2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-解析幾何與函數(shù)綜合試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）A.3B.2C.1D.02.已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)，則過點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程為（）A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x+2y-5=0D.x-2y-3=03.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值為（）A.0B.1C.2D.34.拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.pB.2pC.p/2D.4p5.圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的圓心坐標(biāo)為（）A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)6.函數(shù)f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增7.已知直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+d=0平行，則下列結(jié)論正確的是（）A.a/m=b/nB.a/m=-b/nC.a/n=b/mD.a/n=-b/m8.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為（）A.√2B.1C.2D.π9.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-1)^2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最大值為（）A.1B.√2C.2D.√310.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.已知函數(shù)f(x)=x^2+ax+b，若f(1)=3且f(-1)=5，則a+b的值為________。12.拋物線y^2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________。13.圓(x-2)^2+(y+3)^2=9的圓心到直線x-y=1的距離為________。14.函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|的值域?yàn)開_______。15.已知直線l1:2x+y-1=0與直線l2:x-2y+k=0相交于點(diǎn)P，若∠OPA=90°（O為原點(diǎn)，A為點(diǎn)(1,2)），則k的值為________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。（1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）若方程f(x)=k有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。17.（本小題滿分15分）已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)，C(2,-1)。（1）求過點(diǎn)A且與直線BC垂直的直線方程；（2）求△ABC的外接圓方程。18.（本小題滿分15分）已知拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為√2。（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若|PF|=2|FQ|，求直線PQ的方程。19.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|。（1）作出函數(shù)f(x)的圖像；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。20.（本小題滿分15分）已知圓C:(x-1)^2+(y-2)^2=4與直線l:y=kx相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為原點(diǎn)）。（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）求△OPQ的面積。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且橢圓C上的點(diǎn)到直線x+y-√2=0的距離的最大值為1。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，且△PF1F2的面積等于△QF1F2的面積，求直線PQ的方程。22.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2。（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；（3）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。23.（本小題滿分15分）已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)，D(0,0)。（1）求過點(diǎn)A且與直線BC平行的直線方程；（2）求過點(diǎn)B且與直線AC垂直的直線方程；（3）求以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積。24.（本小題滿分15分）已知雙曲線C:x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的離心率為2，且雙曲線C上的點(diǎn)到直線x-y=0的距離的最小值為√5/5。（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且|PF1|=|F1Q|，求直線PQ的方程。25.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|。（1）作出函數(shù)f(x)的圖像；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.（本小題滿分15分）已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)，C(2,-1)。（1）求過點(diǎn)A且與直線BC垂直的直線方程；（2）求△ABC的外接圓方程。27.（本小題滿分15分）已知拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為√2。（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若|PF|=2|FQ|，求直線PQ的方程。28.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|。（1）作出函數(shù)f(x)的圖像；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。29.（本小題滿分15分）已知圓C:(x-1)^2+(y-2)^2=4與直線l:y=kx相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為原點(diǎn)）。（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）求△OPQ的面積。30.（本小題滿分15分）已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且橢圓C上的點(diǎn)到直線x+y-√2=0的距離的最大值為1。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，且△PF1F2的面積等于△QF1F2的面積，求直線PQ的方程。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，所以3(1)^2-a=0，解得a=3。2.B解析：直線AB的斜率為m=(0-2)/(3-1)=-1。過點(diǎn)A(1,2)且與直線AB垂直的直線斜率為1。所以直線方程為y-2=1(x-1)，即2x-y-4=0，化簡(jiǎn)得2x+y-4=0。3.C解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)g(-1)=|-1-1|+|-1+1|=2。所以最小值為2。4.A解析：拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(p/2,0)，準(zhǔn)線方程為x=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p/2-(-p/2)=p。5.A解析：圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的圓心坐標(biāo)為(1,-2)。6.A解析：函數(shù)f(x)=e^x-x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=e^x-1。當(dāng)x>0時(shí)，e^x>1，所以f'(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，e^x<1，所以f'(x)<0；當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)=0。所以函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。因此函數(shù)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。7.A解析：直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+d=0平行，則a/m=b/n。所以A選項(xiàng)正確。8.A解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。當(dāng)x+π/4=π/2+2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值√2。9.B解析：點(diǎn)P到直線x+y=0的距離為d=|x+y|/√2。當(dāng)點(diǎn)P在圓(x-1)^2+(y-1)^2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x+y的最大值為√2+1+1=√2+2，最小值為-√2-1-1=-√2-2。所以距離的最大值為(√2+2)/√2=√2+1，最小值為(-√2-2)/√2=-√2-1。因此最大值為√2。10.C解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)即為方程x^2-4x+3=0的根。解得x=1或x=3。所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。二、填空題答案及解析11.4解析：f(1)=1^2+a(1)+b=3，f(-1)=(-1)^2+a(-1)+b=5。解得a=-1，b=4。所以a+b=-1+4=3。12.(2,0)解析：拋物線y^2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。13.√5解析：圓心到直線x-y=1的距離為d=|1-(-1)-1|/√2=√5。14.[2,+∞)解析：函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|在x=2時(shí)取得最小值2。所以值域?yàn)閇2,+∞)。15.-4解析：直線l1:2x+y-1=0與直線l2:x-2y+k=0相交于點(diǎn)P，則P滿足方程組2x+y-1=0，x-2y+k=0。解得P((2k-1)/5,(3-k)/5)。因?yàn)椤螼PA=90°，所以O(shè)P·PA=0。即(2k-1)/5*(1-(2k-1)/5)+(3-k)/5*(2-(3-k)/5)=0。解得k=-4。三、解答題答案及解析16.解析：（1）f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。當(dāng)x=0時(shí)，f''(0)=-6<0，所以x=0為極大值點(diǎn)；當(dāng)x=2時(shí)，f''(2)=6>0，所以x=2為極小值點(diǎn)。（2）方程f(x)=k有且只有一個(gè)實(shí)根，則y=f(x)與y=k只有一個(gè)交點(diǎn)。由（1）知，f(x)在x=0處取得極大值f(0)=2，在x=2處取得極小值f(2)=-2。所以k=2或k=-2時(shí)，方程f(x)=k有且只有一個(gè)實(shí)根。因此實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k=2或k=-2}。17.解析：（1）直線BC的斜率為m=(0-(-1))/(3-2)=1。過點(diǎn)A且與直線BC垂直的直線斜率為-1。所以直線方程為y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0。（2）△ABC的外接圓即為過點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2,-1)的圓。圓心為三角形ABC的重心，即(1+0+2)/3,(0+1-1)/3=(1,0)。半徑為√((1-1)^2+(0-(-1))^2)=1。所以圓方程為(x-1)^2+y^2=1。18.解析：（1）拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為(p/2,0)。焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為d=|p/2-0+2|/√2=√2。解得p=2。（2）過點(diǎn)F(1,0)的直線交拋物線y^2=4x于P、Q兩點(diǎn)，且|PF|=2|FQ|。設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1=2x2。代入y^2=4x得y1^2=8x2。由|PF|=2|FQ|得√((x1-1)^2+y1^2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入x1=2x2得√((2x2-1)^2+y1^2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入y1^2=8x2得√((2x2-1)^2+8x2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入y2^2=4x2得√((2x2-1)^2+8x2)=2√((x2-1)^2+4x2)。解得x2=1/4，y2=±√2。所以P(1/2,±√2)，Q(1/8,±√2/2)。直線PQ的斜率為(k=y/x)=(±√2-?√2)/(1/2-1/8)=±4√2。所以直線方程為y=±4√2(x-1)。19.解析：（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像如下：在x=-1時(shí)，f(x)=2；在-1<x<1時(shí)，f(x)=2-2x；在x=1時(shí)，f(x)=2；在1<x<+∞時(shí)，f(x)=2x-2。（2）函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。（3）方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)根，則y=f(x)與y=m有四個(gè)不同的交點(diǎn)。由（2）知，f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。所以m>2時(shí)，y=f(x)與y=m有兩個(gè)交點(diǎn)；m=2時(shí)，y=f(x)與y=m有三個(gè)交點(diǎn)；m<2時(shí)，y=f(x)與y=m有四個(gè)交點(diǎn)。因此m的取值范圍為(-∞,2)。20.解析：（1）圓C:(x-1)^2+(y-2)^2=4與直線l:y=kx相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ。設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1+x2=2，x1x2=(1-k^2)/5。因?yàn)镺P⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0。代入y1=kx1，y2=kx2得x1x2+k^2x1x2=0。所以(1+k^2)x1x2=0。因?yàn)閤1x2≠0，所以1+k^2=0。解得k=±i。因此實(shí)數(shù)k不存在。（2）由（1）知，實(shí)數(shù)k不存在。因此△OPQ的面積無法計(jì)算。21.解析：（1）橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，所以c/a=√2/2，即c=a√2/2。又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到直線x+y-√2=0的距離的最大值為1，所以c+√(b^2+1)=1。代入c=a√2/2得a√2/2+√(b^2+1)=1。因?yàn)閎^2=a^2-c^2=a^2-(a√2/2)^2=a^2/2，所以a√2/2+√(a^2/2+1)=1。解得a=2√2/3，b=2/3。所以橢圓C的方程為x^2/(8/9)+y^2/(4/9)=1。（2）設(shè)F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，且△PF1F2的面積等于△QF1F2的面積。因?yàn)椤鱌F1F2和△QF1F2的底邊F1F2相同，所以高相等。因此P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱。設(shè)P(x,y)，Q(x,-y)，則x^2/(8/9)+y^2/(4/9)=1。又因?yàn)椤鱌F1F2的面積等于△QF1F2的面積，所以y=-y。解得y=0。因此直線PQ的方程為y=0。22.解析：（1）函數(shù)f(x)=e^x-ax^2的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=e^x-2ax。（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，則f'(1)=0。所以e-2a=0。解得a=e/2。（3）函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=e^x-2ax。當(dāng)a=e/2時(shí)，f'(x)=e^x-ex。令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=e^x-e。當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=0。所以無法通過二階導(dǎo)數(shù)判斷x=1是否為極值點(diǎn)。需要進(jìn)一步分析。當(dāng)x>1時(shí)，f''(x)>0；當(dāng)x<1時(shí)，f''(x)<0。所以x=1為極小值點(diǎn)。因此函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。23.解析：（1）直線BC的斜率為m=(-1-1)/(2-0)=-2。過點(diǎn)A(1,0)且與直線BC平行的直線斜率為-2。所以直線方程為y-0=-2(x-1)，即2x+y-2=0。（2）直線AC的斜率為m=(0-1)/(1-2)=1。過點(diǎn)B(0,1)且與直線AC垂直的直線斜率為-1。所以直線方程為y-1=-1(x-0)，即x+y-1=0。（3）以A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)，D(0,0)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形。所以面積為(AB×AD)=√2×1=√2。24.解析：（1）雙曲線C:x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的離心率為2，所以c/a=2，即c=2a。又因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到直線x-y=0的距離的最小值為√5/5，所以c-√(a^2+b^2)=√5/5。代入c=2a得2a-√(a^2+b^2)=√5/5。解得a=1，b=1。所以雙曲線C的方程為x^2/1-y^2/1=1。（2）設(shè)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且|PF1|=|F1Q|。因?yàn)閨PF1|=|F1Q|，所以P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱。設(shè)P(x,y)，Q(-x,y)，則x^2/1-y^2/1=1。又因?yàn)閨PF1|=|F1Q|，所以x=2a=2。代入得y^2=3。所以P(2,√3)，Q(2,-√3)。直線PQ的斜率為(k=y/x)=(√3-(-√3))/(2-2)=undefined。所以直線方程為x=2。25.解析：（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像如下：在x=-1時(shí)，f(x)=2；在-1<x<1時(shí)，f(x)=2-2x；在x=1時(shí)，f(x)=2；在1<x<+∞時(shí)，f(x)=2x-2。（2）函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。（3）方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)根，則y=f(x)與y=m有四個(gè)不同的交點(diǎn)。由（2）知，f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。所以m>2時(shí)，y=f(x)與y=m有兩個(gè)交點(diǎn)；m=2時(shí)，y=f(x)與y=m有三個(gè)交點(diǎn)；m<2時(shí)，y=f(x)與y=m有四個(gè)交點(diǎn)。因此m的取值范圍為(-∞,2)。26.解析：（1）直線BC的斜率為m=(0-(-1))/(3-2)=1。過點(diǎn)A(1,2)且與直線BC垂直的直線斜率為-1。所以直線方程為y-2=-1(x-1)，即2x+y-3=0。（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。因?yàn)锳(1,2)，B(0,1)，C(2,-1)在圓上，所以1^2+2^2+D(1)+E(2)+F=0，0^2+1^2+D(0)+E(1)+F=0，2^2+(-1)^2+D(2)+E(-1)+F=0。解得D=-3，E=-2，F(xiàn)=-3。所以圓方程為x^2+y^2-3x-2y-3=0。27.解析：（1）拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到直線x-y+2=0的距離為d=|p/2-0+2|/√2=√2。解得p=2。（2）過點(diǎn)F(1,0)的直線交拋物線y^2=4x于P、Q兩點(diǎn)，且|PF|=2|FQ|。設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1=2x2。代入y^2=4x得y1^2=8x2。由|PF|=2|FQ|得√((x1-1)^2+y1^2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入x1=2x2得√((2x2-1)^2+y1^2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入y1^2=8x2得√((2x2-1)^2+8x2)=2√((x2-1)^2+y2^2)。代入y2^2=4x2得√((2x2-1)^2+8x2)=2√((x2-1)^2+4x2)。解得x2=1/4，y2=±√2。所以P(1/2,±√2)，Q(1/8,±√2/2)。直線PQ的斜率為(k=y/x)=(±√2-?√2)/(1/2-1/8)=±4√2。所以直線方程為y=±4√2(x-1)。28.解析：（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像如下：在x=-1時(shí)，f(x)=2；在-1<x<1時(shí)，f(x)=2-2x；在x=1時(shí)，f(x)=2；在1<x<+∞時(shí)，f(x)=2x-2。（