《工程力學(xué)》課程系列《工程力學(xué)》課程系列平面力系平面匯交力系作用于物體上的力系，若其各力的作用線都在同一平面內(nèi)，則此力系稱為平面力系。在平面力系中，各力的作用線匯交于一點(diǎn)的稱為平面匯交力系；平面匯交力系是力系中最簡(jiǎn)單的一種形式，其簡(jiǎn)化與平衡有兩種方法：幾何法和解析法。平面匯交力系（一）平面匯交力系的合成——力多邊形如圖所示，剛體上作用F1、F2、F3、F4、F5多個(gè)力組成的平面匯交力系。平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系的合力幾個(gè)力F1、、、F5依次顯示出來(lái)使用力三角形法對(duì)這些力進(jìn)行合成，方法是將各力環(huán)繞同一方向首尾相接，最后連接第一個(gè)力的起點(diǎn)和最后一個(gè)力的終點(diǎn)，方向是由起點(diǎn)O指向終點(diǎn)，即為此平面匯交力系的合力R，如圖所示。平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系的合力幾個(gè)力F1、、、F5依次顯示出來(lái)由F1、F2、F3、F4、F5和R組成的多邊形，稱為力的多邊形，這種求解合力R的方法稱為平面匯交力系簡(jiǎn)化的幾何法。將上述F1、F2、F3、F4、F5組成的平面匯交力系采用矢量疊加的方法，則合力R可寫為：平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系的合力R＝F1+F2+F3+……+Fn＝∑F

值得注意的是，在力多邊形中，合力R與各分力排列的先后次序無(wú)關(guān)。各分力首尾相接，環(huán)繞同一方向，而合力則沿反方向?qū)⒘Χ噙呅畏忾]?？尚蜗蟊硎鰹椋悍至κ羌^咬箭尾，合力是由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系的合力（二）平面匯交力系平衡的幾何條件若平面匯交力系處于平衡狀態(tài)，則力系簡(jiǎn)化結(jié)果的合力R應(yīng)為零，各分力形成的力多邊形自行封閉。即平面匯交力系平衡的幾何條件是：力的多邊形自行封閉。平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系的合力幾何法求解靜力學(xué)平衡問(wèn)題時(shí)有一定的局限性，有時(shí)還很繁瑣。因此，在工程上廣泛應(yīng)用計(jì)算的方法，即解析法來(lái)求解靜力學(xué)平衡問(wèn)題。解析法的基礎(chǔ)是力在坐標(biāo)軸上的投影。平面匯交力系合成與平衡的解析法（一）力在直角坐標(biāo)軸上的投影如圖所示，過(guò)F兩端向坐標(biāo)軸引垂線得垂足a、b、a'、b'。線段ab和a'b'分別為F在x軸和y軸上投影的大小，投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：從a到b（或從a'到b'）的指向與坐標(biāo)軸正向相同為正，相反為負(fù)。平面匯交力系合成與平衡的解析法力在直角坐標(biāo)軸上的投影兩個(gè)力FX、FY依次閃爍顯示F在x軸和y軸上的投影分別計(jì)作Fx、Fy

，若已知F的大小及其與x軸所夾的銳角α，則有平面匯交力系合成與平衡的解析法力在直角坐標(biāo)軸上的投影如將F沿坐標(biāo)軸方向分解，所得分力Fx、Fy的值與在同軸上的投影Fx、Fy相等。但需注意，力在軸上的投影是代數(shù)量，而分力是矢量，不可混為一談。兩個(gè)力FX、FY依次閃爍顯示（二）合力投影定理合力投影定理：合力在任一坐標(biāo)軸上的投影，等于其各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。即：平面匯交力系合成與平衡的解析法（三）平面匯交力系的合成——解析法若已知平面匯交力系各分力的大小和方向，由上面式易求得各分力在坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和FRx、FRy的值，由勾股定理可求出合力R的大小和方向，即平面匯交力系合成與平衡的解析法（四）平面匯交力系平衡的平衡方程若上述平面匯交力系平衡，即合力R等于零。則各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和也應(yīng)該為零，故平面匯交力系合成與平衡的解析法稱為平面匯交力系的平衡方程。它表明平面匯交力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。利用平衡方程，可以解出平衡的平面匯交力系中的兩個(gè)未知量。例2-1重G=100N的球放在與水平面成30°角的光滑斜面上，并用與斜面平行的繩AB系住，如圖所示。試分別用幾何法和解析法求AB繩受到的拉力及球?qū)π泵娴膲毫?。平面匯交力系合成與平衡的解析法斜面上的鋼球解：1.取研究對(duì)象，畫受力圖選球?yàn)檠芯繉?duì)象，畫受力圖，如圖所示。平面匯交力系合成與平衡的解析法斜面上的鋼球兩個(gè)力G、N、T依次閃爍顯示2.用幾何法作力多邊形，如圖所示。易知：N＝G×cos30°＝100×0.866＝86.6(N)T＝G×sin30°＝100×0.5＝50(N)平面匯交力系合成與平衡的解析法斜面上的鋼球3.用解析法求解建立與斜面平行的方向?yàn)閤坐標(biāo)軸，如圖所示，列平衡方程：平面匯交力系合成與平衡的解析法斜面上的鋼球故T＝G×cos60°＝100×0.5＝50（N）N＝G×sin60°＝100×0.866＝86.6（N）也可以按如圖所示的方向建立坐標(biāo)系，但求解起來(lái)較繁，同學(xué)們可以試試。從這個(gè)例題可知，在使用解析法時(shí)，為解題方便，選擇坐標(biāo)軸有一定的原則，即：坐標(biāo)軸方向與未知力方向垂直或平行時(shí)，平衡方程容易求解。平面匯交力系合成與平衡的解析法斜面上的鋼球例2-2圖所示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)。利用絞車和繞過(guò)滑輪的繩索吊起重物，其重力G＝20kN，各桿件與滑輪的重力不計(jì)?；咮的大小可忽略不計(jì)，試求桿AB與BC所受的力。平面匯交力系合成與平衡的解析法簡(jiǎn)易起重機(jī)

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解：1.取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，畫其受力圖，如圖所示。由于桿AB與BC均為兩力構(gòu)件，對(duì)B的約束反力分別為F1與F2，滑輪兩邊繩索的約束反力相等，即T＝G。2.選取坐標(biāo)系xBy；平面匯交力系合成與平衡的解析法簡(jiǎn)易起重機(jī)

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力G、T、F1、F2依次閃爍顯示3.列平衡方程式求解未知力；∑Fx＝0，F(xiàn)2cos30°-F1-T1sin30°＝0∑Fy＝0，F(xiàn)2sin30°-T1cos30°-G＝0

解得F1＝54.6（kN），F(xiàn)2＝74.6（kN）由于此兩力均為正值