數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，其學(xué)科本質(zhì)在于通過(guò)抽象、推理與建模形成對(duì)客觀世界的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師積極嘗試并運(yùn)用直觀教學(xué)、探究式教學(xué)等多種手段來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問(wèn)題解決能力，但依然存在諸多問(wèn)題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，明確提出“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論\"。數(shù)學(xué)主題探究遵循發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、解決問(wèn)題的思維邏輯，以清晰的學(xué)習(xí)主題為牽引，通過(guò)真實(shí)情境中的復(fù)雜問(wèn)題鏈，促使學(xué)生在認(rèn)知沖突中實(shí)現(xiàn)從記憶事實(shí)性知識(shí)轉(zhuǎn)向理解概念性本質(zhì)、從機(jī)械解題轉(zhuǎn)向批判性建模、從學(xué)科割裂轉(zhuǎn)向跨領(lǐng)域遷移（如圖1）。高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生在主題探究中進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，形成關(guān)鍵能力。一、明晰主題：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認(rèn)知錨點(diǎn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的深度參與、深入思考和深入理解，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘知識(shí)背后的邏輯和科學(xué)原理。數(shù)學(xué)主題探究需以明晰的探究主題為前提，通過(guò)錨定學(xué)科大概念構(gòu)建認(rèn)知框架，使零散的知識(shí)點(diǎn)形成意義關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。主題明晰體現(xiàn)在3個(gè)方面，即探究素材的明晰，探究方向的明晰，探究方法的明晰。主題明晰的探究活動(dòng)，不僅能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，更能促使學(xué)生在認(rèn)知層面進(jìn)行深度思考。圖1數(shù)學(xué)主題探究模式圖在教師的精心組織和引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)主題探究活動(dòng)通過(guò)設(shè)計(jì)切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的學(xué)習(xí)主題，以研定導(dǎo)、以導(dǎo)促研，促進(jìn)學(xué)生的研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力的提升[2。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)以預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)四大主線建構(gòu)課程內(nèi)容體系，為主題設(shè)計(jì)提供了結(jié)構(gòu)化指引。主題明晰的探究活動(dòng)體現(xiàn)出目標(biāo)導(dǎo)向性（指向核心素養(yǎng)）、方法系統(tǒng)性（貫穿數(shù)學(xué)思維）、資源整合性（聯(lián)結(jié)多重領(lǐng)域）等特征，這恰與深度學(xué)習(xí)“知識(shí)整合、高階思維、情境遷移”的內(nèi)在訴求深度契合。主題探究的素材可來(lái)自課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材、科普讀物和網(wǎng)絡(luò)資源、日常生活和社區(qū)服務(wù)、現(xiàn)實(shí)熱點(diǎn)和國(guó)家大事，但最終必須回到數(shù)學(xué)學(xué)科。例如，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)案例23“距離問(wèn)題”（又稱曼哈頓距離），包括在數(shù)軸上用絕對(duì)值定義兩點(diǎn)間的距離和按照街道的垂直與平行方向建立平面直角坐標(biāo)系定義兩點(diǎn)間的距離這兩個(gè)情境，包含幾何與代數(shù)主線的核心概念，是良好的探究素材。課標(biāo)明確其教學(xué)考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)達(dá)成的綜合情況，需體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的理念，通過(guò)坐標(biāo)變換探究曼哈頓距離與其他距離模型的轉(zhuǎn)化關(guān)系?！熬嚯x問(wèn)題”的探究設(shè)計(jì)，包含5重主題，完整呈現(xiàn)主題明晰對(duì)深度學(xué)習(xí)的支撐作用。主題1概念錨定：將歐氏距離、曼哈頓距離等多元模型納入統(tǒng)一認(rèn)知框架。主題2方法貫通：通過(guò)坐標(biāo)系變換，揭示不同距離模型間的數(shù)學(xué)本質(zhì)關(guān)聯(lián)。主題3資源統(tǒng)整：既依托教材中“城市街區(qū)路徑規(guī)劃”等經(jīng)典案例，又引入無(wú)人機(jī)避障算法、物流配送優(yōu)化等真實(shí)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的閉環(huán)聯(lián)結(jié)。主題4橫向拓展：從一維直線距離公式出發(fā)，類比推導(dǎo)二維曼哈頓距離。主題5批判遷移：促使學(xué)生理解“模型的條件依賴性”，形成選擇數(shù)學(xué)工具的決策思維。這種以主題為錨點(diǎn)的深度學(xué)習(xí)，不僅讓學(xué)生掌握距離計(jì)算技能，更能構(gòu)建起可遷移的數(shù)學(xué)建模能力。二、思維遞進(jìn)：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的躍遷路徑數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于通過(guò)思維層級(jí)的系統(tǒng)性躍遷，實(shí)現(xiàn)從“知識(shí)復(fù)制”到“意義生成”的認(rèn)知突破。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展根植于數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)的知識(shí)體系。主題探究突出思維的融會(huì)貫通，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S。在主題探究活動(dòng)中，圍繞學(xué)習(xí)模塊，學(xué)生展開(kāi)片段式和局部性的探究活動(dòng)，通過(guò)不斷地追問(wèn)本質(zhì)、厘清關(guān)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)等一系列思維過(guò)程，促思維、長(zhǎng)智慧、提學(xué)力，促進(jìn)研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力提升，從而形成系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)觀念。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的有效遷移，即學(xué)習(xí)者能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到新的問(wèn)題和情境中。數(shù)學(xué)主題探究中，學(xué)生使用“觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜想、抽象與概括、分析與綜合、歸納與類比”等多種思維方法才能解決問(wèn)題[3]。學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，沿著問(wèn)題展開(kāi)深度研究，又帶著新的問(wèn)題離開(kāi)課堂，養(yǎng)成以數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思維習(xí)慣，提升運(yùn)用策略性知識(shí)的自覺(jué)性，從而不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。仍以“距離問(wèn)題”為例，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)曼哈頓距離的教學(xué)要求聚焦于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的情境化建模與數(shù)學(xué)思想方法的深度滲透。教師應(yīng)通過(guò)真實(shí)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、多種工具融合的探究活動(dòng)，幫助學(xué)生理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)與現(xiàn)實(shí)價(jià)值，同時(shí)強(qiáng)化批判性思維與創(chuàng)新應(yīng)用能力。為此，課堂設(shè)計(jì)大致如下：一是對(duì)學(xué)過(guò)的距離進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧（用類比思想觀察直線、平面、空間距離的關(guān)系）；二是從已學(xué)的一維距離定義推廣到二維距離的新定義（用類比思想從數(shù)軸推廣到坐標(biāo)系）三是探究曼哈頓距離的性質(zhì)并進(jìn)行嚴(yán)格證明（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；四是類比平面距離的軌跡探索，進(jìn)行曼哈頓距離的軌跡探索（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；五是探索曲線外定點(diǎn)與曲線上動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；六是形成對(duì)課堂學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。思維遞進(jìn)的探究設(shè)計(jì)，完整呈現(xiàn)思維的三重進(jìn)階。一是問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)認(rèn)知沖突：從“一維數(shù)軸距離”的直觀回顧，到“二維曼哈頓距離”的類比推廣，再到“曲線外定點(diǎn)到直線距離最值問(wèn)題”的批判性探索，形成逐級(jí)遞升的認(rèn)知階梯。二是多工具融合突破思維定式：通過(guò)GeoGebra可視化呈現(xiàn)曼哈頓距離的菱形等距線分布，促使學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中深化對(duì)距離本質(zhì)的認(rèn)知。三是結(jié)構(gòu)化反思促成遷移：引導(dǎo)學(xué)生繪制“距離模型認(rèn)知圖譜”，橫向?qū)Ρ葰W氏距離、曼哈頓距離的數(shù)學(xué)特性，縱向剖析其在數(shù)據(jù)科學(xué)、工程優(yōu)化等領(lǐng)域的應(yīng)用邊界，通過(guò)思維進(jìn)階設(shè)計(jì)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從理念目標(biāo)轉(zhuǎn)化為可觀測(cè)的實(shí)踐能力。三、本質(zhì)理解：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認(rèn)知升維數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的終極價(jià)值在于促使學(xué)習(xí)者超越工具性認(rèn)知，抵達(dá)對(duì)學(xué)科本質(zhì)的概念性理解。這種理解并非對(duì)定理公式的簡(jiǎn)單復(fù)現(xiàn)，而是通過(guò)概念澄明與認(rèn)知的圖式重構(gòu)，將數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在邏輯轉(zhuǎn)化為個(gè)體思維系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化存在。主題探究既要從數(shù)學(xué)學(xué)科出發(fā)，又要回到數(shù)學(xué)學(xué)科本身。發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程是數(shù)學(xué)學(xué)科特征的高度凝練，無(wú)論在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模中，還是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)踐的教學(xué)中，教師都要讓學(xué)生經(jīng)歷形象化、直觀化、類比化、具象化等基本活動(dòng)，最終完善思維結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。主題探究通過(guò)“數(shù)學(xué)化過(guò)程”驅(qū)動(dòng)本質(zhì)理解：一方面，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)對(duì)象（如將城市導(dǎo)航轉(zhuǎn)化為曼哈頓距離模型）；另一方面，通過(guò)模型反演驗(yàn)證數(shù)學(xué)理論的解釋，在雙向建構(gòu)中形成“現(xiàn)實(shí)一數(shù)學(xué)一現(xiàn)實(shí)”的認(rèn)知閉環(huán)。主題探究活動(dòng)中，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)至關(guān)重要。教師要引導(dǎo)學(xué)生歸納統(tǒng)整所學(xué)知識(shí)，并將其條理化、綱領(lǐng)化，通過(guò)結(jié)構(gòu)化思維，將所學(xué)知識(shí)按照某種邏輯順序組織到一起，使之形成一個(gè)聯(lián)系緊密的知識(shí)群體，構(gòu)成結(jié)點(diǎn)豐富的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)[4]。課堂實(shí)踐中，教師可通過(guò)反思性元認(rèn)知框架固化本質(zhì)理解成果。教師要把握學(xué)科脈絡(luò)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，審視思維關(guān)鍵和課堂教學(xué)行為得失，回顧、梳理和反思，最終形成一般化的研究方法和認(rèn)識(shí)方法（如圖2），使學(xué)生能夠穿透具體案例的表象，洞見(jiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的普遍性規(guī)律，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)抽象的條件性與創(chuàng)造性。這種從經(jīng)驗(yàn)