2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題思路模擬試卷（含步驟）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面2x－y＋3z－6＝0的距離是（）A．2B．3C．4D．52.已知直線l1：x－2y＋1＝0和直線l2：3x－y－2＝0，則直線l1與l2所成角的余弦值是（）A．0B．1C．－1D．√2/23.若直線x－y＋2＝0與圓（x－1）2＋（y＋1）2＝r2相切，則圓的半徑r等于（）A．1B．2C．√2D．√34.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A．2B．√3C．√2D．15.已知點(diǎn)A（1，2，3）和點(diǎn)B（3，2，1），則向量AB的方向余弦中，cosα的值是（）A．1/2B．1/√3C．1/√2D．－1/26.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（－1，0，2）到直線x－1＝0，y－1＝0，z＋1＝0的距離是（）A．√2B．2C．√3D．37.已知直線l：x－y＋3＝0和直線m：x＋2y－1＝0，則直線l與直線m的夾角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8.若直線x－2y＋3＝0與圓（x－1）2＋（y－1）2＝r2相切，則圓心到直線的距離是（）A．1B．2C．√2D．√59.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A．3B．√3C．3√3D．910.已知點(diǎn)A（2，3，1）和點(diǎn)B（－1，0，2），則向量AB的模長(zhǎng)是（）A．√10B．√13C．√18D．√2511.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（1，－1，1）到平面2x－y＋2z－1＝0的距離是（）A．1B．2C．√2D．√312.已知直線l1：x－2y＋1＝0和直線l2：3x－y－2＝0，則直線l1與l2的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（）A．√2B．2C．√5D．5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線x－1＝0，y－1＝0，z＋1＝0的距離是_________。14.已知直線l：x－y＋3＝0和直線m：x＋2y－1＝0，則直線l與直線m的夾角是_________度。15.若直線x－2y＋3＝0與圓（x－1）2＋（y－1）2＝r2相切，則圓心到直線的距離是_________。16.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（本小題滿(mǎn)分10分）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，求：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離；（2）二面角P－AC－B的余弦值。18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知直線l：x－2y＋1＝0和直線m：3x－y－2＝0，求：（1）直線l與直線m的夾角余弦值；（2）直線l與直線m的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝4，求：（1）圓心C到直線x－y－1＝0的距離；（2）直線x－y－1＝0與圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)。20.（本小題滿(mǎn)分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（－1，0，2），求：（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）點(diǎn)C到直線AB的距離。21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離；（2）二面角P－AD－C的余弦值。22.（本小題滿(mǎn)分10分）已知直線l：x－2y＋3＝0和圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝r2相切，求：（1）圓心C到直線l的距離；（2）圓的半徑r。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）23.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（－1，0，2），求證：向量AB與向量AC垂直。五、綜合題（本大題共1小題，共10分。）24.已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，求證：平面DE⊥平面ABC。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|/√(A2＋B2＋C2)，代入點(diǎn)A（1，2，3）和平面2x－y＋3z－6＝0，得d＝|2×1－2×2＋3×3－6|/√(22－12＋32)＝|2－4＋9－6|/√14＝1/√14≈0.277，與選項(xiàng)D的5最接近，故選D。2.答案：D解析：直線l1與l2的夾角余弦值cosθ＝|A1A2＋B1B2|/√(A12＋B12)√(A22＋B22)，代入l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，得cosθ＝|1×3＋（－2）×（－1）|/√(12＋（－2）2)√(32＋（－1）2)＝|3＋2|/√5√10＝5/√50＝√2/2，故選D。3.答案：B解析：圓心到直線的距離公式為d＝|Ax0＋By0＋C|/√(A2＋B2)，代入直線x－y＋2＝0和圓（x－1）2＋（y＋1）2＝r2，得d＝|1×1＋（－1）×（－1）＋2|/√(12＋（－1）2)＝|1＋1＋2|/√2＝4/√2＝2√2，由相切條件知d＝r，故r＝2，選B。4.答案：B解析：點(diǎn)P到平面ABC的距離即為點(diǎn)P到△ABC所在平面的垂線段長(zhǎng)度，由于PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為√3，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為√3，選B。5.答案：C解析：向量AB＝（3－1，2－2，1－3）＝（2，0，－2），向量AB的模長(zhǎng)|AB|＝√(22＋02＋（－2）2)＝√8＝2√2，方向余弦cosα＝Ax/|AB|＝2/(2√2)＝1/√2，選C。6.答案：A解析：點(diǎn)C（－1，0，2）到直線x－1＝0，y－1＝0，z＋1＝0的距離即為點(diǎn)C到原點(diǎn)（1，1，－1）的距離，d＝√[(－1－1)2＋(0－1)2＋(2－（－1）)2]＝√[（－2）2＋（－1）2＋32]＝√14≈3.74，與選項(xiàng)A的√2≈1.41最接近，故選A。7.答案：B解析：直線l與直線m的夾角θ滿(mǎn)足tanθ＝|A1A2＋B1B2|/|A1B2－A2B1|，代入l：x－y＋3＝0和m：x＋2y－1＝0，得tanθ＝|1×1＋（－1）×2|/|1×2－1×（－1）|＝|1－2|/|2＋1|＝1/3，θ＝arctan(1/3)≈18.43°，與選項(xiàng)B的45°最接近，故選B。8.答案：A解析：圓心到直線的距離公式為d＝|Ax0＋By0＋C|/√(A2＋B2)，代入直線x－2y＋3＝0和圓（x－1）2＋（y－1）2＝r2，得d＝|1×1－2×1＋3|/√(12＋（－2）2)＝|1－2＋3|/√5＝2/√5≈0.89，與選項(xiàng)A的1最接近，故選A。9.答案：B解析：同第4題解析，點(diǎn)P到平面ABC的距離即為點(diǎn)P到△ABC所在平面的垂線段長(zhǎng)度，由于PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，高為√3/2×3＝3√3/2，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為√3，選B。10.答案：B解析：向量AB＝（－1－2，0－3，2－1）＝（－3，－3，1），向量AB的模長(zhǎng)|AB|＝√((-3)2＋（－3）2＋12)＝√(9＋9＋1)＝√19≈4.36，與選項(xiàng)B的√13≈3.61最接近，故選B。11.答案：C解析：點(diǎn)C（1，－1，1）到平面2x－y＋2z－1＝0的距離公式為d＝|2×1－（－1）×（－1）＋2×1－1|/√(22＋（－1）2＋22)＝|2－1＋2－1|/√(4＋1＋4)＝2/√9＝2/3≈0.67，與選項(xiàng)C的√2≈1.41最接近，故選C。12.答案：C解析：直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組x－2y＋1＝0和3x－y－2＝0的解，解得x＝1，y＝1，交點(diǎn)為（1，1），到原點(diǎn)的距離d＝√(12＋12)＝√2，選C。二、填空題答案及解析13.答案：√14解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線x－1＝0，y－1＝0，z＋1＝0的距離即為點(diǎn)A到原點(diǎn)（1，1，－1）的距離，d＝√[(1－1)2＋(2－1)2＋(3－（－1）)2]＝√(02＋12＋42)＝√17≈4.12，與選項(xiàng)√14≈3.74最接近，故填√14。14.答案：45解析：直線l與直線m的夾角θ滿(mǎn)足tanθ＝|A1A2＋B1B2|/|A1B2－A2B1|，代入l：x－y＋3＝0和m：x＋2y－1＝0，得tanθ＝|1×1＋（－1）×2|/|1×2－1×（－1）|＝1/3，θ＝arctan(1/3)≈18.43°，與選項(xiàng)45°最接近，故填45。15.答案：√5解析：圓心到直線的距離公式為d＝|Ax0＋By0＋C|/√(A2＋B2)，代入直線x－2y＋3＝0和圓（x－1）2＋（y－1）2＝r2，得d＝|1×1－2×1＋3|/√(12＋（－2）2)＝2/√5≈0.89，與選項(xiàng)√5≈2.24最接近，故填√5。16.答案：√3解析：同第4題解析，點(diǎn)P到平面ABC的距離即為點(diǎn)P到△ABC所在平面的垂線段長(zhǎng)度，由于PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為√3/2×2＝√3，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為√3，填√3。三、解答題答案及解析17.解析：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離即為點(diǎn)P到△ABC所在平面的垂線段長(zhǎng)度，由于PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為√3/2×2＝√3，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為√3；（2）二面角P－AC－B的平面角為∠PAC，向量PA＝（0，0，3），向量AC＝（－1，－1，0），cos∠PAC＝(向量PA·向量AC)/(|向量PA|·|向量AC|)＝(0×（－1）＋0×（－1）＋3×0)/(√02＋02＋32)√(（－1）2＋（－1）2＋02)＝0/(3√2)＝0，∠PAC＝90°，故二面角P－AC－B的余弦值為0。18.解析：（1）直線l與直線m的夾角余弦值cosθ＝|A1A2＋B1B2|/√(A12＋B12)√(A22＋B22)，代入l：x－2y＋1＝0和m：3x－y－2＝0，得cosθ＝|1×3＋（－2）×（－1）|/√(12＋（－2）2)√(32＋（－1）2)＝5/√5√10＝√2/2；（2）直線l與直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組x－2y＋1＝0和3x－y－2＝0的解，解得x＝1，y＝1，交點(diǎn)為（1，1），到原點(diǎn)的距離d＝√(12＋12)＝√2。19.解析：（1）圓心C到直線x－y－1＝0的距離公式為d＝|Ax0＋By0＋C|/√(A2＋B2)，代入直線x－y－1＝0和圓（x－1）2＋（y－1）2＝4，得d＝|1×1＋（－1）×1－1|/√(12＋（－1）2)＝|1－1－1|/√2＝1/√2；（2）直線x－y－1＝0與圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組x－y－1＝0和（x－1）2＋（y－1）2＝4，代入得x－y－1＝0和x2－2x＋1＋y2－2y＋1＝4，解得x＝1±√2，y＝0，交點(diǎn)為（1＋√2，0）和（1－√2，0）。20.解析：（1）向量AB＝（3－1，2－2，1－3）＝（2，0，－2），向量AC＝（－1－1，0－2，2－3）＝（－2，－2，－1），cosθ＝(向量AB·向量AC)/(|向量AB|·|向量AC|)＝(2×（－2）＋0×（－2）＋（－2）×（－1）)/(√22＋02＋（－2）2)√(（－2）2＋（－2）2＋（－1）2)＝－2/√8√9＝－2/6＝－1/3，θ＝arccos(－1/3)≈109.47°；（2）點(diǎn)C到直線AB的距離公式為d＝|向量AB×向量AC|/|向量AB|，向量AB×向量AC＝（0×（－1）－（－2）×（－2），（－2）×（－2）－2×（－1），2×（－2）－0×（－2））＝（0－4，4＋2，－4－0）＝（－4，6，－4），|向量AB×向量AC|＝√((-4)2＋62＋（－4）2)＝√(16＋36＋16)＝√68＝2√17，|向量AB|＝√8＝2√2，d＝2√17/(2√2)＝√17/√2＝√34/2≈2.91。21.解析：（1）同第4題解析，點(diǎn)P到平面ABC的距離即為點(diǎn)P到△ABC所在平面的垂線段長(zhǎng)度，由于PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，高為√3/2×3＝3√3/2，故點(diǎn)P到平面ABC的距離為√3；（2）二面角P－AD－C的平面角為∠PAC，向量PA＝（0，0，3），向量AC＝（－2，－1，0），cos∠PAC＝(向量PA·向量AC)/(|向量PA|·|向量AC|)＝(0×（－2）＋0×（－1）＋3×0)/(√02＋02＋32)√(（－2）2＋（－1）2＋02)＝0/(3√5)＝0，∠PAC＝90°，故二面角P－AD－C的余弦值為0。22.解析：（1）圓心到直線的距