高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省部分重點中學協(xié)作體2025屆高三高考模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）A. B.C D.【答案】A【解析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或者，故A正確.故選：A.2.使復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，因此使得復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是.故選：C.3.第五批實施新高考的8個省份將于2025年迎來新高考，新高考模式下語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選科模式，若今年高一的甲、乙兩名同學，在四選二科目中，恰有一科相同，則他們四選二科目的選科方式共有（）A.12種 B.24種 C.48種 D.96種【答案】B【解析】先確定相同的科目，有4種情況，再從剩下的3個科目中，甲、乙各選一個不同的科目，有種情況，則他們四選二科目的選科方式共有種.故選：B.4.過原點且與曲線相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設切點，因為曲線，所以，所以，所以，所以或，當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.5.已知向量，向量滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由題意可得：，因為，則，當且僅當反向時，等號成立，所以的最小值為1.故選：A.6.已知雙曲線C的離心率為，、為C的兩個焦點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標原點，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，則，，可知漸近線方程為，即，且，則，，，可得，在中，由余弦定理可得，，即，所以．故選：D.7.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時之間的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，因為的最小正周期，所以，又，，所以折成直二面角時，因為軸，平面，所以平面，又平面，所以，所以，解得（負值已舍去），所以，又，因為，所以或，又因為函數(shù)在軸右側附近單調(diào)遞減，所以．故選：C.8.設函數(shù)與函數(shù)，當，曲線與交于一點，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題意得，即，所以，所以，令，則，，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以當時，，當時，，當時，，所以，所以，所以，因為在上遞增，所以，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列結論正確的是（）A.B.數(shù)據(jù)的標準差為3C.數(shù)據(jù)分位數(shù)為10D.記，隨機變量，，則【答案】ABD【解析】對于選項A：令，則，故A正確，對于選項BC：因為的展開式的通項為，即，可得，數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，方差為，所以標準差為3，故B正確；將數(shù)據(jù)按升序排列為，且，故分位數(shù)為第3個數(shù)5，故C錯誤，對于選項D：因為，故，故D正確，故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.有三個零點B.，使得點為曲線的對稱中心C.既有極大值又有極小值D.，，【答案】CD【解析】對于B，對于A，令，解得或，當時，函數(shù)只有2個零點，故A錯誤；對于B，，則，又，要使點為曲線的對稱中心，則對，，此時，但，所以不存在，使得點為曲線的對稱中心，故B錯誤；對于C，由，則，由于，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，設，則或時，；時，，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在取得極大值，在取得極小值，故C正確；對于D，當時，，此時，，故D正確.故選：CD.11.如圖，曲線是一條雙紐線，曲線上的點滿足：到點與的距離之積為，已知點是雙紐線上一點，則下列結論正確的是（）A.點在曲線上B.雙紐線的方程為C.D.點在橢圓上，若，則【答案】AD【解析】對于A選項，記點，則，，所以，所以點在曲線上，A對；對于B選項，在雙紐線上任取一點，由題意可得，即，即，即，即，整理可得，B錯；對于C選項，由可得，令，則，所以關于在上有解，設該方程在上的兩根分別為、，所以，解得，故，當時，可得，即，解得，即點在雙紐線上，故的取值范圍不是，C錯；對于D選項，橢圓的標準方程為，所以，，則，所以橢圓的兩個焦點恰好為、，由橢圓的定義可得，由可得，因為，解得，因此，，D對.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.【答案】2【解析】因為，所以,故答案為：2.13.記為正項數(shù)列的前項和，，為等比數(shù)列，則_______.【答案】3【解析】因為，則，可得，可知等比數(shù)列的公比為2，則，即，所以.故答案為：3.14.有一個密碼鎖，它的密碼是由三個數(shù)字組成.只有當我們正確輸入每個位置的數(shù)字時，這個密碼鎖才能夠打開.現(xiàn)在我們并不知道密碼是多少，當輸入249時，提示1個數(shù)字正確，并且位置正確；當輸入235時，提示1個數(shù)字正確，但位置錯誤；當輸入962時，提示2個數(shù)字正確，但位置全錯.則正確的密碼為________.【答案】659【解析】題中給出三個信息：①當輸入249時，提示1個數(shù)字正確，并且位置正確；②當輸入235時，提示1個數(shù)字正確，但位置錯誤；③當輸入962時，提示2個數(shù)字正確，但位置全錯，由①②知，密碼中不含數(shù)字2；由③知，密碼中含數(shù)字9和6，9不在百位，6不在十位；由①知，密碼中也不含數(shù)字4，且9在個位數(shù)，6在百位；由②知，不可能有數(shù)字3，所以有數(shù)字5，且5在十位.所以密碼為659.故答案為：659.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A；（2）若，求的面積.解：（1）因為，則即為，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理可得，則，可得，即，由（1）可得，則，即，可得，所以的面積.16.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可知：的定義域為，若，則，，構建，則，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，當時，，即；當時，，即；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）構建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，若恒成立，則在定義域內(nèi)恒成立，可得在定義域內(nèi)恒成立，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖①所示，四邊形是直角梯形，，，且，為線段的中點.現(xiàn)沿著將折起，使點到達點，如圖②所示；連接、，其中為線段的中點.（1）求證：；（2）若二面角的大小為，則在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正切值為？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.（1）證明：在圖①中，由題意可知，四邊形為正方形，且，②中，，，且，、平面，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，為的中點，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知，平面，因為平面，所以平面平面，因為、平面，所以，，所以，二面角的平面角為，即，因為，所以為等邊三角形，所以，取中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，設為的中點，則可以以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，則，，，，設，則，設平面的一個法向量為，則，取，可得，記直線與平面所成角為，則，由可得，則，即，，因為，解得，故，所以.18.某高中全體學生參加一次知識競賽.競賽共有5道單選題.每題四個選項中有且只有一個是正確的，每道題答對得2分，答錯和不答都得0分，假設每個學生答對每道題的概率均為.（1）學生甲在前3道題答對2道題的條件下，求他最終得6分的概率；（2）現(xiàn)隨機抽取10名學生，記第個人的得分為隨機變量，得到的一組觀測值如下：學生12345678910得分6861061086108（i）從這10名學生中隨機抽取4名學生，設抽到得10分的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（ii）設隨機變量取到觀測值的概率為，即；在一次抽樣中獲得這一組特殊觀測值的概率應該最大，隨著的變化，用使得達到最大時的取值作為參數(shù)的一個估計值.求.解：（1）設“最終得6分”為事件，則.（2）（i）的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學期望.（ii）由題意，，，，因為取值相互獨立，所以，求使達到最大時的值，令，，令可得，當時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，故時，最大，.19.法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓半長軸長與半短軸長的平方和的算術平方根，這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作橢圓的兩條切線，兩切線斜率之積為，求的軌跡方程；（3）在數(shù)學中，可利用“循環(huán)構造法”求方程的正整數(shù)解.例如：求二元二次方程的正整數(shù)解，通過，先找到該方程的初始正整數(shù)解，記此解對應的點為，進一步可得點.設由“循環(huán)構造法”得到方程的正整數(shù)解對應的點列為：，其中，，記，試判斷，是否為定值?若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.解：（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為.（2）（i）當切線斜率不存在或為零時，不滿足題意；（ii）當切線斜率存在且不為零時，設點，設過點的切線方程為，即，聯(lián)立得，由，得，可得出關于的二次方程①，方程①有兩個不等根，則，且，可得，設過點的兩條切線的斜率分別為、，可得，整理可得，又因為且，以及，可得且，即且，所以，點的軌跡方程為（且）.（3）因為，所以，，因為二項式與的展開式中不含的項相等，含的項互為相反數(shù)，所以，則，所以，直線的方程為，則即為點到直線的距離，所以，，故為定值.遼寧省部分重點中學協(xié)作體2025屆高三高考模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）A. B.C D.【答案】A【解析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或者，故A正確.故選：A.2.使復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，因此使得復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是.故選：C.3.第五批實施新高考的8個省份將于2025年迎來新高考，新高考模式下語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選科模式，若今年高一的甲、乙兩名同學，在四選二科目中，恰有一科相同，則他們四選二科目的選科方式共有（）A.12種 B.24種 C.48種 D.96種【答案】B【解析】先確定相同的科目，有4種情況，再從剩下的3個科目中，甲、乙各選一個不同的科目，有種情況，則他們四選二科目的選科方式共有種.故選：B.4.過原點且與曲線相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設切點，因為曲線，所以，所以，所以，所以或，當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.5.已知向量，向量滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由題意可得：，因為，則，當且僅當反向時，等號成立，所以的最小值為1.故選：A.6.已知雙曲線C的離心率為，、為C的兩個焦點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標原點，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，則，，可知漸近線方程為，即，且，則，，，可得，在中，由余弦定理可得，，即，所以．故選：D.7.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時之間的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，因為的最小正周期，所以，又，，所以折成直二面角時，因為軸，平面，所以平面，又平面，所以，所以，解得（負值已舍去），所以，又，因為，所以或，又因為函數(shù)在軸右側附近單調(diào)遞減，所以．故選：C.8.設函數(shù)與函數(shù)，當，曲線與交于一點，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題意得，即，所以，所以，令，則，，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以當時，，當時，，當時，，所以，所以，所以，因為在上遞增，所以，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列結論正確的是（）A.B.數(shù)據(jù)的標準差為3C.數(shù)據(jù)分位數(shù)為10D.記，隨機變量，，則【答案】ABD【解析】對于選項A：令，則，故A正確，對于選項BC：因為的展開式的通項為，即，可得，數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，方差為，所以標準差為3，故B正確；將數(shù)據(jù)按升序排列為，且，故分位數(shù)為第3個數(shù)5，故C錯誤，對于選項D：因為，故，故D正確，故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.有三個零點B.，使得點為曲線的對稱中心C.既有極大值又有極小值D.，，【答案】CD【解析】對于B，對于A，令，解得或，當時，函數(shù)只有2個零點，故A錯誤；對于B，，則，又，要使點為曲線的對稱中心，則對，，此時，但，所以不存在，使得點為曲線的對稱中心，故B錯誤；對于C，由，則，由于，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，設，則或時，；時，，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在取得極大值，在取得極小值，故C正確；對于D，當時，，此時，，故D正確.故選：CD.11.如圖，曲線是一條雙紐線，曲線上的點滿足：到點與的距離之積為，已知點是雙紐線上一點，則下列結論正確的是（）A.點在曲線上B.雙紐線的方程為C.D.點在橢圓上，若，則【答案】AD【解析】對于A選項，記點，則，，所以，所以點在曲線上，A對；對于B選項，在雙紐線上任取一點，由題意可得，即，即，即，即，整理可得，B錯；對于C選項，由可得，令，則，所以關于在上有解，設該方程在上的兩根分別為、，所以，解得，故，當時，可得，即，解得，即點在雙紐線上，故的取值范圍不是，C錯；對于D選項，橢圓的標準方程為，所以，，則，所以橢圓的兩個焦點恰好為、，由橢圓的定義可得，由可得，因為，解得，因此，，D對.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.【答案】2【解析】因為，所以,故答案為：2.13.記為正項數(shù)列的前項和，，為等比數(shù)列，則_______.【答案】3【解析】因為，則，可得，可知等比數(shù)列的公比為2，則，即，所以.故答案為：3.14.有一個密碼鎖，它的密碼是由三個數(shù)字組成.只有當我們正確輸入每個位置的數(shù)字時，這個密碼鎖才能夠打開.現(xiàn)在我們并不知道密碼是多少，當輸入249時，提示1個數(shù)字正確，并且位置正確；當輸入235時，提示1個數(shù)字正確，但位置錯誤；當輸入962時，提示2個數(shù)字正確，但位置全錯.則正確的密碼為________.【答案】659【解析】題中給出三個信息：①當輸入249時，提示1個數(shù)字正確，并且位置正確；②當輸入235時，提示1個數(shù)字正確，但位置錯誤；③當輸入962時，提示2個數(shù)字正確，但位置全錯，由①②知，密碼中不含數(shù)字2；由③知，密碼中含數(shù)字9和6，9不在百位，6不在十位；由①知，密碼中也不含數(shù)字4，且9在個位數(shù)，6在百位；由②知，不可能有數(shù)字3，所以有數(shù)字5，且5在十位.所以密碼為659.故答案為：659.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A；（2）若，求的面積.解：（1）因為，則即為，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理可得，則，可得，即，由（1）可得，則，即，可得，所以的面積.16.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可知：的定義域為，若，則，，構建，則，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，當時，，即；當時，，即；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）構建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，若恒成立，則在定義域內(nèi)恒成立，可得在定義域內(nèi)恒成立，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖①所示，四邊形是直角梯形，，，且，為線段的中點.現(xiàn)沿著將折起，使點到達點，如圖②所示；連接、，其中為線段的中點.（1）求證：；（2）若二面角的大小為，則在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正切值為？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.（1）證明：在圖①中，由題意可知，四邊形為正方形，且，②中，，，且，、平面，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，為的中點，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知，平面，因為平面，所以平面平面，因為、平面，所以，，所以，二面角的平面角為，即，因為，所以為等邊三角形，所以，取中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，設為的中點，則可以以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，則，，，，設，則，設平面的一個法向量為，則，取，可得，記直線與平面所成角為，則，由可得，則，即，，因為，解得，故，所以.18.某高中全體學生參加一次知識競賽.競賽共有5道單選題.每題四個選項中有且只有一個是正確的，每道題答對得2分，答錯和不答都得0分，假設每個學生答對每道題的概率均為.（1）學生甲在前3道題答對2道題的條件下，求他最終得6分的概率；（2）現(xiàn)隨機抽取10