第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省深圳市某校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是(

)A.若m⊥α，n//α，則m⊥n

B.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n

C.若m//n，n?α，則m//α

D.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β2.2025年蛇年春晚的武漢分會場地點(diǎn)設(shè)在黃鶴樓，樓的外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層.為營造春節(jié)的喜慶氣氛，主辦方?jīng)Q定在黃鶴樓的外部用燈籠進(jìn)行裝飾.這五層樓預(yù)計共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，則最中間一層需要掛燈籠的數(shù)量為(

)A.12盞 B.24盞 C.36盞 D.48盞3.根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+e,E(e)=0,D(e)=σ2得到經(jīng)驗回歸模型y?=bA. B.

C. D.4.函數(shù)f(x)=lnx?12x2A.(?∞,?1)與(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(1,+∞)5.某市計劃開展“學(xué)兩會，爭當(dāng)新時代先鋒”知識競賽活動.某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機(jī)選取4人組成代表隊參賽.在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中的概率為(

)A.12 B.1115 C.7136.將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中，下列說法錯誤的是(

)A.恰有一個空盒，有324種放法

B.把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有12種放法

C.有256種放法

D.每盒至多兩球，有204種放法7.若半徑為23的球與正六棱柱的各個面均相切，則該正六棱柱外接球的表面積為(

)A.48π B.56π C.96π D.112π8.若點(diǎn)P是曲線y=ex+x+a上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值5，則aA.0 B.4 C.?6 D.4或?6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.甲公司從某年起連續(xù)7年的利潤情況如下表所示．第x年1234567利潤y(億元)2.93.33.64.4m5.25.9根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為y=0.5x+2.3，則以下正確的是A.m=4.8 B.相關(guān)系數(shù)r>0

C.第8年的利潤預(yù)計大約為8.3億元 D.第6個樣本點(diǎn)的實際值比預(yù)測值小0.110.下列說法正確的有(

)A.若隨機(jī)變量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，則P(0<ξ<4)=0.6

B.若隨機(jī)變量X～B(6,13)，Y=2X+3，則E(Y)=7，D(Y)=83

C.已知事件A，B，若A?B，且P(A)=0.4，P(B)=0.7，則P(B|A?11.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為側(cè)面ADD1A1內(nèi)的一個動點(diǎn)(含邊界)，點(diǎn)E，F(xiàn)，A.直線A1G//平面AEF

B.平面AEF截正方體所得的截面面積為112

C.PB1?PF的最小值為114

D.若PF⊥BD1，則點(diǎn)P12.在(x2+2x13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為1，3，7，13，則該數(shù)列的第10項為______．14.?x1，x2∈[1,e]，且x1≠x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=12x?sinx+1．

(1)求函數(shù)y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[0,π]16.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}中，a1=4，an=an?1+2n?1+3(n≥2,n∈N?)

(1)17.(本小題15分)

深圳一高中為了解學(xué)生周末使用手機(jī)的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)周末使用手機(jī)的時長，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60周末使用手機(jī)時長(?)0123456≥7合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將周末使用為3小時及3小時以上的，稱為“經(jīng)常使用”，其余的稱為“不經(jīng)常使用”．

請完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與使用的經(jīng)常性有關(guān)系；性別使用手機(jī)合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)對于周末使用手機(jī)6小時及以上的同學(xué)，學(xué)校想要為進(jìn)一步了解他們的手機(jī)使用情況：

(ⅰ)在樣本的10名周末使用手機(jī)6小時及以上的同學(xué)中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，求恰好抽中1名男生的概率；

(ⅱ)在和小明的訪談中得知，他有5款喜愛的手機(jī)游戲，并且在周五周六周日三天中，每天隨機(jī)選擇一款玩一個小時，每天的選擇互相獨(dú)立.記至少選中過一次游戲的數(shù)目為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63518.(本小題17分)

如圖，四邊形ABCD是正方形，平面PABE⊥平面ABCD，PA⊥AB，EB//PA，AB=PA=4，EB=2．

(1)求證：BD//平面PEC；

(2)求二面角D?PC?E的大?。?/p>

(3)點(diǎn)Q在直線BD上，直線PQ與直線CE的夾角為α，二面角D?PC?E為β，是否存在點(diǎn)Q，使得α+β=π.如果存在，請求出|BQ|；如果不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax?e?x，g(x)=x2+xlnx．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：g(x)>?516；

(3)答案解析1.【答案】A

【解析】解：若m⊥α，n//α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知m⊥n，所以選項A正確；

若α⊥β，m?α，n?β，則m與n可能平行、相交或異面，所以選項B錯誤；

若m//n，n?α，則m//α或m?α，所以選項C錯誤；

若m?α，n?α，m//β，n//β，當(dāng)m//n時，α與β可能相交，

根據(jù)面面平行的判定定理，需m與n相交時才有α//β，所以選項D錯誤．

故選：A．

可根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定定理逐一分析選項．

2.【答案】B

【解析】解：五層樓預(yù)計共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，

由題意知，各層樓的燈籠數(shù)從上至下依次成等比數(shù)列，記為數(shù)列{an}，

第5層樓所掛燈籠數(shù)為a1=2，公比q=2．

由S5=a1(1?q5)1?q=186，解得a3.【答案】D

【解析】解：對于A，殘差與觀測時間有線性關(guān)系，故A錯誤；

對于B，殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變小，故B錯誤；

對于C，殘差與觀測時間是非線性關(guān)系，故C錯誤；

對于D，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故D正確．

故選：D．

根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定進(jìn)行判斷．

本題考查線性回歸方程的運(yùn)用，屬于中檔題．4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．

先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0解得x的范圍，繼而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

【解答】

解：∵f(x)=lnx?12x2，

∴函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，

∴f′(x)=1x?x=1?x2x，

當(dāng)f5.【答案】C

【解析】解：由題意，既有黨員又有民主黨派人士有C31C53+C32C52+C33C6.【答案】A

【解析】解：選項A：恰有一個空盒，有C41C42C31A22=4×6×3×2=144種放法，

故A錯誤；

選項B：先從四個盒子中選出三個盒子，

再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個．

已知四個小球相同即沒有順序，屬于組合問題，

故共有C43C31=12種放法，

故B正確；

選項C：每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有44=256種放法，

故C正確；

對于D：由C分析，不考慮盒中球個數(shù)，共有256種放法，

若一個盒中放3個球，另外1盒放1球，

則有C42C21C43=6×2×4=48種放法，

若1個盒中放4球，有4種放法，

故每盒至少3個球的情況有48+4=52種，

所以每盒至多兩球，有256?52=204種放法，

故D正確．

故選：A．

對選項進(jìn)行逐一分析，選項A7.【答案】D

【解析】解：因為半徑為23的球與正六棱柱的各個面均相切，

所以正六棱柱的高為43，且底面正六邊形的內(nèi)切圓半徑為23，如圖所示：

所以底面正六邊形的外接圓半徑r=23sin60°=4，

所以該正六棱柱外接球半徑為R=r2+(?8.【答案】B

【解析】解：因為y=ex+x+a，所以y′=ex+1，

令y′=ex+1=2，解得x=0，

當(dāng)x=0時，則y=a+1，故P(0,a+1)到直線y=2x的距離最小，

由點(diǎn)到直線的距離公式得最小值為d=|a+1|22+1=5，解得a=49.【答案】ABD

【解析】解：由題意可得，x?=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，

y?=0.5x?+2.3=0.5×4+2.3=4.3，

故m=7×4.3?2.9?3.3?3.6?4.4?5.2?5.9=4.8，故A正確，

y=0.5x+2.3可知，隨著x的增加，y逐漸增加，故變量x，y正相關(guān)，故r>0，故B正確，

∵y=0.5x+2.3，

∴當(dāng)x=8時，y=0.5×8+2.3=6.3≠8.3，故C錯誤，

10.【答案】ACD

【解析】解：選項A：因為P(ξ<4)=0.8，所以P(ξ≥4)=1?0.8=0.2，

因為對稱軸為x=2，所以P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2，

所以P(0<ξ<4)=1?P(ξ≥4)?P(ξ≤0)=1?0.2?0.2=0.6，故A正確；

選項B：由X～B(6,13)可得，E(X)=np=6×13=2，D(X)=np(1?p)=6×13×23=43，

因為Y=2X+3，所以E(Y)=2E(X)+3=7，D(Y)=22D(X)=163≠83，故B錯誤；

選項C：因為A?B，所以P(B∩A)=P(A)=0.4，所以P(BA?)=P(B)?P(AB)=0.7?0.4=0.3，

所以P(B|A?)=P(BA?)P(A?)=11.【答案】AC

【解析】解：對于A，連接A1D1，D1F，GF，

因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC、CC1的中點(diǎn)，

所以EF//BC1//AD1，所以D1F?平面AEF，

點(diǎn)F，G分別是線段CC1、BB1的中點(diǎn)，

故GF//A1D1，GF=A1D1，

故四邊形A1GFD1為平行四邊形，

所以A1G//D1F，且D1F?平面AEF，A1G?平面AEF，

故直線A1G/?/平面AEF，故A正確；

對于B，由A選項可知，平面AEF截正方體所得的截面為梯形A1D1FE，

且由正方體可知，AD1=2AD=22，EF=12AD1=2，

AE=AB2+BE2=22+12=5，

故梯形A1D1FE的高?=AE2?[12(AD1?EF)]2

=5?(22?22)2=322，

故梯形A1D1FE的面積S=12×(2+22)×322=92，故B錯誤；

對于C，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x12.【答案】?319

【解析】解：已知(2x?1)6的展開式通項Tr+1=C6r(2x)r(?1)6?r=(?1)13.【答案】91

【解析】解：設(shè)該二階等差數(shù)列為{an}，由前4項為1，3，7，13，即a1=1，a2=3，a3=7，a4=13，

由二階等差數(shù)列的定義可知，a2?a1=2，a3?a2=4，a4?a3=6，…，

所以數(shù)列{an+1?an}是以a2?a1=2為首項，公差d=2的等差數(shù)列，

14.【答案】(?∞,e]

【解析】解：不妨設(shè)1≤x1<x2≤e，則x2?x1>0，由ex2?ex1x2?x1>m可得ex2?ex1>m(x2?x1)，

所以ex2?mx2>ex1?mx1，令f(x)=e15.【答案】y=?12x+1．

極小值【解析】(1)由于函數(shù)f(x)=12x?sinx+1，因此f(0)=12×0?sin0+1=0?0+1=1，切點(diǎn)為(0,1)，

由于導(dǎo)函數(shù)f′(x)=12?cosx，因此k=f′(0)=12?cos0=12?1=?12，

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線為y?1=?12x，即y=?12x[0,π(f′(x)?0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此當(dāng)x∈[0,π]時，函數(shù)f(x)無極大值，有極小值f(π3)=12×π3?sinπ3+1=π6?3216.【答案】(1)證明：∵an=an?1+2n?1+3(n≥2,n∈N?)，∴(an?2n)?(an?1?2n?1)=3，

∴數(shù)列{an?2n}是等差數(shù)列，公差為3，首項為【解析】(1)由an=an?1+2n?1+3(n≥2,n∈17.【答案】表格見解析，性別因素與學(xué)生使用的經(jīng)常性有關(guān)系；

(ⅰ)740；(ⅱ)分布列見解析，E(Y)=【解析】(1)根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別使用手機(jī)合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為H0：性別與使用手機(jī)情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生使用手機(jī)的經(jīng)常性無關(guān)；

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得χ2=60×(7×16?14×23)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，

根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，

即性別因素與學(xué)生使用的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．

(2)(ⅰ)設(shè)抽取的三人中男生的人數(shù)為X，易知10名周末使用手機(jī)6小時及以上的同學(xué)中有7名男生，3名女生，

所以X的所有可能取值為0、1、2、3，

且X服從超幾何分布：P(X=1)=C71C32C103=740，

則恰好抽中1名男生的概率為Y123P11212所以E(Y)=1×125+2×1214+3×1225=125+127+3625=6125．

(1)完善2×2列聯(lián)表，提出零假設(shè)H0：性別與使用手機(jī)情況獨(dú)立，計算出χ2的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；

(2)(i)利用超幾何分布的概率公式求解即可；

(ii)由題意得，18.【答案】證明見解析；

5π6；

存在|BQ|=46【解析】(1)證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意，得A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，E(0,4,2)，

取PC的中點(diǎn)M，連接EM，則M(2,2,2)，EM=(2,?2,0)，BD=(4,?4,0)，

所以BD=2EM，則BD//EM，又EM?平面PEC，BD?平面PEC，

所以BD/?/平面PEC．

(2)取PD中點(diǎn)F，則F(2,0,2)，又AD=AB=PA，則AF⊥PD，

由AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

則AB⊥平面PAD，

由CD/?/AB，則CD⊥平面PAD，AF?平面PAD，故CD⊥AF，

由PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，

所以AF⊥平面PCD，

故AF=(2,0,2)為平面PCD的一個法向量．

設(shè)平面PCE的法向量n=(x,y,z)，且PC=(4,4,?4)，PE=(0,4,?2)，

則n⊥PCn⊥PE，所以n?PC=0n?PE=0，即4x+4y?4z=04y?2z=0，

令y=?1，得n=(?1,?1,?2)．

所以cos?AF,n?=?2?0?422×6=?32，

由圖，二面角D?PC?E為鈍二面角，

所以二面角D?PC?E的大小為5π6．

(3)設(shè)

BQ=λB