試題試題2024北京清華附中高三（下）統(tǒng)練二數(shù)學（高21級）2024.3第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.3.曲線與曲線關于x軸對稱，則（）A. B. C. D.4.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A. B. C. D.5.如圖，在?OACB中，E是AC的中點，F(xiàn)是BC上的一點，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，則m+n的值為（）A.1 B. C. D.6.己知表示復數(shù)z的共軛復數(shù)，為非零復數(shù)，“”是“存在非零實數(shù)t，使得”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如下圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為．最短拉索的錨，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率為（）A. B. C. D.8.已知三棱錐中，，E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，，則EF與AB所成的角大小為（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)，若實數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知半圓C：（），A、B分別為半圓C與x軸的左、右交點，直線m過點B且與x軸垂直，點P在直線m上，縱坐標為t，若在半圓C上存在點Q使，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，含項的系數(shù)為__________．12.請寫出一個焦點在y軸上，且與直線沒有交點的雙曲線的標準方程：__________．13.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，當實數(shù)a，b變化時，M最小值為__________．14.已知函數(shù)，其中，且恒成立，在上單調(diào)，則的取值范圍是__________.15.數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為R；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)遞增；③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關系”．有下面四個結(jié)論：（1）與具有“單調(diào)偶遇關系”（2）與不具有“單調(diào)偶遇關系”（3）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系的函數(shù)有有限個（4）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)個其中正確結(jié)論的序號為__________．三、解答題共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.如圖，在中，，，點在線段上．(Ⅰ)若，求的長；（Ⅱ）若，的面積為，求的值．17.某大學A學院共有學生千余人，該學院體育社團為了解學生參與跑步運動的情況，按性別分層抽樣，已知A學院男生與女生人數(shù)之比為，從該學院所有學生中抽取若干人作為樣本，對樣本中的每位學生在5月份的累計跑步里程進行統(tǒng)計，得到下表．跑步里程s（）男生9106女生6642用樣本頻率估計總體概率，（1）求a的值，并估計從A學院所有學生中抽取一人，該學生5月份累計跑步里程（）在中的概率；（2）從A學院所有男生中隨機抽取2人，從A學院所有女生中隨機抽取2人，估計這4人中恰有2人在5月份的累計跑步里程不低于的概率；（3）該大學B學院男生與女生人數(shù)之比為，B學院體育社團為了解學生參與跑步運動的情況，也按性別進行分層抽樣已知A學院和B學院的樣本數(shù)據(jù)整理如下表．5月份累計跑步里程平均值（單位：）學院性別AB男生5059女生4045設A學院樣本中學生5月份累計跑步里程平均值為，B學院樣本中學生5月份累計跑步里程平均值為，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，說明理由．18.四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，，E為棱的中點，過點B，C，E的平面交棱于點F．（1）求證：F為中點；（2）若，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使四棱錐唯一確定，求二面角的余弦值．條件①：條件②：條件③：與平面所成角的正切值為2如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19.已知點在橢圓E：上，且E的離心率為.（1）求E的方程；（2）設F為橢圓E的右焦點，點是E上的任意一點，直線PF與直線相交于點Q，求的值.20.設函數(shù)，曲線在原點處的切線為x軸，（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）證明：21.設k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個元素），如果對于A中的任意兩個元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．（1）試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由．（2）若．證明：A不可能具有性質(zhì)．（3）若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個數(shù)的最大值．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】由拋物線的方程即可確定焦點位置和焦點坐標．【詳解】由拋物線的方程可知，拋物線的焦點位于軸正半軸，由，可得：，即焦點坐標為．故選：B．2.【答案】C【分析】根據(jù)所給集合，把集合B中元素代入集合A中檢驗即可得解.【詳解】由，把代入檢驗，可得成立，故，故選：C3.【答案】D【分析】根據(jù)兩個函數(shù)圖象關于對稱，利用對稱性求解解析式即可.【詳解】設圖象上任意點，則點關于x軸對稱的對稱點在圖象上，所以，即，所以.故選：D4.【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，利用二次函數(shù)及均值不等式可得解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為為等比數(shù)列，所以，而，所以，故A對C錯；因為，而可同為正數(shù)也可同為負數(shù)，當時，，當時，所以，大小不確定，故BD錯誤.故選：A5.【答案】C【分析】根據(jù)題意將用基底向量表示出來，然后通過基底向量進行計算．【詳解】在平行四邊形中因為E是AC中點，所以所以,因為所以所以因為所以，解得所以故選C【點睛】本題考查向量的運算，解題的關鍵是找到一組基底，將所求向量用基底表示，然后再進行運算．6.【答案】C【分析】求出的等價條件，的等價條件，分別討論復數(shù)為純虛數(shù)，實數(shù)，都不為0的情況，結(jié)合充分條件、必要條件可得解.【詳解】設，則，若，則，若，則，即，由于為非零復數(shù)，所以，當時，滿足，此時存在非零實數(shù)t，使成立，反之亦成立；當時，滿足，此時存在非零實數(shù)t，使成立，反之亦成立；當時，滿足，則，即，所以，反之亦成立；綜上，“”是“存在非零實數(shù)t，使得”成立的充要條件.故選：C7.【答案】C【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算，，再利用斜率的定義可解.【詳解】根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，且均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為，則，即點，同理，又，即點，所以，，故選：C.8.【答案】B【分析】取的中點G，然后根據(jù)異面直線所成角的定義證明（或其補角）是與所成的角，進而求得答案.【詳解】取的中點G，連接，如圖，又E為的中點，所以，同理可得，所以（或其補角）是與所成的角.取的中點H，連接，則，所以，則，所以與所成的角為.故選：B.9.【答案】D【分析】先求出，進而可知，由，可知區(qū)間，且該區(qū)間長度為2，然后畫出函數(shù)的圖象，進而可得到在上的圖象，結(jié)合圖象可求得在區(qū)間上的最大值的取值范圍.【詳解】由題意，當時，；當時，；當時，.所以，則，因為，所以區(qū)間，且該區(qū)間長度為2.作出函數(shù)的圖象，如圖1，進而可得到在上的圖象，如圖2，根據(jù)圖象可知在區(qū)間上的最大值的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.10.【答案】A【分析】根據(jù)題意，設PQ與x軸交于點T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x軸上方、下方和x軸上三種情況討論，分析|BT|的最值，即可得t的范圍，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設PQ與x軸交于點T，則|PB|＝|t|，由于BP與x軸垂直，且∠BPQ，則在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，當P在x軸上方時，PT與半圓有公共點Q，PT與半圓相切時，|BT|有最大值3，此時t有最大值，當P在x軸下方時，當Q與A重合時，|BT|有最大值2，|t|有最大值，則t取得最小值，t＝0時，P與B重合，不符合題意，則t的取值范圍為[，0）]；故選A．【點睛】本題考查直線與圓方程的應用，涉及直線與圓的位置關系，屬于中檔題．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】利用組合方法分別求出展開式中含項，合并同類項即可得解.【詳解】由組合知識知，展開式中含的項為，的展開式中含的項為，合并同類項可得，即含項的系數(shù)為.故答案為：12.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與雙曲線無交點，即可得到滿足條件的雙曲線可以為,即可求解.【詳解】與直線沒有交點,則可以作為雙曲線的漸近線，故滿足，取，則滿足條件的一個雙曲線方程可以為.故答案為：13.【答案】2【分析】，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察即可得出答案.【詳解】，上述函數(shù)可理解為當橫坐標相同時，函數(shù)，,與函數(shù)，,圖象上點的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，如圖，由圖象可知，當函數(shù)的圖象剛好為時此時，取得最小值為2.故答案為：214.【答案】【分析】由可知，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，解之即可求解.【詳解】由題意知，，則，即，解得.由，，得，即，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，解得，則不等式組無解；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，，解得，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15.【答案】（1）（4）【分析】根據(jù)“單調(diào)偶遇關系”的新定義可判斷選項（1），（2）；以一次函數(shù)為例，可判斷（3）；令，通過計算可判斷（4），進而可得正確選項.【詳解】對于（1）：數(shù)列中，由可知任意兩項不相等，定義域為滿足①，數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足②，的前項和，由得，解得，所以使成立，滿足③，故（1）正確；對于（2）：數(shù)列中，由可知任意兩項不相等，定義域為滿足①，數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足②，的前項和，由得恒成立，所以使成立滿足③，故與具有“單調(diào)偶遇關系”，故（2）說法不正確；對于（3）：以一次函數(shù)為例，，，，即整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，即，對進行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)組，故（3）說法不正確；對于（4）：中，令．由得，取即可保證恒成立，故選項（4）正確，故答案為：（1）（4）．三、解答題共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】(1)；(2).【詳解】（I）在三角形中，∵，∴．在中，由正弦定理得，又，，．∴．（II）∵，∴，，又，∴，∵，∴，∵，，，∴，在中，由余弦定理得．∴，∴．17.【答案】（1），概率為（2）（3）存在滿足條件的，且的最大值為【分析】（1）先根據(jù)男女比即可求出，再根據(jù)古典概型即可求出所求概率；（2）先分別求出在A學院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率及在A學院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率，再根據(jù)乘法公式求解即可；（3）設學院女生人數(shù)為，則男生人數(shù)為，求出，，即可得到不等式，解得即可.【小問1詳解】依題意，解得，所以在中的概率為；【小問2詳解】學院所抽取的學生中男生有人，其中5月份的累計跑步里程不低于有人，女生有人，其中5月份的累計跑步里程不低于有人，所以在A學院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率為，在A學院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率為，所以4人中恰有2人累計跑步里程不低于的概率為；【小問3詳解】設B學院女生有人，則男生有人，，，依題意，即，顯然，解得，所以的最大值為.18.【答案】（1）證明見解析（2）選條件①：不合題意；選條件②：；選條件③：；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理可得結(jié)果；（2）選條件①：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合已知，不合題意；選條件②：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合已知，建立空間直角坐標系，由向量法求二面角可得結(jié)果；選條件③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得為與平面所成角，建立空間直角坐標系，由向量法求二面角可得結(jié)果.【小問1詳解】因為四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，又E為棱的中點，所以F為中點.【小問2詳解】選條件①：因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以，又，且平面，所以平面，所以，故四邊形為菱形，但，在中，，這與四邊形為菱形矛盾，不合題意；選條件②：因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以，又，在中，，所以，所以在中，，在中，，所以，如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，所以，設平面的一個法向量為，又，因為，所以，令，則，故，設平面的一個法向量為，又，因為，所以，令，則，故，則，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.選條件③：因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以為在平面內(nèi)的射影，故為與平面所成角，即，所以，在中，，所以，如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，所以，設平面的一個法向量為，又，因為，所以，令，則，故，設平面的一個法向量為，又，因為，所以，令，則，故，則，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得求出即可得橢圓方程；（2）由題意可得，當時，求出的值；當時，聯(lián)立直線PF與直線的方程求出點的坐標，根據(jù)求解即可.【小問1詳解】由題意得解得所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】因為點是E上的任意一點，所以.①當時，點或.當點時，直線PF與直線相交于點，此時.當點時，直線PF與直線相交于點，此時.②當時，直線的方程為，由，可得，所以.所以，所以.綜上所述，.【點睛】總結(jié)點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20.【答案】（1）1（2）0（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知在處的導數(shù)值為0，解方程即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明其單調(diào)性，再通過觀察法得是的零點，從而得解；（3）利用（2）中結(jié)論證明，由此得證.【小問1詳解】因為，所以，因為曲線在原點處的切線為軸，所以，即.【小問2詳解】由（1）知所以方程可化為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有唯一零點，所以方程有唯一解.【小問3詳解】要證，即證，即證下證，由（2）中單調(diào)遞增且，得，所以；故可得證【點睛】關鍵點點睛：本題的突破口是熟記兩個常用重要的放縮不等式：（1），（2）.21.【答案】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析（2）證明見解析（3）920【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可；（2）將分為個子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；（3）先證明連續(xù)個自然數(shù)中至多有個元素屬于，由此可得集合A中元