第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合M={x|2x?1>4}，N={1,2,3}，則M∩N=(

)A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.?2.“x=0”是“sinx=0”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.(2x?1)3的展開式中x2的系數(shù)為A.6 B.?6 C.12 D.?124.曲線y=x在點(4,2)處的切線方程為(

)A.x+4y+4=0 B.x?4y+4=0 C.x+4y+12=0 D.x?4y+12=05.一次期中數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布N(110,σ2).若P(95≤X≤125)=35，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于A.9125 B.13125 C.441256.設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x+1，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.f(x?1)+1 B.f(x+1)+1 C.f(x?1)?1 D.f(x+1)?17.學(xué)校開展數(shù)學(xué)學(xué)科周活動，從高二(1)、(2)、(3)、(4)班各選兩名同學(xué)組成一個8名同學(xué)的志愿者小隊，老師從中隨機選擇四名同學(xué)協(xié)助工作，已知有兩名同學(xué)來自同一個班級，則另外兩名同學(xué)不是來自同一個班級的概率為(

)A.25 B.45 C.8158.已知函數(shù)f(x)=ex+e?x+ax2?2，A.(?∞,0] B.[?1,0] C.[?1,+∞) D.[0,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖是由5個樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,?,5)得到的散點圖，根據(jù)這5個樣本數(shù)據(jù)建立y關(guān)于xA.樣本數(shù)據(jù)x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)為4

B.去掉D(3,10)后，殘差平方和變小

C.經(jīng)驗回歸直線y?=b?x+a?經(jīng)過點(4,6.8)

D.相關(guān)系數(shù)r用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，|r|越接近于1，相關(guān)性越弱

10A.ab的最小值是2 B.a2+b2的最小值是165

C.1a+11.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時，f(x)=x3?3x，且f(x)的圖象關(guān)于點(2,2)中心對稱，則下列說法正確的是A.f(3)=6

B.方程f(x)=5所有根的和為12

C.g(x)=f(x)?x是周期為4的周期函數(shù)

D.線段y=x+1639，x∈[?2,10]與y=f(x)，三、填空題：本題共3小題，共15分。12.(?18)113.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2?x)=f(x)，且f(11)+f(10)=?1，則f(1)=______．14.互質(zhì)是數(shù)論中一個基礎(chǔ)概念，指的是兩個整數(shù)公因數(shù)只有1，例如1和4，21和25分別都只有公因數(shù)1，所以1和4，21和25分別都是互質(zhì)的.2160的不同的正因數(shù)有______個，從中選取兩個不同的正因數(shù)，這兩個數(shù)互質(zhì)的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某學(xué)習(xí)小組為了研究性別與近視之間是否有關(guān)聯(lián)，在年級隨機選取了30人，得到如下列聯(lián)表：性別近視合計不近視近視男51722女268合計72330(1)在樣本中的8名女生中隨機選取2人，求這2人中至少有1人是近視的概率；

(2)小組成員甲通過計算發(fā)現(xiàn)女生的近視率為34小于男生的近視率1722，所以甲認為男生更容易近視.請根據(jù)小概率值α0.10.050.01x2.7063.8416.635χ216.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax在x=1處取到極值．

(1)求a；

(2)設(shè)g(x)=f(x)+2x，求17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的圖象過點(22?2,32)．

(1)求a；

(2)當(dāng)x∈(?2,2)時，存在偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)?(x)，使得f(x)=g(x)+?(x)．

(i)求g(x)18.(本小題17分)

有n個不同的球和n個編號為1到n的盒子(每個盒子都能裝下至少n個球)，現(xiàn)將n個球隨機地放入這n個盒子里，記Xn為空盒子的個數(shù)．

(1)若n=2，設(shè)A=“1號盒子為空”，求P(A)；

(2)若n=4，求X4的分布列和期望；

(3)若X、Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y).證明：E(19.(本小題17分)

(1)實數(shù)x、y滿足xy?x+2y+1=0，將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，并求該函數(shù)的值域；

(2)已知函數(shù)y=ex?ax2，是否存在實數(shù)a，使得x也是關(guān)于y的函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由；

(3)實數(shù)x、y滿足x2y4+xy參考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.ABC

10.BCD

11.ABC

12.0

13.1

14.40

4739015.(1)根據(jù)題意可知，8名女生中，有6名近視，2名不近視，設(shè)X為近視的人數(shù)，

則P(X≥1)=1?P(X=0)=1?C22C82=2728，

所以這2人中至少一個是近視的概率為2728；

(2)零假設(shè)H0：性別與是否近視無關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，計算得χ16.(1)函數(shù)f(x)=lnx+ax，那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1x?ax2=x?ax2，

由于f(x)在x=1處取到極值，因此f′(1)=a?1=0，得a=1，

因此導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x?1x，當(dāng)x>1時，f′(x)>0，當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，

因此f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

因此f(x)在x=1處取得極小值，

綜上a=1．

(2)根據(jù)第一問可得函數(shù)g(x)=lnx+1x+2x，其中x>0，

因此導(dǎo)函數(shù)g′(x)=1x?1x2+2=2x2+x?1x2=17.(1)由題意函數(shù)f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的圖象過點(22?2,32)，

可得f(22?2)=loga22=32，解得a=2；

(2)(i)由題意x∈(?2,2)時，存在偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)?(x)，使得f(x)=g(x)+?(x)，

可得f(?x)=g(?x)+?(?x)=g(x)??(x)，

由f(x)=g(x)+?(x)，

所以g(x)=f(x)+f(?x)2=log2(x+2)+lo18.(1)1號盒子為空，因此兩個球都放入了2號盒子，因此P(A)=122．

(2)X4的可能取值為0、1、2、3，

P(X4=0)=A444X0123P39211E(X4)=0×332+1×916+2×2164+3×164=0+916+2132+364=8164．

(3)證明：每個盒子空的概率為p=(n?1)nnn=(1?1n)n，

設(shè)Yi=1,i號盒子為空0,i號盒子非空，因此P(Yi=1)=p=(1?1n)n，

因此E(Yi)=1×(1?119.(1)因為xy?x+2y+1=0，則y(x+2)=x?1，所以y=x?1x+2=1?3x+2，

因為3x+2≠0，所以y≠1，即函數(shù)的值域為(?∞,1)∪(1,+∞)．

(2)若x是關(guān)于y的函數(shù)，則對于任意的y，都只有唯一確定的x與之對應(yīng)，

所以對任意的t，方程ex?ax2=t最多只有一個實數(shù)根，

設(shè)f(x)=ex?ax2，所以f′(x)=ex?2ax，

令g(x)=ex?2ax，則g′(x)=ex?2a．

(i)a=0時，y=ex，可得x=lny，所以x是y的函數(shù)；

(ii)a>0時，令g′(x)=0，得x=ln(2a)，

x∈(?∞,ln(2a))，g′(x)<0，f′(x)在(?∞,ln(2a))上單調(diào)遞減，

x∈(ln(2a),+∞)，g′(x)>0，f′(x)在(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞增，

所以f′(x)min=f′(ln(2a))=2a?2aln(2a)，

當(dāng)f′(x)min≥0，即0<a≤e2時，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，

所以ex?ax2=t最多只有1個解，符合題意；

當(dāng)f′(x)min<0，即a>e2時，

由f′(0)=1>0，f′(ln(2a))<0，所以?α∈(0,ln(2a))，f′(α)=0，

f′(2a)=e2a?(2a)2>0，所以?β∈(ln(2a),2a)，f′(β)=0，

當(dāng)x∈(?∞,α)，f′(x)>0，f(x)在(?∞,α)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(α,β)，f′(x)<0，f(x)在(α,β)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(β,+∞)，f′(x)>0，f(x)在(β,+∞)上單調(diào)遞增，

設(shè)F1(x)=f(x)?f(β)，所以F1(x)在(?∞,α)單調(diào)遞增，

F1(α)=f(α)?f(β)>0，F(xiàn)1(?β)=e?β?eβ<0，

所以?x1∈(?β,α)，使得F1(x1)=0，即f(x1)=f(β)，

所以方程ex?ax2=f(β)有兩個實數(shù)根β和x1，不合題意；

(iii)a<0時，g′(x)>0，f′(x)單調(diào)遞增，

因為f′(0)=1>0，f′(12a)=e12a?1<0，