2.3.3有理數(shù)的除法第二章

有理數(shù)及其運(yùn)算【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********2.3.3有理數(shù)的除法一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入同學(xué)們，上節(jié)課我們深入學(xué)習(xí)了有理數(shù)乘法的運(yùn)算律，包括交換律\(a??b=b??a\)、結(jié)合律\((a??b)??c=a??(b??c)\)和分配律\(a??(b+c)=a??b+a??c\)，利用這些運(yùn)算律能讓乘法運(yùn)算更簡(jiǎn)便。同時(shí)，我們也掌握了有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與\(0\)相乘都得\(0\)。那如果已知兩個(gè)數(shù)的乘積和其中一個(gè)因數(shù)，如何求另一個(gè)因數(shù)呢？這就需要我們學(xué)習(xí)有理數(shù)的除法了，今天我們就來(lái)探究2.3.3有理數(shù)的除法。二、有理數(shù)除法的意義（一）實(shí)際問(wèn)題引入提出問(wèn)題：小明有\(zhòng)(12\)顆糖果，要平均分給\(3\)個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友能得到幾顆糖果？這是我們熟悉的整數(shù)除法問(wèn)題，列式為\(12?·3=4\)，表示把\(12\)平均分成\(3\)份，每份是\(4\)。延伸到有理數(shù)：如果小明欠別人\(12\)元錢(qián)，記為\(-12\)元，他打算分\(3\)天還清，那么每天要還多少錢(qián)？此時(shí)就需要用有理數(shù)除法來(lái)解決，列式為\((-12)?·3\)，我們要思考如何計(jì)算這個(gè)式子的結(jié)果

。（二）與乘法的關(guān)系回顧除法是乘法的逆運(yùn)算：在小學(xué)我們就知道，因?yàn)閈(3??4=12\)，所以\(12?·3=4\)。同樣，對(duì)于有理數(shù)，因?yàn)閈((-3)??(-4)=12\)，那么\(12?·(-3)=-4\)。通過(guò)多個(gè)例子，如\(2??(-5)=-10\)，則\((-10)?·2=-5\)；\((-2)??5=-10\)，則\((-10)?·(-2)=5\)，讓學(xué)生理解有理數(shù)除法與乘法的互逆關(guān)系

?？偨Y(jié)：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，叫做除法。除法是乘法的逆運(yùn)算，這一關(guān)系在有理數(shù)范圍內(nèi)同樣適用

。三、有理數(shù)除法法則（一）法則推導(dǎo)觀察例子：由\((-12)?·3=-4\)，而\((-12)??\frac{1}{3}=-4\)，可以發(fā)現(xiàn)\((-12)?·3=(-12)??\frac{1}{3}\)。由\(15?·(-5)=-3\)，且\(15??(-\frac{1}{5})=-3\)，可知\(15?·(-5)=15??(-\frac{1}{5})\)。總結(jié)法則：除以一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為\(a?·b=a??\frac{1}(ba?

0)\)。強(qiáng)調(diào)除數(shù)不能為\(0\)，因?yàn)閈(0\)沒(méi)有倒數(shù)，且在除法運(yùn)算中，\(0\)作除數(shù)沒(méi)有意義

。結(jié)合有理數(shù)乘法法則，進(jìn)一步得出：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。\(0\)除以任何一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。例如\((-18)?·(-6)\)，同號(hào)得正，絕對(duì)值相除\(18?·6=3\)，所以結(jié)果是\(3\)；\(0?·(-5)=0\)。（二）應(yīng)用舉例例題1：計(jì)算\((-24)?·4\)\((-15)?·(-3)\)\(0?·(-7)\)解：\((-24)?·4\)，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相除\(24?·4=6\)，所以結(jié)果為\(-6\)。\((-15)?·(-3)\)，同號(hào)得正，絕對(duì)值相除\(15?·3=5\)，結(jié)果是\(5\)。\(0?·(-7)=0\)。四、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算（一）運(yùn)算順序有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算

。例如計(jì)算\(12?·(-3)??2\)，先算\(12?·(-3)=-4\)，再算\((-4)??2=-8\)。當(dāng)式子中有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里面的

。如計(jì)算\((-12)?·[(-3)??2]\)，先算括號(hào)內(nèi)\((-3)??2=-6\)，再算\((-12)?·(-6)=2\)。（二）轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算在進(jìn)行乘除混合運(yùn)算時(shí)，根據(jù)除法法則，將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再利用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算

。例如計(jì)算\((-8)?·\frac{4}{5}??(-\frac{3}{4})\)，轉(zhuǎn)化為乘法為\((-8)??\frac{5}{4}??(-\frac{3}{4})\)，利用乘法交換律和結(jié)合律，先算\((-8)??(-\frac{3}{4})=6\)，再算\(6??\frac{5}{4}=\frac{15}{2}\)。（三）典型例題例題2：計(jì)算\((-2)??(-3)?·(-6)\)解：按照從左到右的順序，先算\((-2)??(-3)=6\)，再算\(6?·(-6)=-1\)。例題3：計(jì)算\(18?·(-3)??(-\frac{1}{6})?·\frac{2}{3}\)解：將除法轉(zhuǎn)化為乘法，式子變?yōu)閈(18??(-\frac{1}{3})??(-\frac{1}{6})??\frac{3}{2}\)。利用乘法交換律和結(jié)合律，\([18??(-\frac{1}{6})]??[(-\frac{1}{3})??\frac{3}{2}]=-3??(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}\)。五、課堂練習(xí)填空題\((-16)?·4=\)______。\((-25)?·(-5)=\)______。\(0?·(-9)=\)______。若\(a?·b=3\)，則\(a??\frac{1}=\)______。選擇題計(jì)算\((-12)?·(-3)\)的結(jié)果是（

）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(36\)D.\(-36\)下列運(yùn)算正確的是（

）A.\(-5?·(-2)??\frac{1}{2}=-5?·(-1)=5\)B.\(-1?·(-5)??(-\frac{1}{5})=-1?·1=-1\)C.\(-\frac{1}{3}?·(-3)??(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}??(-\frac{1}{3})??(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}\)D.\(1?·(-4)??(-\frac{1}{4})=1?·1=1\)解答題計(jì)算\((-36)?·(-4)?·(-3)\)。計(jì)算\((-2)?·\frac{1}{5}??(-5)\)。計(jì)算\((-\frac{3}{4})?·(-6)??(-\frac{8}{9})\)。六、課堂小結(jié)回顧有理數(shù)除法的意義，明確除法是乘法的逆運(yùn)算，以及有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；\(0\)除以任何一個(gè)不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。總結(jié)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算的順序和方法，要按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)先算括號(hào)里的，并且可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算

。提醒學(xué)生在進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，要特別注意除數(shù)不能為\(0\)，以及符號(hào)的處理，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤

。七、課后作業(yè)完成課本上對(duì)應(yīng)本節(jié)內(nèi)容的練習(xí)題，鞏固有理數(shù)除法運(yùn)算及乘除混合運(yùn)算的方法

。思考：在有理數(shù)乘除混合運(yùn)算中，如何靈活運(yùn)用運(yùn)算律使計(jì)算更簡(jiǎn)便？舉例說(shuō)明你的方法

。尋找生活中一個(gè)可以用有理數(shù)除法解決的實(shí)際問(wèn)題，詳細(xì)記錄問(wèn)題和解答過(guò)程，下節(jié)課與同學(xué)分享

。這份課件圍繞有理數(shù)除法展開(kāi)，幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)和運(yùn)算方法。如果你對(duì)課件的內(nèi)容編排、例題難度等方面有不同想法，歡迎隨時(shí)溝通。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1．通過(guò)理解有理數(shù)除法的法則，體會(huì)除法與乘法的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算。2．經(jīng)歷有理數(shù)除法法則的探索過(guò)程，讓學(xué)生可以準(zhǔn)確地進(jìn)行除法計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想。3．通過(guò)有理數(shù)除法法則的導(dǎo)出及運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想提升數(shù)學(xué)思維的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)1．有理數(shù)乘法法則。舊知回顧兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)與0相乘，積仍為02．有理數(shù)乘法的運(yùn)算律。乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律回顧導(dǎo)入(-3)×4=-12()×4=-12(乘法算式)(-12)÷4=()

(除法算式)(-3)×4=-12(-12)÷4=-3除法是乘法的逆運(yùn)算。？？探索新知有理數(shù)的除法法則(一)探究點(diǎn)1

利用有理數(shù)的乘法法則計(jì)算下列各式：?jiǎn)栴}1(-3)×6=______，

3×(-9)=______，(-2)×0=______。-185-270

根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，計(jì)算下列各式：?jiǎn)栴}2(-18)÷6=______，

(-27)÷(-9)=______，0÷(-2)=______。-3-2530

觀察上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？問(wèn)題3兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得____，異號(hào)得____，并把絕對(duì)值______。正負(fù)相除0除以任何一個(gè)非0的數(shù)都得_____。0注意：0不能作除數(shù)。有理數(shù)的除法法則（一）兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)非0的數(shù)都得0

。(注意：0不能作除數(shù)。)例1

計(jì)算：進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值。練一練【課本P54隨堂練習(xí)】計(jì)算：

在做除法運(yùn)算時(shí)：先定符號(hào)，再算絕對(duì)值。若算式中有小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)，一般情況下先化成真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)?？偨Y(jié)

學(xué)習(xí)了有理數(shù)的除法后，怎么求一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)？問(wèn)題1有理數(shù)的除法法則(二)探究點(diǎn)2正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)。用1除以一個(gè)非0數(shù)，商就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

計(jì)算并比較下列各組數(shù)的計(jì)算結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？問(wèn)題2

=15互為倒數(shù)有理數(shù)的除法法則（二）除以一個(gè)的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為這樣除法就統(tǒng)一成乘法了。例2

計(jì)算：解：解：

將除法轉(zhuǎn)化為乘法有什么好處？問(wèn)題3將除法轉(zhuǎn)化為乘法后可以運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。有理數(shù)的乘除法與小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘除法相比較，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?問(wèn)題4數(shù)的范圍擴(kuò)大了，增加了負(fù)數(shù)；運(yùn)算法則在原有法則的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了符號(hào)變化的法則。小學(xué)數(shù)學(xué)中的乘法的運(yùn)算律全都適用于有理數(shù)的乘法；同級(jí)運(yùn)算都是按照從左到右的順序進(jìn)行；1.計(jì)算：02-5-62練一練【課本P55習(xí)題2.3第4題】2.求下列各數(shù)的倒數(shù)，并用“＜”把它們連接起來(lái)：【課本P56習(xí)題2.3第5題】例計(jì)算：

例計(jì)算：

=-1巧記：乘除混合有理數(shù)，統(tǒng)一為乘第一步，乘法“三律”能簡(jiǎn)便，負(fù)因個(gè)數(shù)定正負(fù)。練一練

=2知識(shí)點(diǎn)1

有理數(shù)的除法法則（一）

-6

639-0.15

0

B

3.（12分）計(jì)算：

知識(shí)點(diǎn)2

一個(gè)數(shù)的倒數(shù)

D

5.（8分）求下列各數(shù)的倒數(shù)：

（2）1.2；

知識(shí)點(diǎn)3

有理數(shù)的除法法則（二）

B

C

8.（12分）計(jì)算：

9.如果兩個(gè)有理數(shù)的商是負(fù)數(shù)，和為0，那么這兩個(gè)有理數(shù)(

)DA.一個(gè)為0，另一個(gè)為正數(shù)

B.都為負(fù)數(shù)C.一個(gè)為0，另一個(gè)為負(fù)數(shù)