專題3三角形全等作輔助線模型（二）-截長補短（專項練習）（鞏固篇）一、單選題1．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．92．如圖，在中，，，平分，、分別是、上的動點，當最小時，的度數(shù)為()A． B． C． D．3．如圖，在中，，，，平分交于D點，E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．4．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定5．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（）A．3 B．9 C．11 D．15二、解答題6．已知：如圖所示，在中，為中線，交分別于，如果，求證：．7．如圖，在中，平分交于點D，若，求的度數(shù)．8．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關系，并給出證明．9．已知：如圖所示，四邊形中，是上一點，且平分平分，若，求四邊形的面積．10．如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊，于點、，連接．（1）探究、、之間的關系，并說明理由；（2）若點、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關系？并說明理由．三、填空題11．（1）如圖（1），在四邊形中，,，E，F(xiàn)分別是上的動點，且，求證：．（2）如圖（2），在（1）的條件下，當點E，F(xiàn)分別運動到的延長線上時，之間的數(shù)量關系是______．12．如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在CA、BA的延長線上，連接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，則CE的長為__．13．如圖，是等邊三角形，，，，則________．14．如圖，，平分，，，則_____．15．如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）16．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E，使得DE=DA，則∠ECA=________．17．如圖，中，平分，，，則的度數(shù)為_______．

參考答案1．B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【點撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關鍵．2．B【分析】在AC上截取AE=AN，先證明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．當B、M、E共線，BE⊥AC時，BM+ME最小，可求出∠NME的度數(shù)，從而求出∠BMN的度數(shù)．【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，∵∠BAC的平分線交BC于點D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME與△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME，當B、M、E共線，BE⊥AC時，BM+ME最小，∴MN⊥AB∵∠BAC=68°∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，∴∠BMN=180°-112°=68°．故選：B．【點撥】本題考查了軸對稱-最短問題，解題的關鍵是能夠通過構造全等三角形，把BM+MN進行轉化，利用垂線段最短解決問題．3．D【分析】利用角平分線構造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點C到AB的垂線段長度．【詳解】在AB上取一點G，使AG＝AF∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當C、E、G三點共線時，符合要求，此時，作CH⊥AB于H點，則CH的長即為CE+EG的最小值，此時，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【點撥】本題考查了角平分線構造全等以及線段和差極值問題，靈活構造輔助線是解題關鍵．4．C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應邊相等即可得出三條線段之間的關系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故選：C．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，截長補短是證明線段和差關系的常用方法.5．C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進而代入數(shù)值解答即可．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接DE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB

∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，

∴∠DEC=∠EDC，

∴CD=CE，∵，，

∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．

故選：C．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質；利用了全等三角形中常用輔助線-截長補短法構造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．6．詳見解析【分析】根據(jù)點D是BC的中點，延長AD到點G，得到，利用全等三角形的對應角相等，對應邊相等進行等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．【詳解】證明：延長ED至G，使，連結GC，∵在中，為中線，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∴，，，，，．又，∴，∴.【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是通過作輔助線構建全等三角形．7．【分析】在上截取，連接，證明，再證明，設，再得到，證明然后利用內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，在上截取，連接．∵平分，．∵，，∴∵，，∴，∴，∴．∵，∴．設，則．∵在中，，解得，∴．【點撥】本題考查的是角平分線的定義，三角形全等的判定與性質，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．8．CN=MN+BM，見解析【分析】采用“截長補短”法，在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，結合等邊及等腰三角形的性質利用SAS可證△MBD≌△ECD，繼而可證△MND≌△END，由全等的性質可得結論.【詳解】解：CN=MN+BM．證明：如圖，在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．在△MBD和△ECD中，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND與△END中，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【點撥】本題考查了等邊及等腰三角形的性質及全等三角形的判定和性質，并采用了截長補短法，靈活利用已知條件證明三角形全等是解題的關鍵.9．12.【分析】在AB上截，根據(jù)SAS易證，∠AOD=∠AOE，根據(jù)平行線和角平分線的性質可得出∠AOB=90°，則，可得，繼而證明△BOE≌△BOC，可得S四ABCD=2S△AOB，即可得出答案．【詳解】解：在AB上截，∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠EAO，在△AOD和△AOE中,∴，，，平分，平分，∴∠AOB=90°，，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，在△BOC和△BOE中,∴，四邊形ABCD的面積的面積==12.故答案為12.【點撥】本題考查角平分線的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，三角形面積的計算，由全等三角形的性質得出S四ABCD=2S△AOB是解題的關鍵．10．（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【分析】（1）由等腰三角形的性質，解得，，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG，進而證明，再根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質解得，再結合等腰三角形的性質可證明，最后根據(jù)全等三角形的性質解題即可；（2）在CA上截取CG=BE,連接DG，由等腰三角形的性質，可得，，進而證明得到，據(jù)此方法再證明，最后根據(jù)全等三角形的性質解題即可．【詳解】（1）和是等腰三角形，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG在和中，BG=CF，，在和中，DE=DE，，（2）在CA上截取CG=BE,連接DG是等腰三角形，在和中，CG=BE，在和中，F(xiàn)D=FD，【點撥】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．11．（1）詳見解析；（2）【分析】（1）延長到點G，使，連接，先證明，得到，然后證明，得到，根據(jù)，可得；（2）在上截取，連接，先證明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再證明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根據(jù)BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【詳解】（1）如圖，延長到點G，使，連接．，，又，，∴，，，．，∴，．，；（2）．如圖，在上截取，連接，，，在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠BAD=2∠EAF，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，∴∠GAE=∠EAF，在△EAG和△EAF中，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF，∵BG=DF，∴EF=BE-BG=BE-DF．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握判定定理是解題關鍵．12．6【分析】在AD上截取AF=AE，連接BF，易得△ABF≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BFA=∠E，CE=BF，則有∠D=∠DFB，然后根據(jù)等腰三角形的性質可求解．【詳解】解：在AD上截取AF=AE，連接BF，如圖所示：AB=AC，∠FAB=∠EAC，，BF=EC，∠BFA=∠E，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∠DFB=∠D，BF=BD，BD=6，CE=6．故答案為6．【點撥】本題主要考查全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．13．6【分析】在線段BD上取一點E，使得BE=CD，連接AE，由四點共圓得∠，再證明，△是等邊三角形，得，再由線段的和差關系可得結論．【詳解】解：在線段BD上取一點E，使得BE=CD，連接AE，∵∴四點共圓，∴∠∴∠∵△是等邊三角形，∴，，∴△，∠，∴，∴∠，即，∴△是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴．【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及四點共圓的判定，證明∠是解答此題的關鍵．14．4【分析】在BC上截取BE＝AB，利用“邊角邊”證明△ABD≌△EBD，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE＝AD，由全等三角形對應角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，等量代換得到EC＝AD，則BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD長．【詳解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如圖，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△BED中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴DE＝AD，∠BED＝∠A，又∵∠A＝2∠C，∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴EC＝AD，∴BC＝BE+EC＝AB+AD，∵BC＝10，AB＝6，∴AD＝10﹣6＝4；故答案為：4．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質，等角對等邊的性質，作輔助線構造出全等三角形和等腰三角形是解題的關鍵．15．180°-2x【分析】在CD上截取CE=CB，證明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可進一步證明∠D+∠B=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得結論．【詳解】解：在CD上截取CE=CB，如圖所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°