)于給定的非線(xiàn)性非局部橢圓方程，首先構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的能量泛函，然后在滿(mǎn)足一定條件的函數(shù)集合上，通過(guò)約束能量泛函來(lái)定義Nehari流形。這個(gè)流形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)具有特殊的性質(zhì)，它們與方程的解有著密切的聯(lián)系。從幾何直觀上看，Nehari流形可以看作是能量泛函在函數(shù)空間中的一個(gè)“約束曲面”，在這個(gè)曲面上尋找能量泛函的極值點(diǎn)，這些極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)往往就是方程的解。以一類(lèi)具有凹凸非線(xiàn)性項(xiàng)的非線(xiàn)性非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)+|u(x)|^{p-2}u(x)-|u(x)|^{q-2}u(x)=0，x\in\Omega（其中1\ltp\lt2\ltq\lt\frac{2n}{n-2s}，\Omega是R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1）為例，說(shuō)明Nehari方法的應(yīng)用。首先，構(gòu)造能量泛函I(u)=\frac{1}{2}\int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)|^2dx-\frac{1}{p}\int_{R^n}|u(x)|^pdx+\frac{1}{q}\int_{R^n}|u(x)|^qdx。定義Nehari流形N=\{u\inH^s(\Omega)\setminus\{0\}:I'(u)u=0\}，其中I'(u)是泛函I(u)的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于u\inN，有\(zhòng)int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)|^2dx-\int_{R^n}|u(x)|^pdx+\int_{R^n}|u(x)|^qdx=0。這意味著在Nehari流形上，能量泛函的某種“線(xiàn)性化”與函數(shù)u自身的某種“能量”關(guān)系達(dá)到了平衡。通過(guò)分析能量泛函I(u)在Nehari流形N上的性質(zhì)來(lái)確定解的存在性和多重性。證明I(u)在N上是下方有界的。由于1\ltp\lt2\ltq\lt\frac{2n}{n-2s}，根據(jù)分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入定理以及一些積分不等式（如H?lder不等式），可以得到I(u)\geqC（C為常數(shù)）。然后，利用極小化序列的方法，取N中的一個(gè)序列\(zhòng){u_n\}，使得\lim_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=\inf_{u\inN}I(u)。通過(guò)對(duì)該序列進(jìn)行一系列的分析，如利用能量泛函的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)以及Nehari流形的定義，證明該序列在H^s(\Omega)中是有界的。再結(jié)合分?jǐn)?shù)Sobolev空間的弱緊性，存在子序列\(zhòng){u_{n_k}\}在H^s(\Omega)中弱收斂到某個(gè)u_0。進(jìn)一步證明u_0\inN且I(u_0)=\inf_{u\inN}I(u)，從而得到u_0是能量泛函I(u)在Nehari流形N上的一個(gè)極小值點(diǎn)，即u_0是方程(-\Delta)^su(x)+|u(x)|^{p-2}u(x)-|u(x)|^{q-2}u(x)=0的一個(gè)解。為了證明解的多重性，還可以通過(guò)分析能量泛函I(u)在Nehari流形N上的幾何結(jié)構(gòu)，利用一些變分技巧，如山路引理的推廣形式等，找到多個(gè)不同的臨界點(diǎn)，從而證明方程存在多個(gè)解。例如，通過(guò)構(gòu)造不同的路徑，使得能量泛函在這些路徑上滿(mǎn)足相應(yīng)的條件，進(jìn)而找到多個(gè)滿(mǎn)足I'(u)u=0的點(diǎn)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)就是方程的不同解。3.2.3拓?fù)涠壤碚撆c分析性方法拓?fù)涠壤碚撌茄芯糠蔷€(xiàn)性算子方程解的存在性與多解性的重要工具，它從拓?fù)鋵W(xué)的角度出發(fā)，通過(guò)研究映射的拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)探討方程解的情況。其基本概念基于對(duì)映射的一種量化描述，即拓?fù)涠取?duì)于一個(gè)連續(xù)映射F:X\rightarrowY（X和Y是拓?fù)淇臻g），拓?fù)涠萪eg(F,\Omega,y)（其中\(zhòng)Omega是X中的開(kāi)集，y\inY）在一定條件下是一個(gè)整數(shù)，它反映了映射F在\Omega上關(guān)于y的某種拓?fù)湫再|(zhì)。當(dāng)拓?fù)涠炔粸榱銜r(shí)，意味著存在x\in\Omega，使得F(x)=y，這就為判斷方程F(x)=y的解的存在性提供了依據(jù)。分析性方法則側(cè)重于利用函數(shù)的分析性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性、單調(diào)性等，以及一些分析學(xué)中的經(jīng)典定理和技巧，如隱函數(shù)定理、不動(dòng)點(diǎn)定理等，來(lái)研究方程解的存在性和性質(zhì)。它通過(guò)對(duì)函數(shù)和方程進(jìn)行細(xì)致的分析和推導(dǎo)，得出關(guān)于解的各種結(jié)論。以非線(xiàn)性非局部橢圓方程(-\Delta)^su(x)+f(x,u(x))=0，x\in\Omega（其中\(zhòng)Omega是R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1，f(x,u)是關(guān)于x和u的非線(xiàn)性函數(shù)）為例，分析拓?fù)涠壤碚摵头治鲂苑椒ǖ膽?yīng)用。首先，將方程轉(zhuǎn)化為算子方程的形式，令A(yù):H^s(\Omega)\rightarrowH^{-s}(\Omega)為(Au)(x)=(-\Delta)^su(x)，B:H^s(\Omega)\rightarrowH^{-s}(\Omega)為(Bu)(x)=f(x,u(x))，則原方程可寫(xiě)為Au-Bu=0，即u=A^{-1}Bu。應(yīng)用拓?fù)涠壤碚摃r(shí)，需要構(gòu)造合適的映射和拓?fù)淇臻g。定義映射F(u)=u-A^{-1}Bu，考慮在H^s(\Omega)中的有界開(kāi)集\Omega_1上的拓?fù)涠萪eg(F,\Omega_1,0)。通過(guò)分析f(x,u)的性質(zhì)，如增長(zhǎng)性、連續(xù)性等，利用拓?fù)涠鹊挠?jì)算方法和相關(guān)定理（如Leray-Schauder度的計(jì)算規(guī)則），來(lái)計(jì)算拓?fù)涠取Ｈ裟茏C明deg(F,\Omega_1,0)\neq0，則根據(jù)拓?fù)涠鹊亩x，方程F(u)=0在\Omega_1內(nèi)至少有一個(gè)解，即原非線(xiàn)性非局部橢圓方程在H^s(\Omega)中有解。應(yīng)用分析性方法時(shí)，利用隱函數(shù)定理。假設(shè)f(x,u)關(guān)于u具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partialf}{\partialu}(x,u)，且在某個(gè)點(diǎn)(x_0,u_0)處滿(mǎn)足一定的條件（如\frac{\partialf}{\partialu}(x_0,u_0)的范數(shù)小于某個(gè)閾值）。定義函數(shù)G(x,u)=(-\Delta)^su(x)+f(x,u(x))，則G(x,u)關(guān)于u是連續(xù)可微的。根據(jù)隱函數(shù)定理，在一定的鄰域內(nèi)，可以將u表示為x的函數(shù)，從而得到方程的解?；蛘呃貌粍?dòng)點(diǎn)定理，證明A^{-1}B是一個(gè)壓縮映射（若滿(mǎn)足\|A^{-1}B(u_1)-A^{-1}B(u_2)\|\leqk\|u_1-u_2\|，其中0\ltk\lt1），根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，方程u=A^{-1}Bu存在唯一解，即原非線(xiàn)性非局部橢圓方程有唯一解。通過(guò)綜合運(yùn)用拓?fù)涠壤碚摵头治鲂苑椒?，可以更全面、深入地研究非線(xiàn)性非局部橢圓方程解的存在性和多解性。3.3帶有臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程3.3.1臨界指數(shù)的定義與意義在偏微分方程領(lǐng)域，臨界指數(shù)是一個(gè)至關(guān)重要的概念，它與方程解的存在性、唯一性以及解的性質(zhì)密切相關(guān)。對(duì)于帶有臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程，臨界指數(shù)的定義基于分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入理論。在分?jǐn)?shù)Sobolev空間W^{s,p}(\Omega)（0\lts\lt1，1\leqp\lt\infty，\Omega為R^n中的有界區(qū)域）中，存在一個(gè)臨界指數(shù)p_{s}^*=\frac{np}{n-sp}，當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)的增長(zhǎng)速率達(dá)到這個(gè)臨界指數(shù)時(shí)，方程就涉及到臨界項(xiàng)。例如，對(duì)于分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)=|u(x)|^{p-2}u(x)，當(dāng)p=p_{s}^*=\frac{2n}{n-2s}時(shí)，|u(x)|^{p-2}u(x)就是臨界項(xiàng)。臨界指數(shù)在帶有臨界項(xiàng)的非局部橢圓方程中具有極其重要的意義。從解的存在性角度來(lái)看，臨界指數(shù)的出現(xiàn)使得方程解的存在性研究變得更為復(fù)雜。當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)的指數(shù)達(dá)到臨界指數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)Sobolev空間的緊嵌入性質(zhì)失效，這就導(dǎo)致了在利用變分方法研究解的存在性時(shí)，緊性缺失問(wèn)題成為了主要障礙。例如，在經(jīng)典的變分方法中，通常需要利用函數(shù)空間的緊性來(lái)保證極小化序列的收斂性，從而得到泛函的臨界點(diǎn)，即方程的解。然而，由于臨界指數(shù)下緊性的缺失，極小化序列可能不再收斂，這使得解的存在性證明變得困難重重。許多學(xué)者為了克服這一困難，發(fā)展了集中緊原理等工具。集中緊原理通過(guò)分析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的集中情況，來(lái)彌補(bǔ)緊性缺失帶來(lái)的問(wèn)題。例如，它可以將函數(shù)分解為在不同區(qū)域上具有不同性質(zhì)的部分，從而在一定程度上恢復(fù)緊性，為證明解的存在性提供了可能。從解的性質(zhì)角度分析，臨界指數(shù)對(duì)解的正則性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)有著顯著的影響。當(dāng)方程帶有臨界項(xiàng)時(shí)，解的正則性往往難以保證。因?yàn)榕R界項(xiàng)的存在使得方程的非線(xiàn)性程度增強(qiáng)，傳統(tǒng)的正則性提升方法可能不再適用。在一些情況下，即使方程存在解，這些解也可能只具有較低的正則性。關(guān)于解的對(duì)稱(chēng)性，臨界指數(shù)也可能導(dǎo)致解的對(duì)稱(chēng)性發(fā)生變化。在某些具有對(duì)稱(chēng)性的區(qū)域上，當(dāng)方程帶有臨界項(xiàng)時(shí)，原本具有對(duì)稱(chēng)性的解可能會(huì)失去對(duì)稱(chēng)性，這給解的性質(zhì)研究帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)。3.3.2基于變分原理和分?jǐn)?shù)Sobolev空間的分析以分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)+|u(x)|^{2_s^*-2}u(x)=f(x)（x\in\Omega，\Omega是R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1，2_s^*=\frac{2n}{n-2s}為臨界指數(shù)）為例，我們來(lái)闡述基于變分原理和分?jǐn)?shù)Sobolev空間的分析過(guò)程。首先，根據(jù)變分原理，我們構(gòu)造與該方程對(duì)應(yīng)的能量泛函I(u)=\frac{1}{2}\int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)|^2dx-\frac{1}{2_s^*}\int_{R^n}|u(x)|^{2_s^*}dx-\int_{R^n}f(x)u(x)dx，該泛函定義在分?jǐn)?shù)Sobolev空間H^s(\Omega)上。從泛函分析的角度來(lái)看，方程的解就是能量泛函I(u)的臨界點(diǎn)。這是因?yàn)?，若u是方程(-\Delta)^su(x)+|u(x)|^{2_s^*-2}u(x)=f(x)的解，那么對(duì)能量泛函I(u)求變分，在u處的變分\deltaI(u)=0，即u是I(u)的臨界點(diǎn)；反之，若u是I(u)的臨界點(diǎn)，通過(guò)一定的推導(dǎo)可以證明u滿(mǎn)足原方程。由于方程中存在臨界項(xiàng)|u(x)|^{2_s^*-2}u(x)，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)Sobolev空間H^s(\Omega)到L^{2_s^*}(\Omega)的嵌入不具有緊性，這給尋找能量泛函I(u)的臨界點(diǎn)帶來(lái)了極大的困難。為了克服這一緊性缺失問(wèn)題，我們運(yùn)用集中緊原理。集中緊原理的核心思想是將函數(shù)在整個(gè)空間上的積分分解為不同部分的積分，通過(guò)分析這些部分積分在不同區(qū)域上的性質(zhì)，來(lái)研究函數(shù)的收斂性和緊性。具體到我們的問(wèn)題，設(shè)\{u_n\}是I(u)在H^s(\Omega)中的一個(gè)極小化序列，即\lim_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=\inf_{u\inH^s(\Omega)}I(u)。根據(jù)集中緊原理，存在子序列\(zhòng){u_{n_k}\}，可以將其分解為u_{n_k}=v_{n_k}+w_{n_k}，其中v_{n_k}在H^s(\Omega)中收斂到某個(gè)v，w_{n_k}滿(mǎn)足一定的漸近性質(zhì)。通過(guò)對(duì)v_{n_k}和w_{n_k}的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)分析，如利用分?jǐn)?shù)Sobolev空間的范數(shù)估計(jì)以及積分不等式等工具，我們可以得到關(guān)于v的一些性質(zhì)。例如，通過(guò)對(duì)能量泛函I(u)在v_{n_k}和w_{n_k}上的取值進(jìn)行分析，結(jié)合集中緊原理的相關(guān)結(jié)論，可以證明v是能量泛函I(u)的一個(gè)臨界點(diǎn)，從而得到原方程的一個(gè)解。對(duì)于解的集中性行為，我們可以通過(guò)分析解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的衰減性質(zhì)來(lái)研究。在分?jǐn)?shù)Sobolev空間中，利用一些不等式，如Hardy-Littlewood-Sobolev不等式等，對(duì)解u在不同區(qū)域上的積分進(jìn)行估計(jì)。例如，對(duì)于x趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，通過(guò)對(duì)|u(x)|^{2_s^*}在以x為中心的球上的積分進(jìn)行估計(jì)，可以得到u(x)的衰減速度。如果u(x)在無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減得足夠快，說(shuō)明解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的集中程度較低；反之，如果衰減速度較慢，則說(shuō)明解在無(wú)窮遠(yuǎn)處有一定的集中性。通過(guò)這種方式，我們可以深入了解解的集中性行為，為進(jìn)一步研究方程解的性質(zhì)提供重要信息。四、具體案例研究4.1分?jǐn)?shù)階Laplace方程4.1.1方程形式與特點(diǎn)分?jǐn)?shù)階Laplace方程作為非局部橢圓方程的典型代表，具有獨(dú)特的形式和顯著的特點(diǎn)。其一般形式為(-\Delta)^su(x)=f(x)，x\in\Omega，其中\(zhòng)Omega是R^n中的區(qū)域，0\lts\lt1，(-\Delta)^s為分?jǐn)?shù)階Laplace算子。當(dāng)從傅里葉變換的角度來(lái)定義分?jǐn)?shù)階Laplace算子時(shí)，對(duì)于u(x)\inS(R^n)（S(R^n)為速降函數(shù)空間），有\(zhòng)widehat{(-\Delta)^su}(\xi)=|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)，通過(guò)傅里葉逆變換可得(-\Delta)^su(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi。從積分形式來(lái)看，(-\Delta)^su(x)=C_{n,s}P.V.\int_{R^n}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}}dy，其中C_{n,s}是僅依賴(lài)于n和s的常數(shù)，P.V.表示柯西主值。非局部性是分?jǐn)?shù)階Laplace方程最為突出的特點(diǎn)，這一特性使其與傳統(tǒng)局部橢圓方程存在本質(zhì)區(qū)別。傳統(tǒng)的拉普拉斯方程\Deltau(x)僅依賴(lài)于函數(shù)u(x)在x點(diǎn)的局部鄰域信息，而分?jǐn)?shù)階Laplace方程中的(-\Delta)^su(x)則通過(guò)對(duì)整個(gè)空間的積分來(lái)定義，函數(shù)在x點(diǎn)的值不僅與x點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)，還與空間中其他任意點(diǎn)y處的函數(shù)值相關(guān)。這種非局部性使得分?jǐn)?shù)階Laplace方程能夠更準(zhǔn)確地描述具有長(zhǎng)程相互作用的物理現(xiàn)象，如在材料科學(xué)中，用于描述材料內(nèi)部微觀粒子之間的長(zhǎng)程相互作用；在生物學(xué)中，用于模擬生物種群在不同區(qū)域之間的非局部擴(kuò)散和相互作用。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的特性也賦予了分?jǐn)?shù)階Laplace方程獨(dú)特的性質(zhì)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非整數(shù)階特性使得方程的解具有與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)方程不同的行為。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的積分定義方式，方程的解在邊界附近和無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為更加復(fù)雜。在邊界附近，分?jǐn)?shù)階Laplace方程的解可能具有不同于整數(shù)階橢圓方程解的奇異性；在無(wú)窮遠(yuǎn)處，解的衰減性質(zhì)也與整數(shù)階情況有所不同。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)還具有記憶性，這意味著當(dāng)前時(shí)刻的函數(shù)變化不僅取決于當(dāng)前的狀態(tài)，還與過(guò)去的狀態(tài)有關(guān)。這種記憶性在描述具有歷史依賴(lài)性的物理過(guò)程時(shí)非常重要，例如在粘彈性材料的力學(xué)行為研究中，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有記憶性，分?jǐn)?shù)階Laplace方程能夠很好地捕捉這種特性。4.1.2解存在性的詳細(xì)分析過(guò)程為了深入分析分?jǐn)?shù)階Laplace方程解的存在性，我們以(-\Delta)^su(x)=f(x)，x\in\Omega（\Omega為R^n中的有界區(qū)域，0\lts\lt1）為例，綜合運(yùn)用傅里葉變換和抽象方程求解的方法進(jìn)行探討。首先，運(yùn)用傅里葉變換方法。對(duì)分?jǐn)?shù)階Laplace方程兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)階Laplace算子的傅里葉變換定義\widehat{(-\Delta)^su}(\xi)=|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)，原方程(-\Delta)^su(x)=f(x)變換為|\xi|^{2s}\hat{u}(\xi)=\hat{f}(\xi)，其中\(zhòng)hat{u}(\xi)和\hat{f}(\xi)分別是u(x)和f(x)的傅里葉變換。由此可以解出\hat{u}(\xi)=\frac{\hat{f}(\xi)}{|\xi|^{2s}}。接下來(lái)，通過(guò)傅里葉逆變換來(lái)得到u(x)的表達(dá)式。根據(jù)傅里葉逆變換公式u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}\hat{u}(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi，將\hat{u}(\xi)=\frac{\hat{f}(\xi)}{|\xi|^{2s}}代入可得u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}\frac{\hat{f}(\xi)}{|\xi|^{2s}}e^{ix\cdot\xi}d\xi。然而，這個(gè)積分表達(dá)式在實(shí)際計(jì)算和分析中存在一定的困難，因?yàn)榉e分核\frac{1}{|\xi|^{2s}}在\xi=0處具有奇異性。為了克服這一困難，需要對(duì)f(x)施加一定的條件，例如假設(shè)f(x)屬于某個(gè)合適的函數(shù)空間，使得積分在該空間中是有意義的。如果f(x)\inL^2(\Omega)，并且滿(mǎn)足一定的衰減條件，那么可以利用一些積分估計(jì)技巧，如H?lder不等式、Plancherel定理等，來(lái)證明上述積分表達(dá)式所定義的u(x)是存在的，并且在一定的函數(shù)空間中滿(mǎn)足原方程。從抽象方程求解的角度，我們將分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)=f(x)看作是一個(gè)抽象的算子方程。定義算子A:H^s(\Omega)\toH^{-s}(\Omega)，其中H^s(\Omega)和H^{-s}(\Omega)分別是分?jǐn)?shù)Sobolev空間及其對(duì)偶空間，A滿(mǎn)足(Au)(x)=(-\Delta)^su(x)。原方程可以寫(xiě)成Au=f的形式。要證明解的存在性，根據(jù)泛函分析中的理論，需要驗(yàn)證算子A滿(mǎn)足一定的條件。首先，證明A是一個(gè)有界線(xiàn)性算子。根據(jù)分?jǐn)?shù)階Laplace算子的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)Sobolev空間的范數(shù)定義，利用一些不等式，如分?jǐn)?shù)階Sobolev空間的嵌入不等式等，可以證明對(duì)于任意的u\inH^s(\Omega)，有\(zhòng)|Au\|_{H^{-s}(\Omega)}\leqC\|u\|_{H^s(\Omega)}，其中C是一個(gè)常數(shù)，這表明A是有界的。由于分?jǐn)?shù)階Laplace算子是線(xiàn)性算子，所以A也是線(xiàn)性的。然后，考慮算子A的可逆性。通過(guò)分析A的特征值和特征函數(shù)，以及利用一些緊性定理和泛函分析中的技巧，可以證明在一定條件下A是可逆的。如果A是可逆的，那么對(duì)于給定的f\inH^{-s}(\Omega)，方程Au=f有唯一解u=A^{-1}f，即分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)=f(x)有唯一解u(x)，且u(x)\inH^s(\Omega)。通過(guò)上述傅里葉變換和抽象方程求解方法的綜合運(yùn)用，我們?cè)敿?xì)地分析了分?jǐn)?shù)階Laplace方程解的存在性。4.2Riesz模型4.2.1Riesz模型的數(shù)學(xué)表述Riesz模型是一類(lèi)重要的非局部橢圓模型，其核心在于Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子。對(duì)于函數(shù)u(x)，x\inR^n，Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的定義為(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)=C_{n,\alpha}P.V.\int_{R^n}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+\alpha}}dy，其中0\lt\alpha\lt2，C_{n,\alpha}是僅依賴(lài)于n和\alpha的常數(shù)，P.V.表示柯西主值。從這個(gè)定義可以看出，Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子通過(guò)對(duì)整個(gè)空間R^n上的積分來(lái)定義，體現(xiàn)了函數(shù)u(x)在不同點(diǎn)之間的非局部相互作用。Riesz模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫(xiě)為(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+f(x,u(x))=0，x\in\Omega，其中\(zhòng)Omega是R^n中的區(qū)域，f(x,u)是關(guān)于x和u的函數(shù)，它描述了非局部效應(yīng)與非線(xiàn)性相互作用之間的關(guān)系。當(dāng)f(x,u)為線(xiàn)性函數(shù)，即f(x,u)=cu(x)（c為常數(shù)）時(shí)，方程變?yōu)?-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+cu(x)=0，這是一個(gè)線(xiàn)性Riesz模型。在這種情況下，方程的解具有一些特殊的性質(zhì)，如解的線(xiàn)性組合仍然是方程的解，并且可以通過(guò)一些線(xiàn)性分析方法來(lái)研究解的存在性和唯一性。當(dāng)f(x,u)為非線(xiàn)性函數(shù)，如f(x,u)=|u(x)|^{p-2}u(x)時(shí)，方程(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+|u(x)|^{p-2}u(x)=0則成為非線(xiàn)性Riesz模型。此時(shí)，由于非線(xiàn)性項(xiàng)的存在，方程的求解和性質(zhì)研究變得更為復(fù)雜，需要運(yùn)用如變分方法、拓?fù)涠壤碚摰榷喾N非線(xiàn)性分析工具。與其他非局部橢圓方程相比，Riesz模型的非局部性通過(guò)Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子體現(xiàn)，其積分核為\frac{1}{|x-y|^{n+\alpha}}，具有很強(qiáng)的奇異性。以分?jǐn)?shù)階Laplace方程(-\Delta)^su(x)（0\lts\lt1）為例，雖然它也是非局部橢圓方程，但其積分核為\frac{1}{|x-y|^{n+2s}}，與Riesz模型的積分核在形式上有所不同。這種積分核的差異導(dǎo)致了兩者在非局部相互作用的強(qiáng)度和范圍上存在區(qū)別。在Riesz模型中，由于積分核的奇異性更強(qiáng)，函數(shù)在不同點(diǎn)之間的相互作用對(duì)距離的敏感性更高，這使得Riesz模型在描述一些具有強(qiáng)非局部效應(yīng)的現(xiàn)象時(shí)更為合適。在研究具有長(zhǎng)程相互作用的材料特性時(shí)，若材料中不同點(diǎn)之間的相互作用對(duì)距離的依賴(lài)關(guān)系較為敏感，Riesz模型可能比分?jǐn)?shù)階Laplace方程更能準(zhǔn)確地刻畫(huà)這種特性。4.2.2解存在性的證明與討論針對(duì)Riesz模型(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+f(x,u(x))=0，x\in\Omega，我們運(yùn)用變分方法來(lái)證明解的存在性。首先，構(gòu)造相應(yīng)的變分泛函I(u)=\frac{1}{2}\int_{R^n}|(-\Delta)^{\frac{\alpha}{4}}u(x)|^2dx-\int_{R^n}F(x,u(x))dx，其中F(x,u)是f(x,u)關(guān)于u的原函數(shù)，即F(x,u)=\int_{0}^{u}f(x,t)dt。該泛函定義在分?jǐn)?shù)Sobolev空間H^{\frac{\alpha}{2}}(\Omega)上。從變分原理的角度來(lái)看，方程的解就是泛函I(u)的臨界點(diǎn)。這是因?yàn)?，若u是方程(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+f(x,u(x))=0的解，那么對(duì)泛函I(u)求變分，在u處的變分\deltaI(u)=0，即u是I(u)的臨界點(diǎn)；反之，若u是I(u)的臨界點(diǎn)，通過(guò)一定的推導(dǎo)可以證明u滿(mǎn)足原方程。為了證明泛函I(u)存在臨界點(diǎn)，我們利用山路引理。首先，分析泛函I(u)在H^{\frac{\alpha}{2}}(\Omega)中的性質(zhì)。根據(jù)Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的性質(zhì)以及f(x,u)的增長(zhǎng)性條件（假設(shè)f(x,u)滿(mǎn)足次臨界增長(zhǎng)條件，即存在常數(shù)C和p\lt\frac{2n}{n-\alpha}，使得|f(x,u)|\leqC(1+|u|^{p-1})），可以證明泛函I(u)在H^{\frac{\alpha}{2}}(\Omega)上是連續(xù)可微的。然后，尋找兩個(gè)特殊的函數(shù)u_1和u_2，使得I(u_1)\lt0且I(u_2)在一定條件下大于I(u_1)，并且當(dāng)\|u\|\to\infty時(shí)，I(u)\to+\infty。例如，當(dāng)u=0時(shí)，I(0)=0。對(duì)于u_1，可以選擇一個(gè)具有緊支集的非零函數(shù)，通過(guò)對(duì)F(x,u)的分析以及Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的性質(zhì)，能夠證明I(u_1)\lt0。對(duì)于u_2，可以根據(jù)f(x,u)的增長(zhǎng)性條件，構(gòu)造一個(gè)合適的函數(shù)，使得I(u_2)\gtI(u_1)。這樣，在H^{\frac{\alpha}{2}}(\Omega)中，連接u_1和u_2的路徑上必然存在一個(gè)點(diǎn)u_0，使得I(u_0)是這條路徑上的最小值，且I(u_0)\gtI(u_1)，根據(jù)山路引理，u_0就是泛函I(u)的一個(gè)臨界點(diǎn)，即u_0是方程(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(x)+f(x,u(x))=0的一個(gè)弱解。解的性質(zhì)討論方面，我們關(guān)注解的正則性。由于Riesz模型的非局部性和非線(xiàn)性，解的正則性研究具有一定的挑戰(zhàn)性。利用分?jǐn)?shù)Sobolev空間的嵌入定理以及一些積分估計(jì)技巧，如H?lder不等式、Sobolev不等式等，可以得到解的一些正則性結(jié)果。假設(shè)f(x,u)滿(mǎn)足一定的光滑性條件，通過(guò)對(duì)解u所滿(mǎn)足的方程進(jìn)行分析，利用分?jǐn)?shù)Sobolev空間的范數(shù)估計(jì)以及積分不等式，可以證明u在一定條件下屬于更高階的分?jǐn)?shù)Sobolev空間，從而提高解的正則性。若f(x,u)關(guān)于x和u具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足一些增長(zhǎng)性條件，通過(guò)對(duì)解u進(jìn)行迭代估計(jì)，可以證明u\inC^{k,\beta}(\overline{\Omega})（k為非負(fù)整數(shù)，0\lt\beta\lt1），即解具有一定的H?lder連續(xù)性。4.3Grushin方程4.3.1Grushin方程的結(jié)構(gòu)分析Grushin方程是一類(lèi)具有特殊結(jié)構(gòu)的退化橢圓方程，其典型形式為L(zhǎng)u=\Delta_{x}u+|x|^{2\alpha}\Delta_{y}u=f(x,y)，其中(x,y)\in\Omega\subseteqR^{n+m}，\Delta_{x}和\Delta_{y}分別是關(guān)于x和y變量的拉普拉斯算子，\alpha\geq0為常數(shù)。這種方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)主要體現(xiàn)在其系數(shù)上，|x|^{2\alpha}這一系數(shù)的存在使得方程在x=0處出現(xiàn)退化現(xiàn)象。當(dāng)x=0時(shí)，關(guān)于y變量的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為0，這導(dǎo)致方程在該點(diǎn)附近的性質(zhì)與非退化橢圓方程有很大的不同。從算子的角度來(lái)看，Grushin算子L=\Delta_{x}+|x|^{2\alpha}\Delta_{y}是一個(gè)二階偏微分算子，但由于其系數(shù)的特殊性，它不滿(mǎn)足傳統(tǒng)橢圓算子的一致橢圓性條件。傳統(tǒng)的一致橢圓算子A=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{\partial^{2}}{\partialx_{i}\partialx_{j}}要求存在正常數(shù)\lambda和\Lambda，使得對(duì)于任意的\xi\inR^{n}和x\in\Omega，有\(zhòng)lambda|\xi|^{2}\leq\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi_{i}\xi_{j}\leq\Lambda|\xi|^{2}。而對(duì)于Grushin算子，當(dāng)x趨近于0時(shí)，\sum_{i,j=1}^{n+m}a_{ij}(x)\xi_{i}\xi_{j}中關(guān)于y方向的部分會(huì)趨近于0，無(wú)法滿(mǎn)足一致橢圓性條件。在非局部橢圓方程研究中，Grushin方程具有獨(dú)特的地位。它的退化性和非局部性相互交織，為研究帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。其退化性使得傳統(tǒng)的橢圓方程理論和方法難以直接應(yīng)用，需要發(fā)展新的理論和技巧來(lái)處理。例如，在證明解的存在性和正則性時(shí)，不能直接使用基于一致橢圓性的經(jīng)典理論，而需要考慮方程的退化特性，利用一些特殊的估計(jì)方法和函數(shù)空間。它的非局部性體現(xiàn)在其解的性質(zhì)不僅依賴(lài)于局部鄰域的信息，還與整個(gè)定義域內(nèi)的情況相關(guān)。這種非局部性與其他非局部橢圓方程有所不同，為非局部橢圓方程的研究提供了新的研究對(duì)象和思路。在一些具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)或物理背景的問(wèn)題中，Grushin方程能夠更準(zhǔn)確地描述相關(guān)現(xiàn)象，如在研究具有分層結(jié)構(gòu)的材料中的熱傳導(dǎo)或擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)，Grushin方程可以考慮到不同層之間的相互作用以及材料的非均勻性，為解決這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題提供了有力的數(shù)學(xué)工具。4.3.2解存在性的數(shù)值驗(yàn)證與理論分析結(jié)合為了驗(yàn)證Grushin方程解的存在性，我們采用有限元法進(jìn)行