第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省樂山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)z=4?3i，則在復(fù)平面內(nèi)z?對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列說法正確的是(

)A.若a,b為單位向量，則a=b B.若a,b為平行向量，則a=b

C.若|3.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中正確的是(

)A.相等的線段在直觀圖中仍然相等 B.平行的線段在直觀圖中仍然平行

C.垂直的線段在直觀圖中仍然垂直 D.相等的角在直觀圖中仍然相等4.小王參加射擊比賽考核，每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，規(guī)定若第一次命中，才能進入第二次射擊，且這兩次射擊相互獨立.第一次未命中得0分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是(

)A.0.16 B.0.64 C.0.8 D.0.965.下列命題中正確的有(????)個．

①過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直

②過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行

③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β

④垂直于同一條直線的兩條直線平行A.1 B.2 C.3 D.46.某班級對60名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測驗成績進行統(tǒng)計，成績分布如下表：分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)61218159則這次測試成績的第80百分位數(shù)是(

)A.84 B.85 C.88 D.927.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖象的一個最高點坐標(biāo)為(π12,3)，相鄰的一個最低點坐標(biāo)為(7π12,?1)，則ωA.4,π6 B.2,π6 C.8.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點A′.則三棱錐A′?EFD的外接球表面積為(

)

A.4π B.6π C.8π D.12π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列推斷正確的是(

)A.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合

B.l?α，A∈l?A?α

C.已知平面α和直線l有交點，則“直線l與平面α垂直”是“平面α內(nèi)存在兩條夾角為30°的直線m，n，使得m⊥l且n⊥l”的充要條件

D.已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，l⊥α，m//l，m//β?α⊥β10.設(shè)向量a=(cosπ3,sinπA.若θ=4π3時，則a=?b

B.a+b與a?b垂直

C.若a?b=3211.在對某中學(xué)高三年級學(xué)生體重(單位：kg)的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)5：4的比例用分層隨機抽取90名學(xué)生進行測量.已知抽取的男生體重的平均數(shù)和方差分別為54，20，抽取的女生體重的平均數(shù)和方差分別為45，11，則(

)A.抽取的男生有50人 B.抽取的女生有50人

C.估計該校高三年級學(xué)生體重的平均數(shù)為50 D.估計該校高三年級學(xué)生體重的方差為36三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.計算：(3213.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息(如圖)，這些石凳是14個面的半正多面體，如果石凳的棱長為1，則石凳的表面積是______，體積是______．14.已知梯形ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=12AD=2，點P是梯形內(nèi)一點，且滿足PA+PB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

若某袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球.從中不放回地依次隨機摸出2個球，記事件A=“第一次摸到紅球”，事件B=“第二次摸到紅球”．

(1)求P(A)和P(B)的值；

(2)求兩次摸到的不都是紅球的概率．16.(本小題15分)

《哪吒之魔童鬧海》自上映以來，票房一路高歌猛進，截至2025年5月，票房已突破158億.根據(jù)燈塔數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)，某團隊隨機抽取1000人為樣本，統(tǒng)計他們的年齡，并繪制如下的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組數(shù)分組頻數(shù)第一組[0,10)100第二組[10,20)m第三組[20,30)250第四組[30,40)300第五組[40,50)n第六組[50,60)50(1)請求出各年齡段頻數(shù)分布表中m，n的值，并補全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖；

(2)試估計觀眾年齡的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)(每組年齡用中間值代替)．17.(本小題15分)

△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=4sinA，ccosC=3．

(1)求C；

(2)若0<C<π4，邊AB上的高為318.(本小題17分)

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

(1)求證：B1C1//EF；

(2)求證：19.(本小題17分)

(1)敘述正弦定理；

(2)用向量法證明正弦定理(以銳角三角形為例)；

(3)類比上述方法，解決以下問題：

如圖，直線l與△ABC的邊AB，AC分別相交于D，E，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，試用向量的方法探究θ與△ABC的邊角之間的等量關(guān)系．

參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.1

13.6+23

14.315.解：(1)將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5，

第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，

第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果，

將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，

第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種，即A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}，

∴P(A)=820=25．

第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種，即B={(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}，

∴P(B)=820=25．

(2)事件AB=”兩次摸到都是紅球“包含2個可難結(jié)果，即AB={(1,2)，(2,1)}，

16.(1)因為第二組的頻率為0.02×10=0.2，

所以m=0.2×1000=200，

所以n=1000?100?200?250?300?50=100，

補全頻率分布直方圖如下：

(2)觀眾年齡的眾數(shù)為30+402=35，

因為0.1+0.2=0.3<0.5，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，

所以中位數(shù)位于[20,30)，設(shè)年齡的中位數(shù)為x，

則0.3+0.025(x?20)=0.5，解得x=28，

年齡的平均數(shù)為：

x?=5×0.1+15×0.2+25×0.25+35×0.3+45×0.1+55×0.05=27.517.(1)∵a=4sinA，

∴由正弦定理可得c=4sinC，

∵ccosC=3，可得4sinCcosC=3，可得sin2C=32，

∵0<C<π，

∴C=π6或C=π3；

(2)∵由0<C<π4，可得C=π6，

∵ccosC=3，可得c=2，

∵12?c?3=18.解：(1)證明：因為四邊形BB1C1C是矩形，

所以B1C1//BC，

又因為B1C1?平面ABC，BC?平面ABC，

所以B1C1//平面ABC，又因為B1C1?平面B1C1FE，

平面B1C1FE∩平面ABC=EF，

所以B1C1//EF；

(2)證明：在等邊ABC中，因為M為BC的中點，

所以AM⊥BC，

因為側(cè)面BCC1B1為矩形，所以BC⊥BB1．

因為MN//B1B，所以BC⊥MN，

又因為AM∩MN=M，AM，MN?平面AMNA1，

所以BC⊥平面AMNA1，

因為NP?平面AMNA1，

所以BC⊥NP，

又因為BC//B1C1，

所以NP⊥B1C1．

(3)過M作PN的垂線，垂足為H，

由(1)(2)可知EF//BC，BC⊥平面AMNA1，

所以EF⊥平面AMNA1，

又因為MH?平面AMNA1，

所以EF⊥MH，

又因為MH⊥PN，EF∩PN=P，且EF，PN?平面EFC1B1，

所以MH⊥平面EFC1B1，

又MN//B1B，

則∠MNP就是19.(1)正弦定理的內(nèi)容是：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC；

(2)證明：如圖，在銳角△ABC中，過點A作與AC垂直的單位