21.2

解一元二次方程第二十一章

一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.重點(diǎn)：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.難點(diǎn)：不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對(duì)一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.復(fù)習(xí)導(dǎo)入3.解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6想一想

方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)一：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系猜一猜（1）若一元二次方程的兩根為x1，x2，則有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1，x2,那么x1+x2=-p，

x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知猜一猜（2）通過上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你能證明這個(gè)猜測嗎？證一證：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1、x2，那么注意：滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.

歸納總結(jié)

韋達(dá),1540年出生于法國的波亞圖,他把符號(hào)系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用,人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”.????歷史上流傳著一個(gè)有關(guān)韋達(dá)的趣事:有一次，荷蘭派到法國的一位使者告訴法國國王,比利時(shí)的數(shù)學(xué)家羅門提出了一個(gè)45次的方程向各國數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn).國王于是把這個(gè)問題交給韋達(dá),韋達(dá)當(dāng)即得出一正數(shù)解,回去后很快又得出了另外的22個(gè)正數(shù)解(他舍棄了另外的22個(gè)負(fù)數(shù)解).消息傳開,數(shù)學(xué)界為之震驚.同時(shí),韋達(dá)也回敬了羅門一個(gè)問題,羅門一時(shí)不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出來.

韋達(dá)研究了方程根與系數(shù)的關(guān)系,在一元二次方程中就有一個(gè)根與系數(shù)之間關(guān)系的韋達(dá)定理.知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用例1

利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；解：這里a=1,b=–6,c=–15.

Δ

=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=–15.典型例題（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，

x1x2=解：這里a=3,b=7,c=-9.Δ=b2-4ac=72–4×3×(-9)=157>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么（3）5x–1=4x2.解：方程可化為4x2–5x+1=0，這里a=4，

b=–5，c=1.

Δ

=b2-4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，

x1x2=.歸納：在運(yùn)用韋達(dá)定理求兩根之和、兩根之積時(shí)，先把方程化為一般式，再分別代入a、b、c的值即可.1.不解方程，求下列方程兩根的和與積.

解：x1+x2=3x1x2=-15解：化簡得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1當(dāng)堂檢測2.已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=2

.所以x1·x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一個(gè)根是

，k=－7.（1）

；（2）

．3．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的兩根，不解方程求下列各式的值．解：∵x1，x2是方程x2－5x－7＝0的兩根，則x1＋x2＝5，x1x2＝－7．（1）．（2）總結(jié)常見的求值:4.設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值.

歸納：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)數(shù)根滿足的條件，求待定字母的值時(shí)，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)數(shù)根的條件，即所求的字母應(yīng)該滿足△≥0.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+m

-2=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)若方程兩根x1，x2滿足|x1-x2|=

1，

求m的值.解：(1)方程有實(shí)數(shù)根∵m≠0，∴m的取值范圍為m＞0.(2)∵方程有實(shí)數(shù)根x