4.4冪函數(shù)人教B版（2019）必修第一冊第二章

等式與不等式學(xué)習(xí)目標了解冪函數(shù)的概念01了解五個常見冪函數(shù)的圖象02了解冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)03情境與問題我們已經(jīng)知道，在關(guān)系式

N＝ab中，當?shù)讛?shù)

a

為大于

0

且不等于

1

的常數(shù)時；如果把

b

作為自變量、N

作為因變量，則

N

就是

b

的指數(shù)函數(shù)；如果把

N

作為自變量、b

作為因變量，則

b

就是

N

的對數(shù)函數(shù)(即

b＝logaN

)．那么，當

b

為常數(shù)時，是否可以將底數(shù)

a

作為自變量，N

作為因變量來構(gòu)造函數(shù)關(guān)系呢？探索新知在關(guān)系式

N＝ab

中，以

a

為自變量、N

為因變量構(gòu)造的函數(shù)為

y＝xb，其中的

N

即為因變量

y，a

即為自變量

x．探索新知冪函數(shù)的概念嘗試與發(fā)現(xiàn)

一般地，函數(shù)

y＝xα稱為冪函數(shù)，其中

α為常數(shù).冪函數(shù)的特征：①

xα

的系數(shù)為

1；②

xα

的底數(shù)是自變量；③

xα

的指數(shù)為常數(shù)

探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)

x00000

012

探索新知

（1）定義域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是_____________；（4）單調(diào)性是___________.[0，＋∞）非奇非偶函數(shù)增函數(shù)[0，＋∞）x00000

012

探索新知

探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)分別求出冪函數(shù)

y＝x3

在自變量取

－4，－2，－1，0，1，2，4，

時所對應(yīng)的函數(shù)值（填寫下表），并由此猜測冪函數(shù)

y＝x3

的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，嘗試說明理由．x－4－2－10124y＝x3－64－8－101864探索新知由此得到函數(shù)

y＝x3的性質(zhì)：（1）定義域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）單調(diào)性是___________；RR奇函數(shù)增函數(shù)（5）如圖所示中已經(jīng)作出了函數(shù)

y＝x－1，y＝x，y＝x2的圖象，在其中作出函數(shù)

y＝x3圖象．

y＝x3y＝x2y＝x12-1-112xyO-2-2探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般地，冪函數(shù)

y＝xα，隨著

α的取值不同，函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性也不盡相同，但也有一些共同的特征：(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都通過點(1

,1)．(2)如果

α＞0，則冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般地，冪函數(shù)

y＝xα，隨著

α的取值不同，函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性也不盡相同，但也有一些共同的特征：(3)如果

α＜0，則冪函數(shù)在區(qū)間

(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當

x從右邊趨向于原點時，圖象在

y軸右方且無限地逼近

y軸；當

x無限增大時，圖象在

x軸上方且無限地逼近

x軸．典型例題例1比較下列各題中兩個值的大?。?1)2.31.1

和2.51.1；(2)和

解：(1)考察冪函數(shù)

y＝x1.1，因為其在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，而且2.3＜2.5，所以2.31.1＜2.51.1．典型例題例1比較下列各題中兩個值的大小：(1)2.31.1

和2.51.1；(2)和

因為其在區(qū)間

(0，＋∞)上是減函數(shù)，解：(2)考察冪函數(shù)

，

而且

a2＋2≥2，所以

．

典型例題

典型例題

探索新知當

0＜x＜1時，α值越大，圖象越低當

x＞1時，α值越大，圖象越高xy探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)觀察五種特殊的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，可知，冪函數(shù)

y＝xα

的圖象在第一象限內(nèi)具有如下特征：直線

y＝1，y＝x

將直線

x＝1的右側(cè)部分分為(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三個區(qū)域，如圖所示.①對于

y＝xα，當

α＜0時，其圖象在第一象限內(nèi)為雙曲線形；②當0＜α＜1時，其圖象在第一象限內(nèi)為拋物線形，且開口向右；③當

α＞1時，其圖象在第一象限內(nèi)為拋物線形，且開口向上；探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)若

α∈(1，+∞)，則

y＝xα

的圖象經(jīng)過區(qū)域(Ⅰ)；若

α∈(0，1)，則

y＝xα

的圖象經(jīng)過區(qū)域(Ⅱ)；若

α∈(－∞，0)，則

y＝xα

的圖象經(jīng)過區(qū)域(Ⅲ)；在直線

x＝1的右側(cè)，從

x軸起，冪函數(shù)

y＝xα

的指數(shù)

α

由小到大遞增，即“指大圖高”“指小圖低”探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)作冪函數(shù)圖象的步驟先利用上述特征，由給定的冪指數(shù)，作出冪指數(shù)在第一象限的圖象；再研究其定義域，看當

x≤0時函數(shù)是否有意義；若在(－∞，0)上有意義，再研究函數(shù)的奇偶性，利用奇函數(shù)(或偶函數(shù))圖象的對稱性，便可作出函數(shù)在y軸左邊的圖象，從而得到冪函數(shù)的圖象，進而利用圖象可得到函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).探索新知冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式圖象圖象特征定義域定點單調(diào)性奇偶性y＝xα(α∈R)α＞0在第一象限內(nèi)，當

0＜α＜1時，圖象上凸；當

α＞1時，圖象下凸在(0，＋∞)上都有定義，定義域與

α的取值有關(guān)圖象過點(0，0)和點(1，1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增α為奇數(shù)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；α為偶數(shù)，冪函數(shù)為偶函數(shù)α