【高考題源·8卷】備戰(zhàn)2026年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考II卷專用）卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，又，則.故選：B.2．（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】.故選：A3．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距約為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為18m.最短拉索的錨，滿足，，以所在直線為軸，所在直線為軸，則最長拉索所在直線的斜率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，分別是公差為4和18的等差數(shù)列，所以，，所以，，即最長拉索所在直線的斜率為.故選：B.4．已知平面向量，，，若，則（

）A． B．5 C．2 D．【答案】D【詳解】，，因為，所以，所以，解得.故選：D5．2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400【答案】B【詳解】甲與乙相鄰有種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，有種不同的排法，再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有種不同的排法，所以共有種不同的排法．故選：B.6．已知角，且，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】因為，所以，所以，則，又，則，則，所以.故選：C.7．已知正三棱錐的外接球的表面積為，若平面PBC，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)外接球半徑為，則，所以.設(shè)，因為平面PBC，所以，所以，又因為△ABC為正三角形，，即PA，PB，PC兩兩垂直.將三棱錐補成以PA，PB，PC為鄰邊的正方體，則，得，所以三棱錐的體積為.故選：A.8．函數(shù)和的定義域均為，已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，對于，均有，則（

）A．66 B．70 C．124 D．144【答案】B【詳解】為偶函數(shù)，即，的圖像關(guān)于對稱，為奇函數(shù)，即，的圖像關(guān)于點對稱，對于，均有，，的圖像關(guān)于對稱，，的圖像關(guān)于點對稱，又解得，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．對于函數(shù)，有以下四種說法正確的是:（）A．函數(shù)的最小值是B．圖象的對稱軸是直線C．圖象的振幅為2，初相為D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【詳解】因為函數(shù)，則有：對于選項A：當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為，故A正確；對于選項B：令，解得，函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，故B錯誤；對于選項C：因為，所以圖象的振幅為2，令，解得，所以不為初相，故C錯誤；對于選項D：令，解得，即函數(shù)的遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，故D正確.故選：AD.10．（多選題）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.一個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】設(shè)長方體的長寬高分別為，，則，，，故，，，，則B錯誤，ACD正確；故選：ACD.11．已知為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交拋物線于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．直線與拋物線相切C．為定值 D．【答案】ABD【分析】選項A，由點在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則得到準(zhǔn)線方程；選項B，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，與直線斜率相同即可說明相切；選項C，設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，將坐標(biāo)化韋達(dá)定理代入可證；選項D，利用弦長公式用表示，再代入韋達(dá)定理，結(jié)合判別式得出的的范圍，即可判斷得出答案．【詳解】對于A：因為點在拋物線：上，則，解得，所以拋物線：，其準(zhǔn)線為，故A正確；對于B：令，則，可得，即拋物線在A點處切線斜率與直線AB斜率相同，所以直線AB與拋物線C相切，故B正確；對于C：由題意可知，直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，可得，得，且，因為，故C錯誤；對于D：由題意可知，因為，則，所以，故D正確.故選：ABD．

12．若實數(shù)x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對于AB，，則，從而可求出的范圍進行判斷，對于C，利用，化簡變形結(jié)合已知條件可判斷，對于D，利用，化簡變形結(jié)合已知條件可判斷.【詳解】對于AB，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以A正確，B錯誤，對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C錯誤，對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以D正確，故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則.【答案】/【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，所以，故答案為：14．已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為．【答案】【詳解】由題意得，，設(shè)切點為，則切線方程為，因為切線過原點，所以，解得，所以．故答案為：15．已知圓C：，直線，若在l上總存在點M，使得過M點作的圓C的兩條切線互相垂直，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】根據(jù)題意，圓C：即，其圓心為，半徑，如圖，設(shè)切點分別為A，連接AC，BC，MC，由，又由，則四邊形MACB為正方形且，若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心到直線l的距離，即，解可得：，即m的取值范圍為；故答案為：16．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，、分別交軸于、兩點，的周長為4.過作外角平分線的垂線與直線交于點，則.【答案】【詳解】因為，所以，因為的周長為4，所以的周長，所以，所以橢圓方程為，，所以，直線垂直軸，設(shè)，代入，求得，所以，，因為外角平分線的垂線與直線交于點，所以，可得，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)若集合，求集合中的元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)6【詳解】（1）證明：設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，解得，所以原命題得證.（2）由（1）知，所以，因為，所以，解得,由，，故，即，所以滿足等式的解．故集合中的元素個數(shù)為6.18．在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．問題：設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______.(1)求；(2)求的周長.注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，，，，則，化簡得.在中，，.又，.（2）由余弦定理，得，即.若選①，，即，且，，，此時的周長為.若選②，，，即，又，，此時的周長為．19．據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：噸），月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了戶居民某年的月均用水量（單位：噸），其中月均用水量在內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求和的值；(2)若該市政府希望使的居民月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)噸，試估計的值；(3)在（2）的條件下，若實施階梯水價，月用水量不超過噸時，按3元噸計算，超出噸的部分，按5元噸計算．現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少噸？【答案】(1)，(2)16.6噸(3)20.64噸【詳解】（1），用水量在的頻率為，（戶）（2），，（噸）（3）設(shè)該市居民月用水量最多為噸，因為，所以，則，解得，答：該市居民月用水量最多為20.64噸．20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，AD中點．(1)求證：平面；(2)若，PB與平面ABCD所成角為45°，求平面PFB與平面EFD夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)為中點，連接，又分別是中點，所以，，又底面是正方形，所以，，故四邊形為平行四邊形，則，由平面，平面，則平面.（2）因為PB與平面ABCD所成角為45°，所以，以為原點，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由于，則，所以，所以，令為平面的一個法向量，則，令，即，令為平面的一個法向量，則，令，即，所以，即平面與平面夾角的余弦值．21．已知雙曲線：經(jīng)過點，且浙近線方程為．(1)求的方程；(2)過點作軸的垂線，交直線：于點，交軸于點．不過點的直線交雙曲線于A、B兩點，直線，的斜率分別為，，若，求．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，即，將代入雙曲線方程得；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立雙曲線方程，其中，，易知，化簡得所以或，當(dāng)時，直線過P，不符題意舍去，故，則此時直線，過定點.如圖所示，易知，則；當(dāng)直線的斜率不存在時，可設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，則，可令，此時，此時重合，不符題意舍去.綜上可知.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點在于第二問中由條件轉(zhuǎn)化中的關(guān)系，此外三角形面積比轉(zhuǎn)化為線段比也是簡化計算的關(guān)鍵.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若，求的值；(3)求證：.【答案】(1)在處取得極小值，無極大值(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值；（2）由題意得，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，與矛盾；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減