18.5.2

列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********18.5.2列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了分式方程的定義及其解法。分式方程是分母里含有未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的有理方程，解分式方程時(shí)，我們通過(guò)去分母將其化為整式方程，求解后還要檢驗(yàn)是否為增根

。那學(xué)習(xí)分式方程僅僅是為了求解方程嗎？當(dāng)然不是！今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何運(yùn)用分式方程解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，即18.5.2列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題。二、解題步驟與方法（一）一般步驟審題：仔細(xì)閱讀題目，理解題意，明確題目中已知的量和未知的量，以及它們之間的關(guān)系。設(shè)未知數(shù)：根據(jù)問(wèn)題，合理設(shè)出未知數(shù)，可以直接設(shè)未知數(shù)（求什么設(shè)什么），也可以間接設(shè)未知數(shù)（通過(guò)設(shè)其他相關(guān)量來(lái)求解最終問(wèn)題）。找等量關(guān)系：這是列方程的關(guān)鍵步驟。分析題目中的條件，找出能夠表示題目全部含義的一個(gè)或多個(gè)相等關(guān)系。常見(jiàn)的等量關(guān)系有：路程=速度

×

時(shí)間、工作總量=工作效率

×

工作時(shí)間、總價(jià)=單價(jià)

×

數(shù)量等。列分式方程：根據(jù)所設(shè)未知數(shù)和找到的等量關(guān)系，列出分式方程。解方程：按照分式方程的解法，先去分母化為整式方程，再求解整式方程。檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所得的解是否為分式方程的增根（代入原分式方程分母，看分母是否為0），又要檢驗(yàn)該解是否符合實(shí)際問(wèn)題的意義（如人數(shù)不能為負(fù)數(shù)、時(shí)間不能為負(fù)數(shù)等）

。作答：根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，寫出問(wèn)題的答案。（二）關(guān)鍵要點(diǎn)找等量關(guān)系時(shí)，要從題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵語(yǔ)句入手，比如“比……多”“是……的幾倍”“相等”“相同”等。設(shè)未知數(shù)和列方程時(shí)，要注意單位的統(tǒng)一，避免因單位不一致導(dǎo)致方程錯(cuò)誤。三、典型例題講解（一）行程問(wèn)題例題1：甲、乙兩地相距19千米，某人從甲地去乙地，先步行7千米，然后改騎自行車，共用了2小時(shí)到達(dá)乙地。已知這個(gè)人騎自行車的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和騎自行車的速度分別是多少？解：設(shè)步行的速度為\(x\)千米/小時(shí)，因?yàn)轵T自行車的速度是步行速度的4倍，所以騎自行車的速度為\(4x\)千米/小時(shí)。步行7千米所用的時(shí)間為\(\frac{7}{x}\)小時(shí)，騎自行車行駛的路程為\(19-7=12\)千米，騎自行車所用的時(shí)間為\(\frac{12}{4x}\)小時(shí)。根據(jù)“步行時(shí)間+騎自行車時(shí)間=總時(shí)間2小時(shí)”這一等量關(guān)系，可列方程：\(\frac{7}{x}+\frac{12}{4x}=2\)。解方程：方程兩邊同時(shí)乘以\(4x\)去分母得\(28+12=8x\)，即\(8x=40\)，解得\(x=5\)。檢驗(yàn)：把\(x=5\)代入原方程分母\(x=5\neq0\)，\(4x=4??5=20\neq0\)，且速度為正數(shù)符合實(shí)際意義。作答：步行的速度是5千米/小時(shí)，騎自行車的速度是\(4??5=20\)千米/小時(shí)。（二）工程問(wèn)題例題2：兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成。哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工\(x\)個(gè)月能完成總工程。甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的\(\frac{1}{3}\)，則甲隊(duì)的工作效率為\(\frac{1}{3}\)；乙隊(duì)的工作效率為\(\frac{1}{x}\)。根據(jù)“甲隊(duì)先做的工作量+甲乙兩隊(duì)合作的工作量=總工作量1”，甲隊(duì)先做了\(\frac{1}{3}\)，甲乙兩隊(duì)合作的工作量為\((\frac{1}{3}+\frac{1}{x})??\frac{1}{2}\)，可列方程：\(\frac{1}{3}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})??\frac{1}{2}=1\)。解方程：方程兩邊同時(shí)乘以\(6x\)去分母得\(2x+(x+3)=6x\)，即\(3x+3=6x\)，移項(xiàng)得\(3x=3\)，解得\(x=1\)。檢驗(yàn)：把\(x=1\)代入原方程分母\(x=1\neq0\)，且施工時(shí)間為正數(shù)符合實(shí)際意義。比較甲乙兩隊(duì)工作效率，甲隊(duì)單獨(dú)完成需要\(1?·\frac{1}{3}=3\)個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要1個(gè)月，因?yàn)閈(1<3\)，所以乙隊(duì)的施工速度快。作答：乙隊(duì)的施工速度快。（三）銷售問(wèn)題例題3：某商店銷售一批服裝，每件售價(jià)150元，可獲利25%，求這種服裝的成本價(jià)是多少元？解：設(shè)這種服裝的成本價(jià)是\(x\)元。根據(jù)“利潤(rùn)率=\(\frac{?????|}{??????}\)”，已知售價(jià)為150元，可獲利25%，利潤(rùn)為\(150-x\)元，可列方程：\(\frac{150-x}{x}=25\%\)，即\(\frac{150-x}{x}=\frac{1}{4}\)。解方程：方程兩邊同時(shí)乘以\(4x\)去分母得\(4(150-x)=x\)，即\(600-4x=x\)，移項(xiàng)得\(5x=600\)，解得\(x=120\)。檢驗(yàn)：把\(x=120\)代入原方程分母\(x=120\neq0\)，且成本價(jià)為正數(shù)符合實(shí)際意義。作答：這種服裝的成本價(jià)是120元。四、課堂練習(xí)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，求原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)器？甲、乙兩個(gè)清潔隊(duì)共同參與了城中垃圾場(chǎng)的清運(yùn)工作。甲隊(duì)單獨(dú)工作2天完成總量的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了1天，總量全部完成。那么乙隊(duì)單獨(dú)完成總量需要幾天？某商店經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)率提高了8%，那么原來(lái)經(jīng)銷這種商品的利潤(rùn)率是多少？（利潤(rùn)率=\(\frac{?????·-è????·}{è????·}??100\%\)）五、課堂小結(jié)列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作答。關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，注意檢驗(yàn)解的合理性，既要滿足分式方程，又要符合實(shí)際問(wèn)題情境。六、課后作業(yè)完成課本習(xí)題[具體頁(yè)碼和題號(hào)]生活拓展：在日常生活中，尋找一個(gè)可以用分式方程解決的實(shí)際問(wèn)題，分析并列出方程求解，然后與同學(xué)分享你的發(fā)現(xiàn)。這份課件通過(guò)多種實(shí)際問(wèn)題類型，幫助學(xué)生掌握列分式方程解題的方法。如果你希望增加特定類型的題目，或調(diào)整講解重點(diǎn)，隨時(shí)可以和我說(shuō)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解探究新知你能說(shuō)出實(shí)際應(yīng)用中存在哪些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系嗎？行程問(wèn)題路程=速度×?xí)r間工作量=工作效率×工作時(shí)間，合作效率=各自單獨(dú)完成任務(wù)的效率和.工程問(wèn)題利潤(rùn)=售價(jià)–進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率，銷售額=銷售量×單價(jià).銷售問(wèn)題例3兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成.哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？探究1工程問(wèn)題甲隊(duì)工作總量+乙隊(duì)工作總量=“1”問(wèn)題中的哪個(gè)等量關(guān)系可以用來(lái)列方程？工作時(shí)間/月工作效率工作總量甲隊(duì)乙隊(duì)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x

月.甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的三分之一兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月甲隊(duì)工作總量+乙隊(duì)工作總量=“1”解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月能完成總工程的，記總工程量為1，根據(jù)工程的實(shí)際進(jìn)度，得方程兩邊乘6x，得解得x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，6x≠0.所以，原分式方程的解為x=1.

注意：分式方程的解需要檢驗(yàn)2x+x+3=6x.工程問(wèn)題中的基本關(guān)系：解決工程問(wèn)題的思路方法：各部分工作量之和等于1常從工作量和工作時(shí)間上考慮相等關(guān)系.工作總量=工作效率×工作時(shí)間合作效率=各自單獨(dú)完成任務(wù)的效率和總工作量=各部分工作量之和歸納探究2行程問(wèn)題這里的字母v，s

表示已知數(shù)據(jù)例4

某次列車平均提速vkm/h.在相同的時(shí)間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？表達(dá)問(wèn)題時(shí)，用字母不僅可以表示未知數(shù)(或未知量)，也可以表示已知數(shù)(或已知量)時(shí)間/m速度/(km/h)路程/km提速前提速后列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km平均提速vkm/hss+50xv+x設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h等量關(guān)系解：設(shè)提速前這次列車的平均速度為xkm/h，則提速前它行駛skm所用時(shí)間為h；提速后列車的平均速度為(x+v)km/h，提速后它行駛(s+50)km所用時(shí)間為h.方程兩邊乘

x(x+v)，得解得x=s(x+v)=x(s+50).根據(jù)行駛時(shí)間的相等關(guān)系，得檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，x(x+v)

≠0.所以，原分式方程的解為x=答：提速前列車的平均速度為km/h．用字母表示已知數(shù)據(jù)的形式，在分析問(wèn)題尋找規(guī)律時(shí)經(jīng)常出現(xiàn).其中根據(jù)v，s

所表示的實(shí)際意義可知，它們是正數(shù).行程問(wèn)題中的注意事項(xiàng)：歸納1.

注意關(guān)鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；2.

把兩個(gè)“主人公”行程問(wèn)題中的三個(gè)量用代數(shù)式表示出來(lái)；3.

行程問(wèn)題中的等量關(guān)系通常抓住“時(shí)間線”來(lái)建立方程.某自行車行經(jīng)營(yíng)的某款自行車去年銷售總額為8萬(wàn)元，今年該款自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元.若該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同，則今年的銷售總額將比去年減少10%.去年該款自行車每輛售價(jià)為多少元？探究3銷售問(wèn)題設(shè)去年該款自行車每輛售價(jià)為x

元售價(jià)/元銷量/輛銷售額/元去年今年今年的銷售總額將比去年減少10%8000080000×(1–10%)xx–200去年銷售總額為8萬(wàn)元今年該款自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同等量關(guān)系解：設(shè)去年該款自行車每輛售價(jià)為x

元，則今年該款自行車每輛售價(jià)為(x–200)元.方程兩邊乘

x(x–200)，得解得x=2000.檢驗(yàn)：當(dāng)x=2000時(shí)，x(x–200)

≠0.所以，原分式方程的解為x=2000.答：去年該款自行車每輛售價(jià)為2000元.80000(x–200)=80000x(1–10%).根據(jù)題意，得銷售問(wèn)題中的基本關(guān)系：歸納利潤(rùn)=售價(jià)–進(jìn)價(jià)利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)

×

利潤(rùn)率銷售額=銷售量

×

單價(jià)知識(shí)點(diǎn)1

工程問(wèn)題

C

返回2.［2024棗莊中考］為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

)BA.200

B.300

C.400

D.500返回3.［2024泰安中考］隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人.甲組每