年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（湖南省卷）2025年湖南省中考數(shù)學(xué)試卷嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。試卷注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，同時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性和創(chuàng)新性，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。試卷設(shè)計(jì)科學(xué)合理，題型多樣，難度適中，既有對基礎(chǔ)知識(shí)的全面覆蓋，也有對重難點(diǎn)知識(shí)的深入考查。試題情境貼近生活實(shí)際，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。此外，試卷還注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，通過融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化等元素，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1.核心素養(yǎng)導(dǎo)向

試卷嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，突出對抽象能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)的考查。例如第26題（二次函數(shù)綜合）融合幾何與代數(shù)，體現(xiàn)模型構(gòu)建與邏輯推理的整合。2.內(nèi)容覆蓋均衡

數(shù)與代數(shù)（40%）、圖形與幾何（35%）、統(tǒng)計(jì)與概率（15%）、綜合與實(shí)踐（10%）的占比合理，符合課標(biāo)要求。如第1-10題覆蓋實(shí)數(shù)、函數(shù)、幾何變換等基礎(chǔ)概念，第23題（統(tǒng)計(jì)）強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析和實(shí)際應(yīng)用。3.難度梯度分明

基礎(chǔ)題（60%）、中檔題（25%）、難題（15%）分層明顯，如第18題（創(chuàng)新題）考查分類討論思想，體現(xiàn)選拔功能。從試卷全貌來看，試卷中各知識(shí)領(lǐng)域的分值設(shè)計(jì)，難易控制平衡，作為過渡期一份中考卷，除了壓軸題難度系數(shù)偏低，前100分命題相當(dāng)不錯(cuò)，基礎(chǔ)和區(qū)分度均有設(shè)計(jì)，有效地實(shí)現(xiàn)全省統(tǒng)一命題的平穩(wěn)過渡。大部分題目的創(chuàng)設(shè)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系密切，梯度設(shè)計(jì)細(xì)致合理，符合初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與水平。相較于2024年，2025年湖南省中考數(shù)學(xué)試題在以下幾個(gè)方面出現(xiàn)了新變化：跨學(xué)科融合增強(qiáng)：

第10題（地理+數(shù)學(xué)）結(jié)合經(jīng)緯度計(jì)算弧長，第24題（生活場景）用三角函數(shù)解決晾衣問題，體現(xiàn)學(xué)科交叉。創(chuàng)新題型占比提升

第18題以動(dòng)態(tài)參數(shù)t定義新運(yùn)算，考查邏輯推理；第26題（3）問引入幾何最值探究，突破傳統(tǒng)函數(shù)題模式。閱讀量增加

應(yīng)用題（如第22、24題）題干信息量較往年增加20%，強(qiáng)調(diào)信息提取與數(shù)學(xué)建模能力。加強(qiáng)對學(xué)生思維能力的考查：試題中增加了更多需要邏輯推理、抽象思維和創(chuàng)新思維的題目，如探究題、開放題等，旨在培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。模塊題號分值核心考點(diǎn)變化點(diǎn)數(shù)與代數(shù)1,4,5,12,13,14,19,20,2238分實(shí)數(shù)運(yùn)算、分式的約分、分式方程、不等式、整式的運(yùn)算較去年，分式有關(guān)的題型增多圖形與幾何2,8,11,16,17,21,2533分軸對稱、平移、圓與四邊形證明幾何證明題分值增加5%，且壓軸題更注重實(shí)踐探究函數(shù)6,9,159分平面直角坐標(biāo)系、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用較去年題型，簡單的函數(shù)題型增加了一題，更偏向于基礎(chǔ)知識(shí)。統(tǒng)計(jì)與概率3,7,2315分概率計(jì)算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)圖表閱讀難度提升綜合實(shí)踐10,18,24,2625分跨學(xué)科應(yīng)用、動(dòng)態(tài)幾何、函數(shù)綜合創(chuàng)新題占比達(dá)12%回歸基礎(chǔ)，強(qiáng)化訓(xùn)練：扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，包括概念、公式、定理等，確?；A(chǔ)題不丟分。加強(qiáng)基礎(chǔ)題型的訓(xùn)練，如選擇題、填空題，提高解題速度和準(zhǔn)確率。數(shù)學(xué)刷題提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，數(shù)學(xué)需要實(shí)踐，需要大量做題，但要從題海中解脫出來，做題要多總結(jié)思路方法技巧，注重發(fā)現(xiàn)題與顆之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過同類對于同類型顆目通過比較發(fā)行規(guī)律做到出類旁通復(fù)習(xí)時(shí)需要多做習(xí)題，從習(xí)題中掌握學(xué)習(xí)的技巧，不同的解題方法。不要在意刷題的數(shù)量，要做到每做完一道題就能明白這道題背后運(yùn)用的公式定理同類型題目的解題思路，做到舉一反三，更好地掌握知識(shí)點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)質(zhì)量。2.注重思維，提升能力：多做探究題、開放題，培養(yǎng)邏輯推理、抽象思維和創(chuàng)新思維能力。學(xué)會(huì)從多個(gè)角度分析問題，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。3.能力提升突破壓軸題型：針對動(dòng)態(tài)參數(shù)問題（第18題）、函數(shù)與幾何綜合（第26題），每日1題專項(xiàng)訓(xùn)練。提高閱讀速度：通過長題干應(yīng)用題（如第24題）練習(xí)關(guān)鍵信息標(biāo)注，限時(shí)完成。4.跨學(xué)科整合：補(bǔ)充地理、物理中的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用（如弧度制、簡單機(jī)械原理）。5.探究性學(xué)習(xí)：模擬第25題的“操作-猜想-證明”流程，培養(yǎng)邏輯鏈構(gòu)建能力。6.注意解題過程的規(guī)范性和計(jì)算的準(zhǔn)確度：中考解題一定要規(guī)范，所以在復(fù)習(xí)中要訓(xùn)練審題運(yùn)算書寫及解題技巧，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)考試成敗的關(guān)鍵，每次訓(xùn)練做到熟練準(zhǔn)確，簡潔迅速，是復(fù)習(xí)時(shí)要注意掌握答題技巧，把解題思路作為得分點(diǎn)，比如選擇填空，采用特殊指法或者排除法，減少做題時(shí)間，做解答題時(shí)靈活運(yùn)用，比如手拉手模型，一線三等角模型等構(gòu)造輔助線，從而提高解題效率。6.應(yīng)試策略，錯(cuò)題歸類：時(shí)間分配建議：選擇題（20分鐘）、填空（20分鐘）、解答題（基礎(chǔ)題20分鐘，壓軸題60分鐘）。建立“易錯(cuò)題庫”，如分式方程增根（第5題）、反比例函數(shù)增減性（第9題）。2025年湖男省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分120分，考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題）1．下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)比較大小，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵.根據(jù)零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于零，比較各數(shù)的大小，先排除負(fù)數(shù)與零，再比較正數(shù)的大小.【詳解】解：1.確定數(shù)的正負(fù)性：D選項(xiàng)為，是負(fù)數(shù)；C選項(xiàng)為，非正非負(fù)；A選項(xiàng)和B選項(xiàng)均為正數(shù)，負(fù)數(shù)一定小于非負(fù)數(shù)，則D和C均小于A和B，2.比較正數(shù)的大?。?，顯然，故A選項(xiàng)大于B選項(xiàng)，故選：A.2．武術(shù)是我國傳統(tǒng)的體育項(xiàng)目．下列武術(shù)動(dòng)作圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】軸對稱圖形的識(shí)別【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．某校開展了五類社團(tuán)活動(dòng)：舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲劇，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一類社團(tuán)活動(dòng)進(jìn)行展示，則抽中戲劇類社團(tuán)活動(dòng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率【分析】本題主要考查概率公式的計(jì)算，掌握其概率的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)概率的基本公式，計(jì)算抽中戲劇類社團(tuán)的概率．【詳解】解：共有5類社團(tuán)活動(dòng)（舞蹈、籃球、口風(fēng)琴、攝影、戲劇），每類被抽中的可能性相等，抽中戲劇類社團(tuán)屬于其中1種可能結(jié)果，∴概率為成功事件數(shù)除以總事件數(shù)，即：，故選：D．4．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪相乘【分析】本題考查同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算規(guī)則，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加，∴，故選：B．5．將分式方程去分母后得到的整式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程．【詳解】解：．方程兩邊同時(shí)乘以，得：．故選：A．6．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度到處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題主要考查點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律是關(guān)鍵．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律，向右平移時(shí)橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)不變，即可解題．【詳解】解：點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)需加3，即，縱坐標(biāo)2保持不變，∴平移后的點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．7．下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（

）A．了解某班同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績 B．了解夏季冷飲市場上冰激凌的質(zhì)量情況C．了解全國中學(xué)生的身高狀況 D．了解某批次汽車的抗撞擊能力【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題考查全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的適用情況．全面調(diào)查適用于范圍小、精確度要求高或破壞性小的調(diào)查；抽樣調(diào)查適用于范圍大、具有破壞性或無法全面調(diào)查的情況．【詳解】解：選項(xiàng)A：某班同學(xué)人數(shù)有限，進(jìn)行全面調(diào)查容易實(shí)施且能準(zhǔn)確獲取每位同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，適合全面調(diào)查，符合題意；選項(xiàng)B：夏季冷飲市場冰激凌數(shù)量龐大，全面調(diào)查成本過高，且檢測可能破壞產(chǎn)品，適合抽樣調(diào)查，不符合題意；選項(xiàng)C：全國中學(xué)生人數(shù)極多，全面調(diào)查耗費(fèi)資源巨大，通常采用抽樣調(diào)查，不符合題意；選項(xiàng)D：檢測汽車抗撞擊能力會(huì)破壞被測車輛，無法對所有汽車進(jìn)行測試，必須采用抽樣調(diào)查，不符合題意；故選：A．8．如圖，在四邊形中，對角線與互相垂直平分，，則四邊形的周長為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得四邊形的四條邊長相等，代入已知邊長，計(jì)算周長即可．【詳解】解：∵在四邊形中，對角線與互相垂直平分，∴，，，∴，∵，∴四邊形的周長為，解法二：∵在四邊形中，對角線與互相垂直平分，∴四邊形為菱形，∴菱形的周長為，故選：．9．對于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在在該函數(shù)的圖象上B．該函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)的增減性、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在它的圖象上，故選項(xiàng)不符合題意；、由可知，它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)不符合題意；、當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)不符合題意；、當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故符合題意；故選：D．10．如圖，北京市某處位于北緯（即），東經(jīng)，三沙市海域某處位于北緯（即），東經(jīng)；設(shè)地球的半徑約為千米，則在東經(jīng)所在經(jīng)線圈上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的劣弧長約為（

）A．（千米） B．（千米）C．（千米） D．（千米）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求弧長【分析】本題主要考查了求弧長，根據(jù)題意求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解；由題意得，，∴劣弧的長為千米，故選：C．二、填空題（共8小題）11．如圖，一條排水管連續(xù)兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，若第一次轉(zhuǎn)彎時(shí)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，運(yùn)用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，故答案為：．12．化簡．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡【分析】本題主要考查了化簡二次根式，利用二次根式性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．13．因式分解：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式【分析】本題主要考查了分解因式，直接提取公因式a進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．14．約分：；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】約分【分析】此題考查約分的定義，熟記定義、正確確定分子與分母的公因式是解題的關(guān)鍵．直接約去分子與分母的公因式即可．【詳解】解：，故答案為：．15．甲、乙兩人在一次100米賽跑比賽中，路程（米）與時(shí)間（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，填（“甲”或“乙”）先到終點(diǎn)：【答案】甲【知識(shí)點(diǎn)】從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．從函數(shù)圖象可知甲乙跑完全程的時(shí)間，即可確定答案．【詳解】解：根據(jù)圖象可得甲到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)秒，乙到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)秒，∴甲先到達(dá)終點(diǎn)，故答案為：甲．16．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，直線交于點(diǎn)，連接，則的長是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、作已知線段的垂直平分線、與三角形中位線有關(guān)的求解問題【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，三角形中位線定理，由作圖方法可得垂直平分，則點(diǎn)D為的中點(diǎn)，據(jù)此可證明是的中位線，則可得到．【詳解】解：由作圖方法可得垂直平分，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故答案為：．17．如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形為正八邊形，連接，，與交于點(diǎn)，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角、正多邊形的內(nèi)角問題【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式求出，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵八邊形是正八邊形，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．18．已知，，，是的三條邊長，記，其中為整數(shù)．（1）若三角形為等邊三角形，則；（2）下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確的結(jié)論）①若，，則為直角三角形②若，，，則③若，，，，為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為7【答案】2①②/②①【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)、利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此求解即可；（2）當(dāng)，時(shí)，可證明，由勾股定理的逆定理可判斷①；當(dāng)，，時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，則可求出，據(jù)此求出t的取值范圍即可判斷②；當(dāng)時(shí)，則，則可得到；根據(jù)題意不妨設(shè)，則剩下兩個(gè)數(shù)分別為（n為正整數(shù)），則可得，解不等式組求出整數(shù)n即可判斷③．【詳解】解：（1）∵，，是的三條邊長，且是等邊三角形，∴，∴，故答案為；2；（2）①當(dāng)，時(shí)，∵，∴，∴，∴，∴為直角三角形，故①正確；②當(dāng)，，時(shí)，∵，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴；∵，∴t隨b的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；③當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴；∵a、b、c是三個(gè)相鄰的正整數(shù)，，∴不妨設(shè)，則剩下兩個(gè)數(shù)分別為（n為正整數(shù)），∵，∴，解得，∴符合題意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6個(gè)，∴符合題意的a、b、c的取值一共有6組，∴滿足條件的的個(gè)數(shù)為6，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②．三、解答題（共8小題）19．計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)冪和絕對值，最后計(jì)算加減法即可得到答案．【詳解】解：．20．先化簡，再求值：，其中．【答案】，2【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、整式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別利用平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并，然后代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．21．如圖，的頂點(diǎn)，在上，圓心在邊上，，與相切與點(diǎn)，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由切線的性質(zhì)得到，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）由等邊對等角得到，再由三角形內(nèi)角和定理可得，則可證明，進(jìn)而可證明．【詳解】（1）解：∵與相切與點(diǎn)，∴，∴，∵，∴;（2）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．22．同學(xué)們準(zhǔn)備在勞動(dòng)課上制作艾草香包，需購買，兩種香料．已知種材料的單價(jià)比種材料的單價(jià)多3元，且購買4件種材料與購買6件種材料的費(fèi)用相等．(1)求種材料和種材料的單價(jià)；(2)若需購買種材料和種材料共50件，且總費(fèi)用不超過360元，則最多能購買種材料多少件？【答案】(1)A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；(2)最多能購買種材料20件．【知識(shí)點(diǎn)】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、用一元一次不等式解決實(shí)際問題【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．（1）設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)最多可以購買種材料m件，則購買種材料件，根據(jù)題意列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，依題意，解得，答：A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；（2）解：設(shè)最多可以購買種材料m件，則購買種材料件，依題意得：．解得．∴m的最大值為20．答：最多能購買種材料20件．23．為了解某校七、八年級學(xué)生在某段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)（單位：次）的情況，從這兩個(gè)年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．已知這兩個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)均為200人．對抽取的七年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：平均數(shù)方差同時(shí)對抽取的八年級學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行如下統(tǒng)計(jì)分析．【收集數(shù)據(jù)】從八年級抽取的學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)如下：9

8

6

10

8

8

7

3

6

77

5

8

4

8

5

7

6

8

6【整理數(shù)據(jù)】結(jié)果如表：次數(shù)分組畫記頻數(shù)T2正一6正正10【分析數(shù)據(jù)】數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是．【解決問題】答下列問題：(1)請補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖；(2)請估計(jì)該校八年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)；(3)請從平均數(shù)、方差兩個(gè)量中任選一個(gè)，比較該校七、八年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)的情況．【答案】(1)見解析(2)120人(3)見解析【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的頻數(shù)估計(jì)總體的頻數(shù)、頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、運(yùn)用方差做決策【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，方差與平均數(shù)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)每個(gè)年級參與調(diào)查的人數(shù)都為20人，可求出這一組的頻數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表即可；（2）用200乘以樣本中該校八年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)占比即可得到答案；（3）根據(jù)題意可得八年級的平均數(shù)大于七年級的平均數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：由題意得，這一組的頻數(shù)為，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表如下：次數(shù)分組畫記頻數(shù)T2正一6正正10T2（2）解：人，答：估計(jì)該校八年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)超過6次的人數(shù)為120人；（3）解；由題意得，七年級的平均數(shù)為，八年級的平均數(shù)為，∵，∴七年級學(xué)生在此段時(shí)間內(nèi)參加公益活動(dòng)次數(shù)比八年級學(xué)生的少．24．如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱和分別垂直地面水平線于點(diǎn)，，分米，．在點(diǎn)，之間的晾衣繩上有固定掛鉤，分米，一件連衣裙掛在點(diǎn)處（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且直線．(1)如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)剛好接觸到地面水平線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離等于12分米，求該連衣裙的長度；(2)如圖2，未避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤處再掛一條長褲（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），若，求此時(shí)該連衣裙下端點(diǎn)到地面水平線的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)14分米(2)2分米【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）可證明四邊形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長即可得到答案；（2）過點(diǎn)E作于H，延長交于T，則四邊形是矩形，可得；解求出的長，進(jìn)而求出的長，據(jù)此求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，分米，∴分米，∴分米，∴分米，答：該連衣裙的長度為14分米；（2）如圖所示，過點(diǎn)E作于H，延長交于T，∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，，，∴分米，分米，∴分米，∴分米，分米，∴分米；答：此時(shí)該連衣裙下端點(diǎn)到地面水平線的距離約為2分米．25．【問題背景】如圖1，在平行四邊形紙片中，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，沿直線將紙片剪開，得到和四邊形，如圖2所示．【動(dòng)手操作】現(xiàn)將三角形紙片和四邊形紙片進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）①將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長交線段于點(diǎn)，如圖3所示；②連接，過點(diǎn)作直線交射線于點(diǎn)，如圖4所示；③在邊上取一點(diǎn)，分別連接，，，如圖5所示．【問題解決】請解決下列問題：(1)如圖3，填空：______；(2)如圖4，求證：；(3)如圖5．若，，求證：．【答案】(1)(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)證明【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意得到，，，由此即可求解；（2）根據(jù)題意得到，，是等腰直角三角形，則，，，再證明，則，且，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，，，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，，，，，，可證，得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵直線，∴，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長交線段于點(diǎn)，∴，∴，故答案為：；（2）證明：根據(jù)題意，，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段