2．1.3分層抽樣[學(xué)習(xí)目標]1.理解分層抽樣的概念.2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.3.了解三種抽樣法的聯(lián)系和區(qū)別．知識點一分層抽樣的概念一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分在總體中所占的比實施樣抽，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個部分稱為“層”．分層抽樣具有如下特點：(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；(3)在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法；(4)分層抽樣能充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性；(5)分層抽樣也是等機會抽樣，每個個體被抽到的可能性都是eq\f(樣本容量n,總體容量N)，而且在每層抽樣時，可以根據(jù)個體情況采用不同的抽樣方法知識點二分層抽樣的步驟分層抽樣的步驟是：(1)將總體按一定標準分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)．知識點三三種抽樣方法的比較簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較如下表所示：類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先確定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，在各層中按同一抽樣比抽取在各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成[思考]分層抽樣的總體具有什么特性？答分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，也就是說當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣．題型一對分層抽樣概念的理解例1有40件產(chǎn)品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．現(xiàn)從中抽出8件進行質(zhì)量分析，則應(yīng)采取的抽樣方法是________．答案分層抽樣解析總體是由差異明顯的幾部分組成，符合分層抽樣的特點，故采用分層抽樣．反思與感悟判斷抽樣方法是分層抽樣，主要是依據(jù)分層抽樣的特點：(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．(2)樣本能更充分地反映總體的情況．(3)等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等．跟蹤訓(xùn)練1在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本．方法1：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號00,01,02，…，99，用抽簽法抽取20個．方法2：采用系統(tǒng)抽樣的方法，將所有零件分為20組，每組5個，然后從每組中隨機抽取1個．方法3：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個．對于上述問題，下列說法正確的是________．①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都是eq\f(1,5)；②采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同；③在上述三種抽樣方法中，方法3抽到的樣本比方法1和方法2抽到的樣本更能反映總體特征；④在上述抽樣方法中，方法2抽到的樣本比方法1和方法3抽到的樣本更能反映總體的特征．答案①③解析根據(jù)三種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體入樣的可能性都相等，都是eq\f(n,N)，故①正確，②錯誤．由于總體中有差異較明顯的三個層(一級品、二級品和三級品)，故方法③抽到的樣本更有代表性，③正確，④錯誤．故①③正確．題型二分層抽樣的應(yīng)用例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人．為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽??？解用分層抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按系統(tǒng)抽樣或隨機數(shù)表法抽取樣本．(4)匯總每層抽樣，組成樣本．反思與感悟利用分層抽樣抽取樣本的操作步驟：(1)將總體按一定標準進行分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層的個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)；(5)最后將每一層抽取的樣本匯總合成樣本．跟蹤訓(xùn)練2一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其余人員120人．為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是________．答案8,16,10,6解析抽樣比為eq\f(40,800)＝eq\f(1,20)，故各層抽取的人數(shù)依次為160×eq\f(1,20)＝8,320×eq\f(1,20)＝16,200×eq\f(1,20)＝10,120×eq\f(1,20)＝6.題型三抽樣方法的綜合應(yīng)用例3為了考察某校的教學(xué)水平，抽查了這個學(xué)校高三年級部分學(xué)生的本學(xué)年考試成績進行考察．為了全面地反映實際情況，采取以下三種方式進行(已知該校高三年級共有14個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生都已經(jīng)按隨機方式編好了學(xué)號，假定該校每班人數(shù)都相同)．①從全年級14個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取14人，考察他們的學(xué)習(xí)成績；②每個班都抽取1人，共計14人，考察這14名學(xué)生的成績；③把該校高三年級的學(xué)生按成績分成優(yōu)秀，良好，普通三個級別，從中抽取100名學(xué)生進行考查(已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名，良好學(xué)生有420名，普通學(xué)生有175名)．根據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采用何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面三種抽取方法各自抽取樣本的步驟．解(1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績，個體都是指高三年級每個學(xué)生本年度的考試成績．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為14；第二種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為14；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為100.(2)上面三種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法；第三種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個班中用抽簽法任意抽取一個班；第二步：從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其考試成績．第二種方式抽樣的步驟如下：第一步：在第一個班中，用簡單隨機抽樣法任意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號為x；第二步：在其余的13個班中，選取學(xué)號為x＋50k(1≤k≤13，k∈Z)的學(xué)生，共計14人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取樣本中，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個層次；第二步：確定各個層次抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每層抽取的個體數(shù)依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取15人，在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人，在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人．第四步：將所抽取的個體組合在一起構(gòu)成樣本．反思與感悟(1)簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣是三種常用的抽樣方法，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．(2)三種抽樣的適用范圍不同，各自的特點也不同，但各種方法間又有密切聯(lián)系．在應(yīng)用時要根據(jù)實際情況選取合適的方法．(3)三種抽樣中每個個體被抽到的可能性都是相同的．跟蹤訓(xùn)練3下列問題中，宜采用的抽樣方法依次為：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．(1)從10臺電冰箱中抽取3臺進行質(zhì)量檢查；(2)某社區(qū)有1200戶家庭，其中高收入家庭420戶，中等收入家庭470戶，低收入家庭310戶，為了調(diào)查該社區(qū)購買力的某項指標，要從所有家庭中抽取一個容量為120的樣本；(3)某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本；(4)已知某校高一學(xué)生的學(xué)號后三位數(shù)字從001編至805，教育部門準備抽查該校80名高一學(xué)生的體育達標情況．答案抽簽法分層抽樣分層抽樣系統(tǒng)抽樣解析題號判斷原因分析(1)抽簽法總體容量較小，宜采用抽簽法(2)分層抽樣社區(qū)中家庭收入層次明顯，宜采用分層抽樣(3)分層抽樣由于學(xué)校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，故宜采用分層抽樣(4)系統(tǒng)抽樣總體容量較大，樣本容量也較大，可以隨機剔除5個個體后等距抽取，宜采用系統(tǒng)抽樣正確應(yīng)用系統(tǒng)抽樣例4某機關(guān)老年、中年、青年的人數(shù)分別為18,12,6，現(xiàn)從中抽取一個容量為n的樣本，若采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，則不用剔除個體．當樣本容量增加1時，若采用系統(tǒng)抽樣，需在總體中剔除1個個體，則樣本容量n＝________.分析首先由題目的已知條件確定n的所有可能取值，然后分別進行驗證．解析當樣本容量為n時，因為采用系統(tǒng)抽樣時不用剔除個體，所以n是18＋12＋6＝36的約數(shù)，n可能為1,2,3,4,6,9,12,18,36.因為采用分層抽樣時不用剔除個體，所以eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)均是整數(shù)，所以n可能為6,12,18,36.又因為當樣本容量增加1時，需要剔除1個個體，才能用系統(tǒng)抽樣，所以n＋1是35的約數(shù)，而n＋1可能為7,13,19,37，所以n＋1＝7，所以n＝6.答案6解后反思由題目的已知條件不能直接列式求解時，可以根據(jù)題意先確定所求解的大致范圍，再對此范圍內(nèi)的值逐一驗證即可．1．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查．這種抽樣方法是________．答案分層抽樣解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層抽樣．2．為了保證分層抽樣時，每個個體等可能地被抽取，必須要求________．①每層的個體數(shù)必須一樣多；②每層抽取的個體數(shù)相等；③每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體，其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層所包含的個體數(shù)，N是總體容量；④只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制．答案③解析所給項正誤理由①×每層的個體數(shù)不一定都一樣多②×由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個體，從整個總體來看，各層之間的個體被抽取的可能性顯然就不一樣了③√對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每個個體來說，被抽入樣本的可能性是相同的④×每層抽取的個體數(shù)是有限制的3．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生________．答案30人，45人，15人解析先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)．4．某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是________．答案9,7解析抽樣比為eq\f(16,54＋42)＝eq\f(1,6)，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是54×eq\f(1,6)＝9,42×eq\f(1,6)＝7.5．某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取_____