專題13空間向量與立體幾何（選填題）8種常見(jiàn)考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1空間幾何體（5年5考）考點(diǎn)01空間幾何體的表面積2023·全國(guó)乙卷2022·上海2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·北京1.空間幾何體的體積計(jì)算是重點(diǎn)考查內(nèi)容，5年內(nèi)頻繁出現(xiàn)，涉及各種類型的幾何體，如棱柱、棱錐、球等，且常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。與球有關(guān)的切、接問(wèn)題也是重要考點(diǎn)，多以正方體、正四棱錐等為背景，考查考生對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解和空間想象能力。2.點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷基本每年都有考查，主要考查考生對(duì)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的基本概念和定理的理解，通常以正方體等簡(jiǎn)單幾何體為載體，通過(guò)對(duì)一些位置關(guān)系的判斷來(lái)命題，難度適中，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查。3.空間幾何體的表面積計(jì)算、其他量（如棱長(zhǎng)、角度等）的計(jì)算也時(shí)有出現(xiàn)，要求考生熟練掌握相關(guān)公式和定理，具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和空間想象能力，能夠準(zhǔn)確計(jì)算出相關(guān)量的值.4.立體幾何與其他知識(shí)的綜合考查逐漸受到關(guān)注，雖然在選填題中出現(xiàn)頻率相對(duì)較低，但有一定的命題趨勢(shì)，可能會(huì)與函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.考點(diǎn)02空間幾何體的體積問(wèn)題2025·北京2025·上海2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2024·全國(guó)甲卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)甲卷2023·全國(guó)乙卷2023·天津2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2022·天津2022·全國(guó)甲卷2022·浙江2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·天津2021·北京考點(diǎn)03空間幾何體其他量的計(jì)算2024·北京2023·北京2023·全國(guó)甲卷考點(diǎn)04與球有關(guān)的切、接問(wèn)題2025·全國(guó)二卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國(guó)甲卷2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·全國(guó)乙卷知識(shí)2點(diǎn)、平面、直線間的位置關(guān)系（5年4考）考點(diǎn)05點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷2025·全國(guó)一卷2025·天津2024·全國(guó)甲卷2024·天津2022·上海2022·全國(guó)乙卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷知識(shí)3立體幾何綜合（5年4考）考點(diǎn)06求空間角2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·全國(guó)甲卷2022·浙江考點(diǎn)07立體幾何與其他知識(shí)的綜合2022·北京2023·上?？键c(diǎn)08立體幾何新定義問(wèn)題2024·上?？键c(diǎn)01空間幾何體的表面積1．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知某圓錐的高為4，底面積為，則該圓錐的側(cè)面積為.2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．303．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%4．（2021·北京·高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)02空間幾何體的體積問(wèn)題5．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．

6．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．7．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．39．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．10．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．11．（2022·天津·高考真題）十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若,,則該幾何體的體積為（

）A． B． C．27 D．12．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．13．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．14．（2021·北京·高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

等級(jí)24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨15．（2022·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（

）A． B． C． D．16．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．2017．【多選】（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．18．（2025·北京·高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平面多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，則該多面體的體積為．19．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為．20．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為．21．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．22．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．23．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．24．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為考點(diǎn)03空間幾何體其他量的計(jì)算25．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．26．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．27．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)04與球有關(guān)的切、接問(wèn)題28．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．29．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．30．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）一個(gè)底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為．31．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．32．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．33．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．34．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．35．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體考點(diǎn)05點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷36．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段都不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)37．（2025·天津·高考真題）若m為直線，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則38．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④39．（2024·天津·高考真題）已知是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則40．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面41．【多選】（2025·全國(guó)一卷·高考真題）在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C． D．平面42．【多選】（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)06求空間角43．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．344．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．45．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為46．【多選】（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為47．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（