§2.7指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練內(nèi)容索引落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給定

數(shù)a和正

數(shù)m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的

數(shù)b，使得

，則稱b為a的

次冪，記作b＝___.這就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給定正數(shù)a和正整數(shù)m，n(n>1，且m，n互素)，定義

＝_____＝____，這就是負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.正整正bn＝am2.無理數(shù)指數(shù)冪一般地，給定正數(shù)a，對(duì)于任意的正無理數(shù)α，可以定義一個(gè)實(shí)數(shù)aα，自然地，規(guī)定a－α＝___.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aαaβ＝

；(aα)β＝

；(ab)α＝

(a>0，b>0，α，β∈R).4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)定義：給定正數(shù)a，且a≠1時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有

的正數(shù)y＝ax與之對(duì)應(yīng)，因此y＝ax是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù).aα＋βaαβaαbα唯一確定(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域R值域_________(0，＋∞)

a>10<a<1性質(zhì)過定點(diǎn)

，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，

；當(dāng)x<0時(shí)，______當(dāng)x<0時(shí)，

；當(dāng)x>0時(shí)，______在R上是_______在R上是_______(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝a－x(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(

)×××√2.已知函數(shù)y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數(shù)函數(shù)，則a＋b等于A.不確定

B.0C.1 D.2√由函數(shù)y＝a·2x是指數(shù)函數(shù)，得a＝1，由y＝2x＋b是指數(shù)函數(shù)，得b＝0，所以a＋b＝1.3.已知關(guān)于x的不等式 ≥3－2x，則該不等式的解集為A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]√由于y＝3x是增函數(shù)，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集為[－4，＋∞).＝－4＋1＋0.5×16＝5.5返回探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

計(jì)算：題型一指數(shù)冪的運(yùn)算原式＝＝6×3＝18.(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列計(jì)算正確的是√√對(duì)于B，

＝－9a(a>0，b>0)，所以B正確；對(duì)于D，因?yàn)?x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D錯(cuò)誤.例2

(1)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關(guān)系式為A.a＝b

B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b√√√題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用由題意，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，3a＝6b＝1，故選項(xiàng)A正確；作出直線y＝k，當(dāng)k>1時(shí)，若3a＝6b＝k，則0<b<a，故選項(xiàng)B正確；作出直線y＝m，當(dāng)0<m<1時(shí)，若3a＝6b＝m，則a<b<0，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)0<a<b時(shí)，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b＝6b，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是(0,2).(0,2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.跟蹤訓(xùn)練2

(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的圖象不經(jīng)過第三象限，則a，b的取值范圍可能為A.0<a<1，b<0 B.0<a<1,0<b≤1C.a>1，b<0 D.a>1,0<b≤1√√√若0<a<1，則函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，要想f(x)＝ax－b的圖象不經(jīng)過第三象限，則需要向上平移，或向下平移不超過1個(gè)單位長度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正確；若a>1，則函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，要想f(x)＝ax－b的圖象不經(jīng)過第三象限，則需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正確，D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)1比較指數(shù)式的大小√題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用所以b<c<1，所以b<c<a.命題點(diǎn)2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式例4已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√∵ax<1，當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax是增函數(shù)，∴p：{x|x<0}.對(duì)于不等式2x＋1<x＋2，作出函數(shù)y＝2x＋1與y＝x＋2的圖象，如圖所示.由圖象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集為{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}.又∵{x|－1<x<0}?{x|x<0}，∴p是q的必要不充分條件.命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)f(x)＝

(a為常數(shù)，且a≠0，a∈R)是奇函數(shù).(1)求a的值；因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，(2)若?x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.由(1)知a＝－1，令t＝2x，t∈[2,4]，(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝

，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)為減函數(shù)√√√因?yàn)閑x>0，所以ex＋1>0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，故A正確；所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)，故B正確；所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex＋1是增函數(shù)，所以y＝ex＋1>1，(2)(2023·銀川模擬)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大

，則a的值為________.返回當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題12345678910111213141516一、單項(xiàng)選擇題1.下列結(jié)論中，正確的是√12345678910111213141516對(duì)于A，根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得

，當(dāng)a＝1時(shí)，

＝a；當(dāng)a≠1時(shí)，≠a，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，a＋a－1＝3，則

＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因?yàn)閍>0，所以

＝

，故C錯(cuò)誤；123456789101112131415162.已知函數(shù)f(x)＝ax－a(a>1)，則函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√y＝ax(a>1)是增函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，因?yàn)閍>1，所以函數(shù)f(x)的圖象需由函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象向下平移超過1個(gè)單位長度得到，所以函數(shù)f(x)＝ax－a的圖象如圖所示.故函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過第二象限.123456789101112131415163.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝

，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a<c<b

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√且y＝3x為增函數(shù)，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.123456789101112131415164.(2023·新高考全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以a的取值范圍是[2，＋∞).123456789101112131415165.(2023·濰坊模擬)“關(guān)于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實(shí)數(shù)解”的一個(gè)必要不充分條件是√12345678910111213141516a(2|x|＋1)＝2|x|，因?yàn)?|x|≥20＝1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實(shí)數(shù)解，12345678910111213141516D為充要條件，不符合要求.123456789101112131415166.(2024·遼源模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，1)B.(－2,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)√12345678910111213141516令g(x)＝2x－2－x，定義域?yàn)镽，且g(－x)＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，因?yàn)閒(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，則g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(a2)>g(2－a)，又因?yàn)間(x)是增函數(shù)，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題7.已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝f(b)(a<b)，則A.2a＋2b>2B.?a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<0√√12345678910111213141516畫出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示.由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯(cuò)誤，C正確；所以2a＋b<1，則a＋b<0，故B錯(cuò)誤，D正確.12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閥＝ex是增函數(shù)，y＝ex>0，12345678910111213141516因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，所以y＝f(x)與y＝n最多有1個(gè)交點(diǎn)，故f(x)－n＝0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即不存在實(shí)數(shù)n，使得關(guān)于x的方程f(x)－n＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.12345678910111213141516原式＝9.

＝________.81＝2－1＋8＋(23×32)＝81.三、填空題1234567891011121314151610.(2023·福州模擬)寫出一個(gè)同時(shí)具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)＝______________.①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0.∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加變乘，∴考慮指數(shù)函數(shù)類型，又f′(x)<0，∴f(x)是減函數(shù)，∴f(x)＝e－x滿足要求.e－x(答案不唯一)1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)＝

有最大值3，則a的值為________.1令g(x)＝ax2－4x＋3，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，1234567891011121314151612.(2024·寧波模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0滿足f(－x0)＝－f(x0)，則稱函數(shù)f(x)為“倒戈函數(shù)”.設(shè)f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定義在[－1,1]上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.12345678910111213141516∵f(x)＝3x＋m－1是定義在[－1,1]上的“倒戈函數(shù)”，∴存在x0∈[－1,1]滿足f(－x0)＝－f(x0)，∴＋m－1＝

－m＋1，∴2m＝

＋2，構(gòu)造函數(shù)y＝

＋2，x0∈[－1,1]，12345678910111213141516∴當(dāng)t＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值0，12345678910111213141516四、解答題13.如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141516令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1,1]，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1,1]，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求a，b的值；12345678910111213141516因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，又因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，12345678910111213141516當(dāng)x≠0時(shí)，有b·2x＋1＝b＋2x，即(b－1)(2x－1)＝0，又因?yàn)楫?dāng)x≠0時(shí)，有2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以a＝1，b＝1.12345678910111213141516因?yàn)閥＝1＋2x為增函數(shù)，且1＋2x>0，則函數(shù)f(x)是減函數(shù).(2)判斷f(x)的單調(diào)性；12345678910111213141516(3)若存在t∈[0,4]，使