2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（立體幾何突破思維導圖試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離是（）A.2√3B.√3C.√2D.12.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成的角為θ，則θ的值為（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.給定三個非零向量a=(1，0，1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)，則向量a+b+c與向量a-b+c的數(shù)量積為（）A.1B.2C.3D.44.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/35.已知點P（1，2，3）和點Q（3，2，1），則向量PQ在z軸上的投影長為（）A.2B.√2C.√3D.16.給定直線l1：x=1和直線l2：y=1，則兩直線所確定的平面的方程為（）A.x+y=2B.x-y=0C.x+y=1D.x-y=17.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為1的正三角形，側棱AA1=2，則點A1到平面BB1C1C的距離為（）A.√3B.√2C.1D.√3/28.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為n1=(1，1，1)，平面β的法向量為n2=(1，-1，0)，則直線l與z軸所成的角的余弦值為（）A.1/√3B.√2/2C.1/√2D.√3/39.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x+y=2，z=0的距離是（）A.√5/2B.√10/2C.√15/2D.√510.給定三個非零向量a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)，則向量a+b+c與向量a-b+c的數(shù)量積為（）A.3B.4C.5D.611.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB的中點，點F是棱CC1的中點，則直線EF與平面ADD1A1所成的角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.112.已知點P（1，2，3）和點Q（3，2，1），則向量PQ與向量QP的數(shù)量積為（）A.0B.2C.4D.8二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。請將答案填在答題卡相應位置。）13.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距離是________。14.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成的角為θ，則cosθ的值為________。15.給定三個非零向量a=(1，0，1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)，則向量a+b+c與向量a-b+c的模長之比為________。16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成的角的正弦值為________。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABE的體積。18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，點D是棱A1B1的中點。（1）求證：BD⊥A1C1；（2）求直線BD與平面ACC1A1所成角的正弦值。19.（本小題滿分12分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，0），點B（3，0，2），點C（0，1，1）。（1）求過點A且與向量AB、AC垂直的平面α的方程；（2）求點B到平面α的距離。20.（本小題滿分13分）如圖，在五面體P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，PA=2，底面ABCDE是矩形，AB=2，BC=1，點F是棱PC的中點。（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。21.（本小題滿分13分）在空間直角坐標系中，點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），點D（1，1，1）。（1）求過點A且與向量AB、AC、AD都平行的平面β的方程；（2）求點D到平面β的距離。22.（本小題滿分14分）在六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AA1=AD=2，AB=1，∠BAD=45°，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點。（1）求證：EF⊥平面A1BD；（2）求三棱錐E-A1BD的體積。四、選做題（本大題共2小題，共10分。請根據(jù)要求選擇一道作答，若兩題都作答，則按第23題計分。）23.（本小題滿分10分）選修4-4：空間向量與立體幾何在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E、F分別是棱PC、PD的中點。（1）求證：平面EBF⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-EBF的體積。24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知a、b、c是空間中三個非零向量，且a·b=0，b·c=0，c·a=0，|a|=|b|=|c|=1。（1）求證：a+b+c≠0；（2）若向量u=a+b，v=b+c，求|u-v|的最小值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離d=|1+2+3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3√3=3，故選A。2.B解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=0的法向量n=(1，1，1)，設直線l與平面α所成的角為θ，則cosθ=|n·(1，0，0)|/|n||(1，0，0)|=1/√3，θ=45°，故選B。3.C解析：a+b+c=(1+1+0，0+1+1，1+0+1)=(2，2，2)，a-b+c=(1-1+0，0-1+1，1-0+1)=(0，0，2)，(a+b+c)·(a-b+c)=2×0+2×0+2×2=4，故選C。4.A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)是CC1中點，EF過B，B在平面ABB1A1上，EF與平面ABB1A1所成的角即EF與BB1所成的角。設正方體棱長為1，B（0，1，0），E（0.5，1，0），F(xiàn)（0.5，1，0.5），向量EF=(0，0，0.5)，向量BB1=(0，0，1)，cosθ=|EF·BB1|/|EF||BB1|=0.5，θ=60°，sinθ=√3/2，故選A。5.A解析：向量PQ=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，在z軸上的投影長為|-2|=2，故選A。6.A解析：直線l1：x=1與l2：y=1相交于點（1，1），所確定的平面的法向量為（1，1，0），方程為x+y=2，故選A。7.C解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，高為√3/2，A1在平面A1BC1上，A1（0，√3/2，2），平面BB1C1C的法向量為（0，1，0），A1到平面的距離為|√3/2|=1，故選C。8.A解析：平面α的法向量n1=(1，1，1)，平面β的法向量n2=(1，-1，0)，直線l的方向向量為n1×n2=(-1，1，-2)，z軸方向向量為（0，0，1），cosθ=|-2|/√5=1/√3，故選A。9.A解析：直線l：x+y=2，z=0的法向量為（1，1，0），點A（1，2，3）到直線的距離為|1+2-2|/√2=√5/2，故選A。10.C解析：a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)，a+b+c=(3，2，2)，a-b+c=(1，1，2)，(a+b+c)·(a-b+c)=3×1+2×1+2×2=9，|a+b+c|=√(3^2+2^2+2^2)=√17，|a-b+c|=√(1^2+1^2+2^2)=√6，數(shù)量積為9/√(17×6)=3，故選C。11.A解析：正方體棱長為1，E是AB中點，F(xiàn)是CC1中點，E（0.5，1，0），F(xiàn)（0.5，0，1），EF中點在平面ADD1A1上，EF方向向量為（0，-1，1），平面ADD1A1的法向量為（0，1，0），cosθ=|(-1)|/√2=1/√2，故選A。12.A解析：向量PQ=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，向量QP=(-2，0，2)，數(shù)量積=-2×2+0×0+2×(-2)=0，故選A。二、填空題答案及解析13.√6/3解析：平面α：2x+y+z=1的法向量為（2，1，1），點A（1，2，0）到平面的距離d=|2×1+1×2+1×0-1|/√6=√6/3。14.1/√3解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成的角θ，法向量n=(1，1，1)，方向向量（1，0，0），cosθ=1/√3。15.√3/√2解析：a+b+c=(3，2，2)，a-b+c=(1，1，2)，|a+b+c|=√17，|a-b+c|=√6，模長之比為√17/√6=√(17/6)=√3/√2。16.1/2解析：E（0.5，1，0），F(xiàn)（0.5，0，1），EF中點在平面ABB1A1上，EF方向向量為（0，-1，1），平面ABB1A1的法向量為（0，1，0），cosθ=1/√2，sinθ=1/√2，故sinθ=1/2。三、解答題答案及解析17.（1）證明：ABCD為矩形，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A，AD⊥平面ABE，AB⊥平面ABE，PA⊥平面ABE，平面ABE⊥平面PAC。（2）解：三棱錐P-ABE體積V=1/3×S△ABE×PA，S△ABE=1/2×AB×BE=1/2×1×√5=√5/2，V=1/3×√5/2×2=√5/3。18.（1）證明：AC⊥BC，AC⊥BC，AA1⊥平面ABC，AA1⊥BC，BC⊥平面A1AC，BC⊥A1C1，A1C1⊥BD。（2）解：向量BD=(1，-1，-2)，平面ACC1A1的法向量為（0，1，0），直線BD與平面所成的角θ，sinθ=|BD·n|/|BD||n|=1/√6=√6/6。19.（1）解：向量AB=(2，-2，2)，向量AC=(-1，-1，1)，平面法向量為（2，-2，2）×（-1，-1，1）=(0，4，0)，平面方程為4(y-2)=0，即y=2。（2）解：點B到平面距離為|0|=0。20.（1）證明：ABCDE為矩形，BC⊥AB，BC⊥AC，PA⊥平面ABCDE，PA⊥BC，BC⊥平面PAC，BC⊥PA，平面PBC⊥平面PAC。（2）解：三棱錐P-ABC體積V=1/3×S△ABC×PA，S△ABC=1/2×2×1=1，V=1/3×1×2=2/3。21.（1）解：向量AB=(-1，1，0)，向量AC=(-1，0，1)，向量AD=(-1，-1，1)，平面法向量為（-1，1，0）×（-1，0，1）=(1，1，1)，平面方程為x+y+z=1。（2）解：點D到平面距離為|1+1+1-1|/√3=√3。22.（1）證明：六面體中，E、F分別為CC1、BB1中點，EF∥BC，BC⊥平面A1BD，EF⊥平面A1BD。（2）解：三棱錐E-A1BD體積V=1/3×S△A1BD×AE，S△A1BD=1/2×2×√2=√2，AE=√2，V=1/3×√2×√2=2/3。四、選做題答案及解析23.（1）證明：平面EBF的法向量為（1，-1，0