八年級上冊數(shù)學(xué)第二十章

軸對稱

20.3.1等腰三角形

圖中有些你熟悉的圖形嗎?它們有什么共同特點(diǎn)?斜拉橋梁埃及金字塔體育觀看臺架情景引入

如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并沿虛線剪去，再把剪下的部分展開,得到的△ABC有什么特點(diǎn)?剪一剪ACB一、等腰三角形的相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？二、等腰三角形的性質(zhì)ABCAB=AC等腰三角形折一折：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ACDB折一折：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對稱軸.等腰三角形是軸對稱圖形.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBD

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C.∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.思考：如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個(gè)底角相等如何證明兩個(gè)角相等呢？可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對應(yīng)角相等”來證已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：

作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：

作底邊的高AD，則∠ADB=∠ADC=90°.AB=AC(已知)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中，方法三：作底邊上的高想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

ABCD想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.

ABCD性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.綜上可得：如圖,在△ABC中,例1(1)若等腰三角形的一個(gè)底角為72°,則這個(gè)等腰三角形的頂角為_________.

(2)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠B=_______°.36°70變式1如圖,已知∠AOB=10°，且OC=CD=DE=EF=FG=GH，則∠BGH=

(

)A.50°

B.60°C.70°

D.80°B例2如圖,△ABC中，AB=AC，垂足為點(diǎn)D，若∠BAC=70°，則∠BAD=

.35°

畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？三線合一做一做：為什么會不一樣？等腰三角形的重要線段的性質(zhì)

想一想：上節(jié)課我們證明了等腰三角形的“三線合一”，即頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線.試猜想等腰三角形的兩底角的角平分線、兩腰上的高、兩腰上的中線有什么關(guān)系呢？

作圖觀察,我們可以猜想：等腰三角形兩底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的中線相等；等腰三角形兩腰上的高相等．

ACBDEACBMNACBPQ你能證明你的猜想嗎？ACBE已知:求證:BD=CE.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線．12D猜想證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．∠2=

∠ACB(已知),∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).證明：又∵∠1=∠ABC，∴∠1=∠2(等式性質(zhì))．在△BDC與△CEB中，∠DCB=∠EBC（已知），BC=CB（公共邊），∠1=∠2（已證），∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．ACBE12D思考：如圖，在等腰三角形ABC中，（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎？（2）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎？由此你得到什么結(jié)論?在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.簡述為：過底邊的端點(diǎn)且與底邊夾角相等的兩線段相等.結(jié)論ACBED已知:求證:BM=CN.如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC兩腰上的中線．猜想證明：等腰三角形兩腰上的中線相等．ACBMN又∵CM=，BN=，證明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.∴CM=BN．在△BMC與△CNB中，∵BC=CB,∠MCB=∠NBC,CM=BN，∴△BMC≌△CNB（SAS）．∴BM=CN.ACBMN已知:求證:BP=CQ.如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC兩腰上的高．猜想證明：等腰三角形兩腰上的高相等．ACBPQ證明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.在△BMC與△CNB中，∵BC=CB,∠QBC=∠PCB,∠BQC=∠CPB，∴△BQC≌△CPB（AAS）．∴BP=CQ.思考：如圖，在等腰三角形ABC中，（1）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎？（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BE=CE嗎？由此你得到什么結(jié)論?在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.簡述為：兩腰上距頂點(diǎn)等距的兩點(diǎn)與底邊頂點(diǎn)的連線段相等.結(jié)論ACBED例3

如圖,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,求證:DE∥BC.證明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,∴∠AEB=∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ACD,∴∠ABC∠ABE=∠ACB∠ACD,即∠EBC=∠DCB.在△BEC與△CDB中,∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE,∴ABBD=ACCE,即AD=AE,∴∠ADE=∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的頂角,∴∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC.變式31如圖,已知AD,BE分別是△ABC的中線和高,且AB=AC,∠EBC=20°,則∠BAD的度數(shù)為(

)A.18° B.20°

C.22.5° D.25°B變式32下列說法:(1)等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合;(2)等腰三角形的兩腰上的中線長相等;(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;(4)等腰三角形的一邊長為8,一邊長為16,那么它的周長是32或40.其中不正確的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4C1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（

×）（×

）（

×

）（

×

）（√）（√）練一練7.一個(gè)等腰三角形的頂角是50°，則它的底角是(

)AA.65°

B.70°

C.75°

D.100°8.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，則∠BCD=(

)DA.40°B.50°C.60°

D.70°2.如圖，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，若∠C=65°，則∠DBC的度數(shù)是

(

)A.25°

B.20°C.30°

D.15°D

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CAB

請同學(xué)用直尺和量角器，畫一個(gè)△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？小活動(dòng)三、等腰三角形的判定在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，

()等腰三角形的判定方法：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”，這又是一個(gè)判定兩條線段相等的根據(jù)之一）.已知等角對等邊在△ABC中，BCA((歸納總結(jié)應(yīng)用格式：ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?例1

求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養(yǎng)考點(diǎn)1例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形由平行及角平分線識別等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)2變式2如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．通過計(jì)算角相等來證明等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)3

“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，它的前提條件是“在同一個(gè)三角形中”．變式3如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個(gè).例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點(diǎn)D.3.在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND利用尺規(guī)作圖作等腰三角形素養(yǎng)考點(diǎn)4變式4如圖,

在△ABC中，AC=BC，用尺規(guī)作CF⊥AB，交AB于點(diǎn)G，若∠BCG=50°，則∠A的度數(shù)為(

)A.40°

B.45°C.50°

D.60°A例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，F(xiàn)C之間的關(guān)系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵

BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？利用等腰三角形的判定證明線段之間的關(guān)系素養(yǎng)考點(diǎn)5

判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明線段所在的兩個(gè)三角形全等或利用同一個(gè)三角形中“等角對等邊”，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.∴MN=OABCMN123456變式5在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點(diǎn)作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵

MN=OM+ON,1、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°知識點(diǎn)撥：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A課堂練習(xí)2．如圖，a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(

)A．25°B．65°C．70°D．75°B3.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°

B．30°

C．70°

D．50°A4、（1）等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為____

__；(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為____