專題1.1菱形的性質(zhì)（舉一反三講義） 【北師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)】 1【題型2利用菱形的性質(zhì)求線段長】 3【題型3利用菱形的性質(zhì)求角度】 4【題型4利用菱形的性質(zhì)求面積】 5【題型5利用菱形的性質(zhì)求最值】 6【題型6菱形中的翻折問題】 7【題型7菱形中的證明】 8【題型8含60°角的菱形】 9知識點(diǎn)1菱形的定義1.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形．?dāng)?shù)學(xué)語言描述：如圖，在?ABCD中，若AB=AD，則?ABCD是菱形．知識點(diǎn)2菱形的性質(zhì)圖示性質(zhì)數(shù)學(xué)語言描述邊對邊平行AB∥CD，AD∥BC四條邊都相等AB角對角相等∠ABC=∠對角線對角線互相垂直平分AC⊥BD，OA每條對角線平分一組對角∠BAC∠對稱性軸對稱圖形，對稱軸是對角線所在的直線中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)知識點(diǎn)3菱形面積的計算計算方法符號表示主要依據(jù)菱形的面積=底×高S=菱形是特殊的平行四邊形菱形的面積=兩條對角線乘積的一半S=S菱形ABCD【題型1利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)】【例1】（2425八年級下·河南安陽·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊長為13，點(diǎn)B的坐標(biāo)是8,12，點(diǎn)D的坐標(biāo)是8,2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A．3,6 B．?4,5 C．?4,6 D．?4,7【變式11】（2425八年級下·河南安陽·期中）邊長為5的菱形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A．(3,5) B．(3,?5) C．(4,?3) D．(4,3)【變式12】（2025·遼寧盤錦·三模）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、D在直線y=?3x?6上，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)，則點(diǎn)B的坐為（A．4，?32 B．4，?2【變式13】（2425九年級下·江蘇常州·期中）如圖，菱形OABC頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸正半軸上，OA=6，∠AOC=60°．現(xiàn)將菱形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使點(diǎn)C移動到點(diǎn)A原來位置，得到菱形DAOE，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【題型2利用菱形的性質(zhì)求線段長】【例2】（2025·天津紅橋·三模）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，E為邊BC的中點(diǎn)，連接DE與AC相交于點(diǎn)F．（1）線段DE的長為；（2）若G為AB的中點(diǎn)，則線段FG的長為．【變式21】（2425九年級下·上?！るA段練習(xí)）如圖，四邊形ADCE是菱形，過點(diǎn)C作CB⊥AC，交AD的延長線于點(diǎn)B，若AE=5，BC=4，則AC的長為【變式22】（2025·山東菏澤·二模）如圖，菱形ABCD中，AB=10，AC=16，AC交BD于點(diǎn)O，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，則OE的長為．【變式23】（2025·湖南邵陽·一模）如圖，活動衣帽架由三個菱形組成，起初按照圖①的方式∠α=90°掛在墻上，A、B為釘子所在位置，且AB=72cm；為了增加衣帽架之間的空隙，調(diào)整為圖②的方式∠β=60°，菱形的邊長AE=cm，兩顆釘子A、B間的距離增加了cm【題型3利用菱形的性質(zhì)求角度】【例3】（2425八年級下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC=36°，則∠OBC的度數(shù)為．【變式31】（2425八年級下·河南信陽·期末）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．若∠B=55°，則∠AEF的度數(shù)為．【變式32】（2025·貴州·二模）如圖①，將一個菱形截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖②，用三個圖②剛好拼出一個如圖③所示的平面圖形，則圖③中∠ABC的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【變式33】（2025·海南·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N，連接MN．若直線MN恰好過點(diǎn)A且交CD于點(diǎn)E，連接BE．則∠BCD=（A．105° B．100° C．115° D．120°【題型4利用菱形的性質(zhì)求面積】【例4】（2425八年級下·山東菏澤·期中）如圖，菱形ABCD的周長為16，P是對角線BD上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，若PE+PF=3，則菱形ABCD的面積為．【變式41】（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，AD=5，BD=8．若DE=AD，則△ADE的面積為【變式42】（2025·吉林長春·二模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，按如下步驟作圖：以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB于點(diǎn)E、F，再分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于12EF的長為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)為G，作射線CG，CG交AB于點(diǎn)H，連接HO，若HO=2，BO=5，則菱形ABCD面積為【變式43】（2025·河南周口·三模）如圖，菱形ABCD中，BC=10，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC，交邊BC于點(diǎn)E，連接EO，若EO=10，則菱形的面積為【題型5利用菱形的性質(zhì)求最值】【例5】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動點(diǎn)，則EF+BF的最小值是（

）A．4 B．27 C．23 【變式51】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）菱形ABCD中，AD=2，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)且∠AEB=105°，∠BCD=60°，點(diǎn)P為BE所在直線上一點(diǎn)，連接AP、CP，當(dāng)CP?AP取得最大值時，BP的長為．【變式52】（2425八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，CA=AB=6，點(diǎn)N在直線BC上運(yùn)動，以AN為邊向AN的右側(cè)作菱形ANEF，且∠NAF=120°，M為AC中點(diǎn)，連接MF，則點(diǎn)N在運(yùn)動過程中，MF的最小值為．【變式53】（2025·江蘇蘇州·二模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠B=120°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是對角線AC上的動點(diǎn)，連接EF．將線段EF繞點(diǎn)F按逆時針旋轉(zhuǎn)30°，G為點(diǎn)E對應(yīng)點(diǎn)，連接CG，則CG的最小值為（

）A．2 B．3 C．2?1 D．【題型6菱形中的翻折問題】【例6】在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=4，M為AB的中點(diǎn)，N為BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時，線段BN的長為【變式61】（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=6，E是AB上一點(diǎn)．將△BCE沿CE折疊后得到△FCE，若EF⊥AB，則折痕EC的長為．【變式62】（2425八年級下·山東日照·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)M和N分別是AB和AD上一點(diǎn)，沿MN將△AMN折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E上.若AB=4，則AM的長為.【變式63】（2025·廣東深圳·三模）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°,AD=2,E是AB上一點(diǎn)，將菱形ABCD沿DE翻折使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′剛好落在DA的延長線上，則折痕DE的長為【題型7菱形中的證明】【例7】（2025·江蘇南通·二模）如圖，E為菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，CE．(1)求證：AE=CE；(2)若AE=DE，∠BCE=75°，求∠ABC的度數(shù)．【變式71】（2025·云南昭通·二模）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足為E，CF⊥AD，垂足為F．求證：DF=DE．【變式72】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F直線CD上，連接AE、AF、EF，∠EAF=60°．(1)如圖1，求證：BC=CE+CF；(2)①如圖2，點(diǎn)E在CB延長線上時，BC,?②如圖3，點(diǎn)E在BC延長線上時，BC,?【變式73】（2025·山西太原·二模）綜合與探究問題情境：綜合探究活動中，老師以菱形為基本圖形，添加若干條件后，請同學(xué)們就幾何元素之間的關(guān)系提出問題并解決問題.如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6，點(diǎn)E是射線BA上的一個動點(diǎn)，連接CE，以CE為邊作等邊三角形CEF（點(diǎn)F在AD的右側(cè)），連接DF．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）“敏學(xué)小組”提出問題：猜想圖1中BE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．請你解答；深入探究：（2）老師在圖1的基礎(chǔ)上過點(diǎn)F作AB的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)G．請你解決同學(xué)們提出的新問題：①“善思小組”提出問題：如圖2，若點(diǎn)E在線段AB上，判斷線段AD，AE與FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②“創(chuàng)新小組”提出問題：若點(diǎn)E在射線BA上運(yùn)動，連接CG，當(dāng)CG=2AE時，請直接寫出線段AE的長．【題型8含60°角的菱形】【例8】（2425八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°,?(1)∠BAD的度數(shù)．(2)若DH⊥BC，求線段AC和DH的長．【變式81】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知：如圖，菱形ABCD的邊長為12,∠BAC=120°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE，以點(diǎn)E為圓心任意長為半徑畫弧，交EC、EA于點(diǎn)G、H，分別以G、H為圓心大于線段GH一半長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線EP交CD于點(diǎn)F，則EF的長為．【變式82】（2025·江蘇·一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=8,∠B=60°，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是邊CD上一個動點(diǎn)，以EF為邊作等邊△EFG，連接CG．若CG的長度為d，則d的取值范圍是．【變式83】（2025·貴州·模擬預(yù)測）綜合與探究：如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是射線CB上一動點(diǎn)，作射線（1）