數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則樣本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$服從（）A.$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$B.$N(\mu,\sigma^2)$C.$N(0,1)$D.$N(n\mu,n\sigma^2)$2.設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，則樣本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是（）A.$\mu$的無偏估計(jì)量B.$\sigma^2$的無偏估計(jì)量C.$\mu$的有偏估計(jì)量D.$\sigma^2$的有偏估計(jì)量3.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$已知，$\mu$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則$\mu$的置信水平為$1-\alpha$的置信區(qū)間為（）A.$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$B.$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$C.$(\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$D.$(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)$H_0$，備擇假設(shè)$H_1$，則稱（）為犯第一類錯(cuò)誤。A.$H_0$為真，接受$H_1$B.$H_0$為真，拒絕$H_1$C.$H_0$不真，接受$H_0$D.$H_0$不真，拒絕$H_0$5.設(shè)總體$X$的概率密度為$f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則參數(shù)$\theta$的矩估計(jì)量為（）A.$\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}$B.$\frac{1-\overline{X}}{\overline{X}}$C.$\frac{\overline{X}}{1+\overline{X}}$D.$\frac{1+\overline{X}}{\overline{X}}$6.設(shè)$X\sim\chi^2(n)$，則$E(X)$等于（）A.$n$B.$2n$C.$n^2$D.$\frac{n}{2}$7.設(shè)總體$X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X$與$Y$相互獨(dú)立，$X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$是來自總體$X$的樣本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$是來自總體$Y$的樣本，$\overline{X}$和$\overline{Y}$分別是兩個(gè)樣本的均值，則$\overline{X}-\overline{Y}$服從（）A.$N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$B.$N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}-\frac{\sigma_2^2}{n_2})$C.$N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$D.$N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}-\frac{\sigma_2^2}{n_2})$8.設(shè)總體$X$的分布函數(shù)為$F(x;\theta)$，$\theta$為未知參數(shù)，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，若統(tǒng)計(jì)量$\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$滿足$P(\theta_1\leq\hat{\theta}\leq\theta_2)=1-\alpha$，則稱$[\theta_1,\theta_2]$是$\theta$的（）A.置信區(qū)間B.估計(jì)區(qū)間C.預(yù)測區(qū)間D.容差區(qū)間9.在單因素方差分析中，設(shè)因素$A$有$r$個(gè)水平，每個(gè)水平下的樣本容量分別為$n_1,n_2,\cdots,n_r$，總樣本容量$n=\sum_{i=1}^{r}n_i$，則誤差平方和$S_E$的自由度為（）A.$n-1$B.$r-1$C.$n-r$D.$r$10.設(shè)總體$X$服從指數(shù)分布$E(\lambda)$，概率密度為$f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則參數(shù)$\lambda$的極大似然估計(jì)量為（）A.$\frac{1}{\overline{X}}$B.$\overline{X}$C.$\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}$D.$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是統(tǒng)計(jì)量（）A.$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$B.$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$C.$\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$（$\mu,\sigma$未知）2.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則下列哪些是$\mu$的無偏估計(jì)量（）A.$\overline{X}$B.$X_1$C.$\frac{1}{2}(X_1+X_2)$D.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$3.關(guān)于正態(tài)分布的性質(zhì)，以下正確的有（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像關(guān)于$x=\mu$對(duì)稱B.正態(tài)分布的均值和中位數(shù)相等C.若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$aX+b\simN(a\mu+b,a^2\sigma^2)$D.正態(tài)分布的偏度為04.在假設(shè)檢驗(yàn)中，影響犯兩類錯(cuò)誤概率的因素有（）A.樣本容量$n$B.顯著性水平$\alpha$C.原假設(shè)與備擇假設(shè)的設(shè)定D.總體分布5.以下哪些分布與正態(tài)分布有密切關(guān)系（）A.$\chi^2$分布B.$t$分布C.$F$分布D.泊松分布6.設(shè)總體$X$的分布函數(shù)為$F(x;\theta)$，$\theta$為未知參數(shù)，求$\theta$的極大似然估計(jì)量的步驟包括（）A.寫出似然函數(shù)$L(\theta)$B.對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)得$\lnL(\theta)$C.對(duì)$\lnL(\theta)$求關(guān)于$\theta$的導(dǎo)數(shù)D.令導(dǎo)數(shù)為0求解$\theta$7.對(duì)于樣本均值$\overline{X}$和樣本方差$S^2$，以下性質(zhì)正確的是（）A.$E(\overline{X})=E(X)$B.$D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$C.$E(S^2)=D(X)$D.$\overline{X}$與$S^2$相互獨(dú)立（當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)）8.在方差分析中，以下說法正確的有（）A.總平方和$S_T=S_A+S_E$B.因素$A$的平方和$S_A$反映了因素$A$對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響C.誤差平方和$S_E$反映了隨機(jī)誤差的影響D.當(dāng)$F$統(tǒng)計(jì)量的值較大時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素$A$對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響9.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$未知，對(duì)$\mu$進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，可能用到的統(tǒng)計(jì)量有（）A.$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$B.$z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$C.$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$D.$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$10.以下哪些是估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.充分性三、判斷題（每題2分，共10題）1.統(tǒng)計(jì)量是不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)。（）2.若$\hat{\theta}$是$\theta$的無偏估計(jì)量，則$E(\hat{\theta})=\theta$。（）3.樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量（對(duì)于正態(tài)總體）。（）4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平$\alpha$是犯第一類錯(cuò)誤的概率。（）5.設(shè)$X\sim\chi^2(n)$，$Y\sim\chi^2(m)$，且$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$X+Y\sim\chi^2(n+m)$。（）6.總體分布未知時(shí)，不能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。（）7.在單因素方差分析中，若$F$檢驗(yàn)的結(jié)果是接受原假設(shè)，則說明因素$A$對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無顯著影響。（）8.極大似然估計(jì)一定是無偏估計(jì)。（）9.對(duì)于任意總體$X$，當(dāng)樣本容量$n$足夠大時(shí)，樣本均值$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布。（）10.若兩個(gè)總體的方差相等，則它們的分布一定相同。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩估計(jì)法的基本思想。答案：用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量，建立含有未知參數(shù)的方程，通過求解方程得到未知參數(shù)的估計(jì)值。如用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差等。2.什么是無偏估計(jì)量？并舉例說明。答案：設(shè)$\hat{\theta}$是參數(shù)$\theta$的估計(jì)量，若$E(\hat{\theta})=\theta$，則稱$\hat{\theta}$是$\theta$的無偏估計(jì)量。例如樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無偏估計(jì)量，即$E(\overline{X})=\mu$。3.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：（1）提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$；（2）選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；（3）給定顯著性水平$\alpha$，確定拒絕域；（4）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；（5）將統(tǒng)計(jì)量值與拒絕域比較，作出判斷。4.說明方差分析的基本原理。答案：方差分析是通過比較不同因素水平下樣本數(shù)據(jù)的方差，將總平方和分解為因素平方和與誤差平方和。用$F$統(tǒng)計(jì)量比較兩者，判斷因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響。若$F$值大，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素有顯著影響。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際應(yīng)用中，如何選擇合適的估計(jì)方法來估計(jì)總體參數(shù)？答案：要考慮總體分布類型、樣本容量等。若總體分布已知且形式簡單，極大似然估計(jì)較優(yōu)；總體分布未知時(shí)，矩估計(jì)實(shí)用。樣本容量大時(shí)，多種方法效果相近；樣本容量小時(shí)，需考慮估計(jì)量的性質(zhì)，如無偏性、有效性等，綜合選擇。2.假設(shè)檢