第13章三角形13.3三角形的內(nèi)角與外角

13.3.1三角形的內(nèi)角第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和定理情境導(dǎo)入壹目錄課堂小結(jié)肆當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁新知初探貳情境導(dǎo)入壹情境導(dǎo)入我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點(diǎn)，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.問題有一塊殘缺的三角形木板，量得∠A=100°，∠B=20°，則這塊三角形木板的第三個角的度數(shù)是多少?新知初探貳新知初探任務(wù)一探索并證明三角形的內(nèi)角和定理我們在小學(xué)就已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180o，大家回憶一下，當(dāng)時(shí)是怎樣知道這個結(jié)論的呢？度量或者剪拼活動1【思考】你有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？剪拼ABC21測量480720600600＋480＋720＝1800銳角三角形三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.還有其他的拼接方法嗎？剪一剪，拼一拼觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？問題2在圖3中,直線CM與AB是什么關(guān)系?問題3你能從中找到三角形內(nèi)角和定理的證明方法嗎?（1）在準(zhǔn)備的三角形硬紙上標(biāo)出三角形三個內(nèi)角的編碼,如圖1.圖2，圖3給出了兩種拼法.問題1在圖2中,直線MN與BC是什么關(guān)系?平行平行活動2（2）證明三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180o。求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠C=∠2.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2：延長BC到D，過點(diǎn)C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3：過D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.同學(xué)們還有其他的方法嗎？【思考】

多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟.試一試

為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)

為了證明三個角的和為180°，通過作平行線，利用平行線的性質(zhì)，把所證問題轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線即時(shí)測評如圖，說出各圖中∠1的度數(shù).80°50°130°105°1

22°1（1）（2）（3）∠1=50°∠1=45°∠1=68°范例應(yīng)用【例1】如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，

∠B=75°，

AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.北北CABDE【例2】如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50o方向，B島在A島的北偏東80o方向，C島在B島的北偏西40o方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？解法一：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80o-50o=30o.∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180o.∴∠ABE=180o-∠BAD=180o-80o=100o，∠ABC=∠ABE-∠CBE=100o-40o=60o.在△ABC中，

∠ACB=180o-∠CAB-∠ABC=180o-30o-60o=90o.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60o，

從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90o.北北CABDE解法二：過點(diǎn)C作CF∥AD，∵AD∥BE，CF∥AD，∴BE∥CF.∴∠ACF=∠CAD=50o，∠BCF=∠CBE=40o.∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50o+40o=90o.F【例2】如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50o方向，B島在A島的北偏東80o方向，C島在B島的北偏西40o方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？即時(shí)測評如圖，已知△ABC中，∠B=40°，∠ACB=60°，AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，交AD于點(diǎn)E，求∠AEC的度數(shù)．解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，

∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠CAE=∠BAC

÷2=40°，∠ACE=∠ACB

÷2=30°.在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=110°.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（）

A．85°B．80°C．75°D．70°A1.如果一個三角形的兩個內(nèi)角分別是36°和54°，那么這個三角形是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形B3.填空。

（1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=65°，則∠C=_____.

（2）在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，則∠B=_____.

（3）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，則∠A=_____.

（4）在△ABC中，∠C=30°，∠A：∠B=1：2，

則∠B=

_____.

25°69°60°100°4.如圖，已知AD與BC相交于點(diǎn)O，E為CD延長線上的一點(diǎn)，∠B=35°，∠AOB=85°，∠ODE=120°，AB與CD是否平行？為什么？解：AB∥CD.理由如下：在△AOB中，∠B=35°，∠AOB=85°，所以∠A=180°-∠B-∠AOB=60°,因?yàn)椤螼DE=120°，所以∠A+∠ODE=180°，所以AB∥CD.5.如圖,已知:AD是△ABC的角平分線,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度數(shù).解:∵AD是△ABC的角平分線,∠BAC=60°,∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=30°,∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,∴∠B==90°-40°=50°