第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z與52+i互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.1 B.i C.?1 D.?i2.下列命題中正確的是(

)A.若直線a上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則a//α

B.若直線a//平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行

C.若直線a//直線b，直線b//平面α，則直線a//平面α

D.若直線a//平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)3.設(shè)平面向量a=(4,2)，b=(m,?1)，若a與b不能作為平面向量的一組基底，則a?A.2 B.?10 C.?6 D.04.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AE=3ED，則BE=A.?23AB+13AC

B.25.已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題正確的是(

)A.若m⊥α，n⊥m，則n//α B.若m//α，n//β，α//β，則m//n

C.若α⊥β，n//α，則n⊥β D.若m⊥α，n//β，α//β，則m⊥n6.數(shù)據(jù)x1，x2，x3?，x10的平均數(shù)為x?=4，方差s2A.0.8 B.6 C.6.4 7.將一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3，4的直角三角形繞其較長(zhǎng)直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，則該圓錐內(nèi)切球的體積為(

)A.9π2 B.9π C.25π D.8.已知非零向量a，b的夾角為銳角，c為b在a方向上的投影向量，且|c|=2|a|=2，設(shè)b+c?a與bA.32 B.235 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=?2+mi(m∈R)，z1=(1+i)z，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若z1在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則m>2

B.若z1為純虛數(shù)，則m=2

C.|z|的最小值為2

D.存在m∈R，使z110.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1A.點(diǎn)A到平面A1BC的距離為22

B.平面A1PC與底面ABC的交線平行于A1P

C.三棱錐P?A1BC的體積為定值

D.二面角A1?BC?A的大小為π4

11.在銳角△ABC中，設(shè)a，b，cA.B=2A

B.b的取值范圍是(2,2)

C.當(dāng)b=32時(shí)，△ABC的外接圓半徑為277

D.若當(dāng)A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則AC?BF=13.已知函數(shù)f(x)=loga(x?1)+3的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，且冪函數(shù)g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A，則g(2)=14.在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=2，AD=4，∠BAD=π3，∠BCD=2π3，若二面角P?AB?D為π4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,x)，b=(2x+3,?x)，c=(?3,5)，x∈R．

(1)若a//b，求|2a?b|的值；

(2)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π<φ<π)的部分圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g(x)圖象，若不等式g(x)?m≤4對(duì)任意x∈[0,π4]成立，求17.(本小題15分)

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(1)求a；

(2)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第35百分位數(shù)；

(3)已知直方圖中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為10，[90,100]內(nèi)的平均數(shù)為95，方差為15，求成績(jī)?cè)赱80,100]內(nèi)的平均數(shù)與方差．18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinA+csinC?bsinB=12asinC．

(1)求cos∠ABC；

(2)已知AD19.(本小題17分)

如圖，四棱錐M?ABCD中，平面MAD⊥平面ABCD，△MAD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，AD//BC，BC=2AD，點(diǎn)N在棱MD上，且MN=2ND．

(1)求證：MB//平面NAC；

(2)已知AC⊥CD．

①若二面角M?AC?D的正切值為2，求三棱錐M?ACD的體積；

②若∠ADC=θ，設(shè)直線NC與平面ABCD所成的角為β，若π4≤θ≤π3

答案解析1.【答案】A

【解析】解：52+i=5(2?i)(2+i)(2?i)=2?i，

由已知條件可得z=2+i，即z的虛部為1．

故選：A2.【答案】D

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)線面相交時(shí)，不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，若直線a//平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行或異面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，若直線a//直線b，直線b//平面α，則直線a//平面α或a?α，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，若直線a//平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．

故選：D．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可．

3.【答案】B

【解析】解：a與b不能作為平面向量的一組基底，

∴a與b共線，

∴?4?2m=0，解得m=?2，

∴b=(?2,?1)，且a=(4,2)，

∴a?b=4×(?2)+2×(?1)=?10．

故選：B．

根據(jù)題意可得出4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AE=3ED，

BE=BA+AE=BA+5.【答案】D

【解析】解：已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面α，β，

對(duì)于A，若m⊥α，n⊥m，

則n/?/α或n?α，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m/?/α，n/?/β，

則m與n平行，相交或異面，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若α⊥β，n/?/α，

則n⊥β，或n/?/β，或n?β，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若m⊥α，n/?/β，α/?/β，

則m⊥n，

故選項(xiàng)D正確．

故選：D．

根據(jù)直線、平面間的位置關(guān)系判斷．

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬中檔題．6.【答案】B

【解析】解：數(shù)據(jù)x1，x2，x3?，x10的平均數(shù)為x?=4，方差s2=6.4，

即x1+x2+x3+?+x10=4×10=40，(x1?4)2+(x2?4)2+(x7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橹苯侨切蔚闹苯沁呴L(zhǎng)分別為3，4，則斜邊為32+42=5，

如圖：

由題知可得圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長(zhǎng)為5，

該圓錐內(nèi)切球半徑即為圓錐軸截面半徑．

設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為r，

則圓錐軸截面面積為12(5+5+6)r=12×6×4，

解得r=32．8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閨c|=2|a|，c為b在a方向上的投影向量，

所以c=2a，則b+c?a=a+b，a?b=12c?b=12c2=2，

設(shè)|b|=x，由題意可得|a|=1，

則(a+9.【答案】AC

【解析】解：z1=(1+i)z=(1+i)(?2+mi)=?2?m+(m?2)i，

若z1在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則?2?m<0，m?2>0，解得m>2，A正確；

若z1為純虛數(shù)，則?2?m=0，m?2≠0，解得m=?2，B錯(cuò)誤；

|z|=(?2)2+m2≥2，當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，C正確；

若z1與z互為共軛復(fù)數(shù)，則?2=?2?m，m=?(m?2)，無(wú)解，D錯(cuò)誤．

故選：AC10.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查空間角的求法，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

利用等體積法求得點(diǎn)A到平面A1BC的距離判斷A；由平面平行的性質(zhì)判斷B；利用等體積法求得三棱錐P?A1BC的體積判斷C【解答】

解：∵三棱柱ABC?A1B1C1為正三棱柱，且AB=AA1=1，

∴A1B=A1C=2，則等腰三角形A1BC的面積S=12×1×2?14=74，

設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為?，由VA1?ABC=VA?A1BC，

可得13×12×1×1×32×1=13×74×?，解得?=217，故A錯(cuò)誤；

由棱柱的上下底面平行，平面11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A：a=1，且bcosA?cosB=1，即bcosA?acosB=a，

由正弦定理得：sinBcosA?sinAcosB=sinA，即sin(B?A)=sinA，

∴B?A=A或B?A+A=π(舍去)，∴B=2A，故A正確；

對(duì)于B：由正弦定理asinA=bsinB，則b=asinBsinA=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA，

∵△ABC為銳角三角形，則0<A<π20<B<π20<C<π2，即0<A<π20<2A<π20<π?3A<π2，

∴π6<A<π4，所以b=2cosA∈(2,3)，故B不正確；

對(duì)于C：∵b=2cosA且b=32，∴cosA=34，∴sinA=74，

由正弦定理asinA=2R，求得R=277，

即△ABC的外接圓半徑為277，故C正確；

對(duì)于D：sinB?2λsin2A=sin2A?2λsin2A=sin2A?λ(1?cos2A)

=sin2A+λcos2A?λ=1+λ2sin(2A+φ)?λ，

且tanφ=λ，∵π6<A<π4，即π3<2A<12.【答案】?6

【解析】解：因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，

所以由正六邊形的性質(zhì)可得：AB⊥AE，每個(gè)內(nèi)角為120°，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AE所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(2,0)，C(3,3)，F(xiàn)(?1,3)，

所以AC=(3,3)，BF=(?3,3)13.【答案】3

【解析】解：令x?1=1，則x=2，f(2)=3，即A(2,3)，

因?yàn)閮绾瘮?shù)g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,3)，

故g(2)=3．

故答案為：3．

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出A，即可求解g(2)．

本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】49π3【解析】解：分別取AB，AD的中點(diǎn)R，Q，連接PQ，PR，RQ，

因?yàn)镻A=PD，所以PQ⊥AD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，

所以PQ⊥平面ABCD，

因?yàn)锳B?平面ABCD，PQ⊥AB，

在△ABD中，AB=2，AD=4，∠BAD=π3，

所以BD=AB2+AD2?2AB?AD?cos∠BAD=22+42?2×2×4cosπ3=23，

所以AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD．

因?yàn)辄c(diǎn)R，Q分別為AB，AD的中點(diǎn)，

所以RQ//BD，所以RQ⊥AB．

因?yàn)镽Q，PQ?平面PQR，RQ∩PQ=Q，

所以AB⊥平面PQR，又PR?平面PQR，

所以AB⊥PR，

所以∠PRQ為二面角P?AB?D的平面角，

所以∠PRQ=π4，所以PQ=RQ=12BD=3．

因?yàn)镼為直角三角形ABD的外接圓的圓心，

所以三棱錐P?ABD的外接球的球心O在直線PQ上，

由于PQ=3<2，所以O(shè)在線段PQ的延長(zhǎng)線上，

設(shè)外接球的半徑為R，

則(R?3)2+22=R2，

所以R=723．

所以三棱錐P?ABD的外接球的表面積S=4πR2=49π3．

在四邊形ABCD中，由于∠BAD+∠BCD=π，ABCD四點(diǎn)共圓，

所以三棱錐P?ABD15.【答案】1或35；

{x|x<?3【解析】解：因?yàn)閍=(1,x)，b=(2x+3,?x)，c=(?3,5)，

(1)若a/?/b，則?x=x(2x+3)，

解得x=0或x=?2，

當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0)，b=(3,0)，2a?b=(?1,0)，|2a?b|=1，

當(dāng)x=?2時(shí)，a=(1,?2)，b=(?1,2)，2a?b=(3,?6)，|2a?b|=35；

(2)若a與c的夾角是鈍角，則a?c=?3+5x<0且a與c不共線，

16.【答案】f(x)=3sin(2x?2π3)，[π12+kπ,7π【解析】(1)由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象知，A=3，

T=4×(7π12?π3)=π，所以ω=2πT=2，

由f(7π12)=3sin(2×7π12+φ)=3，得7π6+φ=π2+2kπ，k∈Z；

解得φ=?2π3+2kπ，k∈Z；

又?π<φ<π，所以φ=?2π3，f(x)=3sin(2x?2π3)，

令?π2+2kπ≤2x?2π3≤π2+2kπ，k∈Z；

解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度，

得函數(shù)y=f(x+5π12)=3sin[2(x+5π1217.【答案】a=0.005；

中位數(shù)為80，第35百分位數(shù)為75；

平均數(shù)為89，方差為36．

【解析】(1)由題意可得(a+0.015+0.020+0.003×2)×10=1，解得a=0.005．

(2)前三組頻率之和為0.05+0.15+0.030=0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80；

前兩組頻率之和為(0.005+0.015)×10=0.2，

則樣本數(shù)據(jù)的第35百分位數(shù)落在第三組，設(shè)第35百分位數(shù)為m，

則(m?70)×0.03=0.35?0.2，解得m=75；

(3)由題意，成績(jī)?cè)赱80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為30，20．

所以成績(jī)?cè)赱80,100]內(nèi)的平均數(shù)為：x?=85×30+95×2050=89，

方差為S2=35[10+(89?85)2]+25[15+(89?95)2]=36．

所以，成績(jī)?cè)赱80,100]內(nèi)的平均數(shù)為89，方差為36．

(1)由所有矩形面積之和為118.【答案】14；

9【解析】(1)因?yàn)閍sinA+csinC?bsinB=12asinC，

由正弦定理，a2+c2?b2=12ac，

因此cos∠ABC=a2+c2?b22ac=12ac2ac=14；

(2)由AD=2DC，

得BD=