北大數(shù)學(xué)期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(0\)2.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)=（）A.\(\{1\}\)B.\(\{4\}\)C.\(\{2,3\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)4.方程\(x^2-4=0\)的解是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=\pm2\)D.\(x=4\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_3\)=（）A.\(5\)B.\(4\)C.\(3\)D.\(2\)6.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)=（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)8.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)9.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)=（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)10.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則\(ab\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x+1\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本不等式的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）C.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)D.\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)3.直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)，則直線\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=3(x-1)\)B.\(3x-y-1=0\)C.\(y=3x-1\)D.\(x-3y+5=0\)4.下列哪些是等比數(shù)列（）A.\(1,2,4,8\cdots\)B.\(1,-1,1,-1\cdots\)C.\(1,1,1,1\cdots\)D.\(1,3,5,7\cdots\)5.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.焦點(diǎn)在\(x\)軸B.\(a=3\)C.\(b=2\)D.\(c=\sqrt{5}\)6.以下哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（）A.\(\log_a1=0\)B.\(\log_aa=1\)C.\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）D.\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）7.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖像特點(diǎn)有（）A.關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱B.最大值為\(1\)C.最小正周期為\(2\pi\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減8.已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則以下向量運(yùn)算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)D.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)9.以下哪些點(diǎn)在圓\(x^2+y^2=25\)上（）A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((0,5)\)D.\((5,0)\)10.對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(a\gt0\)，圖像開口向上B.對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)D.與\(y\)軸交點(diǎn)為\((0,c)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）4.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）6.數(shù)列\(zhòng)(1,1,1,1\cdots\)既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）7.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）8.對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)）的圖像恒過點(diǎn)\((1,0)\)。（）9.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）10.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(b=0\)時(shí)，\(z\)為實(shí)數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)，這里\(a=3\)，\(b=-2\)，則對(duì)稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=2\)，\(d=3\)代入，得\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)。3.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)在第二象限，求\(\cos\alpha\)的值。答案：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又\(\alpha\)在第二象限，\(\cos\alpha\lt0\)，則\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與值域。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)定義域?yàn)閈(x\neq1\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\lt1\)且趨近\(1\)時(shí)，\(y\to-\infty\)；\(x\to-\infty\)時(shí)，\(y\to0\)。當(dāng)\(x\gt1\)且趨近\(1\)時(shí)，\(y\to+\infty\)；\(x\to+\infty\)時(shí)，\(y\to0\)，值域是\(y\neq0\)。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d\ltr\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.分析等比