高三江蘇南京數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+2\)的導(dǎo)函數(shù)為\(f'(x)\)，則\(f'(1)\)的值為：

A.-2

B.0

C.2

D.3

2.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，\(a_4=9\)，則公差\(d\)等于：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對(duì)邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，則\(a^2+b^2-c^2\)等于：

A.\(2ab\cosC\)

B.\(2ab\sinC\)

C.\(2ac\cosB\)

D.\(2bc\cosA\)

4.若\(x\)是實(shí)數(shù)，則\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\)的最小值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

A.\((-\infty,0)\)

B.\((0,+\infty)\)

C.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

D.\((-1,0)\cup(0,1)\)

6.若\(\log_2(3x-1)=\log_2(4x+3)\)，則\(x\)的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos\beta=\frac{4}{5}\)，則\(\sin(\alpha+\beta)\)的值為：

A.\(\frac{7}{25}\)

B.\(\frac{24}{25}\)

C.\(-\frac{7}{25}\)

D.\(-\frac{24}{25}\)

8.若\(a>0\)，\(b>0\)，則\(\sqrt{a^2+b^2}\)的最小值為：

A.\(a+b\)

B.\(ab\)

C.\(\frac{a+b}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(a+b)\)

9.若\(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}=2\)，則\(\sin\alpha\)的值為：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(1\)

D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)的值為：

A.\(2\)

B.\(3\)

C.\(4\)

D.\(5\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，哪些函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？

A.\(y=x^2\)

B.\(y=2x^3\)

C.\(y=\frac{1}{x}\)

D.\(y=x^4\)

E.\(y=\sqrt{x}\)

2.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)\(A(2,-3)\)，\(B(5,1)\)，\(C\)為線段\(AB\)的中點(diǎn)，則點(diǎn)\(C\)的坐標(biāo)為：

A.\((3,-1)\)

B.\((4,-1)\)

C.\((5,-1)\)

D.\((6,-1)\)

E.\((7,-1)\)

3.下列哪些命題是真命題？

A.若\(a^2+b^2=0\)，則\(a=0\)，\(b=0\)

B.若\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)或\(a=-b\)

C.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)或\(\alpha=\pi-\beta\)

D.若\(\cos\alpha=\cos\beta\)，則\(\alpha=\beta\)或\(\alpha=2\pi-\beta\)

E.若\(\tan\alpha=\tan\beta\)，則\(\alpha=\beta\)或\(\alpha=\pi+\beta\)

4.下列哪些函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的？

A.\(y=\frac{1}{x}\)

B.\(y=|x|\)

C.\(y=\sqrt{x}\)

D.\(y=x^2\)

E.\(y=\frac{x}{x}\)

5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{3}{5}\)，則下列哪些表達(dá)式是正確的？

A.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

B.\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

C.\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\)

D.\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)

E.\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，且\(a+b+c=9\)，\(b-c=3\)，則\(a\)的值為_(kāi)_____。

2.函數(shù)\(f(x)=2x^3-3x^2+x+1\)的極值點(diǎn)為_(kāi)_____。

3.在三角形\(ABC\)中，若\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，則\(\cosA\)的值為_(kāi)_____。

4.若\(\log_2(x-1)=3\)，則\(x\)的值為_(kāi)_____。

5.若\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)在第二象限，則\(\cos\alpha\)的值為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)值。

2.解下列不等式組：\(\begin{cases}2x-3y\geq6\\x+4y\leq8\end{cases}\)。

3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=6\)，\(b=8\)，\(c=10\)，求\(\cosB\)的值。

4.求函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)的反函數(shù)，并求出其定義域。

5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos\beta=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)和\(\beta\)都在第二象限，求\(\sin(\alpha+\beta)\)和\(\cos(\alpha+\beta)\)的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B

解題過(guò)程：\(f'(x)=3x^2-3\)，則\(f'(1)=3(1)^2-3=0\)。

2.A

解題過(guò)程：\(a_4=a_1+3d\)，則\(9=3+3d\)，解得\(d=2\)。

3.A

解題過(guò)程：由余弦定理，\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，則\(a^2+b^2-c^2=2ab\cosC\)。

4.B

解題過(guò)程：由于\(x^2\geq0\)，\(\sqrt{x^2+1}\geq1\)，\(\sqrt{x^2-1}\geq0\)，則\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\geq1\)，最小值為1。

5.B

解題過(guò)程：\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1\)，令\(f'(x)>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-1\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((0,+\infty)\)。

6.C

解題過(guò)程：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，\(3x-1=4x+3\)，解得\(x=3\)。

7.C

解題過(guò)程：由三角函數(shù)的和角公式，\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{7}{25}\)。

8.D

解題過(guò)程：由于\(a^2\geq0\)，\(b^2\geq0\)，則\(\sqrt{a^2+b^2}\geqa\)，最小值為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(a+b)\)。

9.B

解題過(guò)程：由三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系，\(\frac{1}{\sin\alpha}=\csc\alpha=2\)，則\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)。

10.A

解題過(guò)程：由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，\(a+c=2b\)，\(ac=b^2\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{a+c}{ac}=\frac{2b}{b^2}=\frac{2}=2\)。

二、多項(xiàng)選擇題

1.B,C

解題過(guò)程：函數(shù)\(y=2x^3\)和\(y=\frac{1}{x}\)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

2.B,C

解題過(guò)程：根據(jù)中點(diǎn)公式，\(C\)的坐標(biāo)為\(\left(\frac{2+5}{2},\frac{-3+1}{2}\right)=(3,-1)\)。

3.A,B,C,E

解題過(guò)程：這些命題是真命題。

4.B,C,D,E

解題過(guò)程：這些函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的。

5.A,B,D

解題過(guò)程：這些表達(dá)式是正確的。

三、填空題

1.2

解題過(guò)程：\(a+b+c=9\)，\(b-c=3\)，則\(a+2b=12\)，解得\(a=2\)。

2.\(f'(2)=2\cdot2^2-3\cdot2+1=5\)

解題過(guò)程：直接代入\(x=2\)計(jì)算。

3.\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+10^2-8^2}{2\cdot6\cdot10}=\frac{1}{2}\)

解題過(guò)程：由余弦定理計(jì)算。

4.\(x=2^3=8\)

解題過(guò)程：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，\(2^3(x-1)=8\)，解得\(x=8\)。

5.\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)

解題過(guò)程：由三角函數(shù)的平方關(guān)系，\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，解得\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。

四、計(jì)算題

1.\(f'(2)=6\cdot2^2-6\cdot2+1=5\)

解題過(guò)程：求導(dǎo)后代入\(x=2\)計(jì)算。

2.解集為\(\{(2,1),(3,1),(4,0),(5,0)\}\)

解題過(guò)程：將不等式轉(zhuǎn)化為直線方程