高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，.若，，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.10 B.5 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，若，，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以.故選：B.2.一輛汽車在公路上沿直線變速行駛,假設(shè)時(shí)汽車的速度（單位：）為，則汽車在第時(shí)的瞬時(shí)加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，所以汽車在第時(shí)的瞬時(shí)加速度為.故選：B3.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18 C.21 D.27【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.4.下列說(shuō)法正確的是為（）A.函數(shù)的極大值可以小于該函數(shù)的極小值B.函數(shù)的增區(qū)間為C.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在處取得極值D.若函數(shù)的極小值點(diǎn)為【答案】A【解析】A.函數(shù)的極大值可以小于該函數(shù)的極小值，故該選項(xiàng)是正確的；B.函數(shù)的增區(qū)間為，不能說(shuō)函數(shù)的增區(qū)間為，例如，，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C.若為的導(dǎo)函數(shù)，則是在某一區(qū)間存在極值的非充分條件，如函數(shù)，但是函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以并不是函數(shù)的極值點(diǎn).故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D.函數(shù)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以是極小值點(diǎn)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選：A.5.如圖，直線和圓，當(dāng)從開始在平面上按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，可得面積隨著的增大而增加，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且增長(zhǎng)趨勢(shì)先慢后快，過(guò)圓心后逐漸變慢，即函數(shù)圖象的變化率先變大在變小，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)D復(fù)合題意.故選：D.6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，則Sn最大時(shí)n的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】,,,最大.故選:C7.將一個(gè)邊長(zhǎng)為（單位：）的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，則方盒的容積最大為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)無(wú)蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則，則無(wú)蓋方盒的容積為：，得，令，解得或，令，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的單調(diào)增區(qū)間是：，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是：令，得或（舍），求得，由的單調(diào)性知，16為的最大值，故截去的小正方形的邊長(zhǎng)為1m時(shí)，無(wú)蓋方盒的容積最大，故選：D.8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，遞推關(guān)系如下：數(shù)列滿足，若，則所有可能的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則，則，則或；當(dāng)時(shí)，則，或，或；當(dāng)時(shí)，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，則，或，所以所有可能的取值集合是，故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：BD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說(shuō)法正確的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公差為2C.當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)D.若是數(shù)列的項(xiàng)，則正整數(shù)的取值為、、【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為，故，故，令，解得，所以是數(shù)列的第8項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D，插入個(gè)數(shù)，則，，，，，所以等差數(shù)列中的項(xiàng)在等差數(shù)列中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的序號(hào)是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，若是數(shù)列的項(xiàng)，則，即，因?yàn)椋缘目赡苋≈禐?，則正整數(shù)取值為、、，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，C.函數(shù)極大值為1，函數(shù)的極小值為D.方程恰有2個(gè)解時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BC【解析】的定義域?yàn)?，，令，得或，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故A錯(cuò)誤，B正確.所以當(dāng)時(shí)，有極大值為；所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，故C正確.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的圖象如下：方程恰有2個(gè)解時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，令，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：或.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)得時(shí)符合上式，所以，由，即，解得，故答案為：14.已知直線既是函數(shù)的切線也是二次函數(shù)的切線，則______.【答案】【解析】設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，其中，，故且，，聯(lián)立與得，解得，故，又，故，即，化簡(jiǎn)得將代入中得，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)椋?，整理得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，整理得，則或（舍去），聯(lián)立，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，則.16.已知在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）由，則，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，此時(shí)，則，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意，則.（2）由（1）知，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在區(qū)間上最大值為，最小值為.17.某工廠去年12月試生產(chǎn)新工藝消毒劑1250升，產(chǎn)品合格率為，從今年1月開始,工廠在接下來(lái)的兩年中將正式生產(chǎn)這款消毒劑，今年1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，此后每個(gè)月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加.（1）求今年1月到12月該消毒劑的總產(chǎn)量；（2）從第幾個(gè)月起，月產(chǎn)消毒劑中不合格的量能一直控制在120升以內(nèi)（不含120升）？參考公式：月產(chǎn)消毒劑中不合格的量＝月產(chǎn)量（1－月產(chǎn)品合格率）參考數(shù)據(jù)：，，，解：（1）設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)?，且，可知?shù)列是以公比為的等比數(shù)列，所以今年1月到12月該消毒劑的總產(chǎn)量為升.（2）設(shè)從今年1月起，各月不合格率構(gòu)成數(shù)列，則，，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量是，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且，，所以第12個(gè)月，不合格的量能一直控制在120升以內(nèi).18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且；數(shù)列的首項(xiàng),且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.解：（1）因?yàn)?，所以，又，則，故，所以是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列.（2）依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得整理得，即，則，又，所以，所以是各項(xiàng)為的常數(shù)列，所以，即.（3）由（1）得，即，所以，則，所以，兩式相減，得.所以.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證；（2）討論的單調(diào)性；（3）討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）若，則，，令，則，解得；令，則，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以.（2）因?yàn)椋?，則，可知在上單調(diào)遞減；若，令，則，解得；令，則，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：若，在上單調(diào)遞減；若，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.（3）若，可知在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；可知有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；若，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)趨近于，時(shí)，趨近于則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，則，即，可知無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，可知有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，可知有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，.若，，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.10 B.5 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，若，，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以.故選：B.2.一輛汽車在公路上沿直線變速行駛,假設(shè)時(shí)汽車的速度（單位：）為，則汽車在第時(shí)的瞬時(shí)加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，所以汽車在第時(shí)的瞬時(shí)加速度為.故選：B3.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18 C.21 D.27【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.4.下列說(shuō)法正確的是為（）A.函數(shù)的極大值可以小于該函數(shù)的極小值B.函數(shù)的增區(qū)間為C.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在處取得極值D.若函數(shù)的極小值點(diǎn)為【答案】A【解析】A.函數(shù)的極大值可以小于該函數(shù)的極小值，故該選項(xiàng)是正確的；B.函數(shù)的增區(qū)間為，不能說(shuō)函數(shù)的增區(qū)間為，例如，，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C.若為的導(dǎo)函數(shù)，則是在某一區(qū)間存在極值的非充分條件，如函數(shù)，但是函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以并不是函數(shù)的極值點(diǎn).故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D.函數(shù)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以是極小值點(diǎn)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選：A.5.如圖，直線和圓，當(dāng)從開始在平面上按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，可得面積隨著的增大而增加，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且增長(zhǎng)趨勢(shì)先慢后快，過(guò)圓心后逐漸變慢，即函數(shù)圖象的變化率先變大在變小，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)D復(fù)合題意.故選：D.6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，則Sn最大時(shí)n的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】,,,最大.故選:C7.將一個(gè)邊長(zhǎng)為（單位：）的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，則方盒的容積最大為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)無(wú)蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則，則無(wú)蓋方盒的容積為：，得，令，解得或，令，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的單調(diào)增區(qū)間是：，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是：令，得或（舍），求得，由的單調(diào)性知，16為的最大值，故截去的小正方形的邊長(zhǎng)為1m時(shí)，無(wú)蓋方盒的容積最大，故選：D.8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，遞推關(guān)系如下：數(shù)列滿足，若，則所有可能的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且，則，則，則或；當(dāng)時(shí)，則，或，或；當(dāng)時(shí)，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，則，或，所以所有可能的取值集合是，故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：BD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說(shuō)法正確的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公差為2C.當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)D.若是數(shù)列的項(xiàng)，則正整數(shù)的取值為、、【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為，故，故，令，解得，所以是數(shù)列的第8項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D，插入個(gè)數(shù)，則，，，，，所以等差數(shù)列中的項(xiàng)在等差數(shù)列中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的序號(hào)是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，若是數(shù)列的項(xiàng)，則，即，因?yàn)椋缘目赡苋≈禐?，則正整數(shù)取值為、、，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，C.函數(shù)極大值為1，函數(shù)的極小值為D.方程恰有2個(gè)解時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BC【解析】的定義域?yàn)?，，令，得或，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故A錯(cuò)誤，B正確.所以當(dāng)時(shí)，有極大值為；所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，故C正確.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的圖象如下：方程恰有2個(gè)解時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，令，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：或.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)得時(shí)符合上式，所以，由，即，解得，故答案為：14.已知直線既是函數(shù)的切線也是二次函數(shù)的切線，則______.【答案】【解析】設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，其中，，故且，，聯(lián)立與得，解得，故，又，故，即，化簡(jiǎn)得將代入中得，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，整理得，則或（舍去），聯(lián)立，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，則.16.已知在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）由，則，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，此時(shí)，則，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意，則.（2）由（1）知，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在區(qū)間上最大值為，最小值為.17.某工廠去年12月試生產(chǎn)新工藝消毒劑1250升，產(chǎn)品合格率為，從今年1月開始,工廠在接下來(lái)的兩年中將正式生產(chǎn)這款消毒劑，今年1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，此后每個(gè)月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加.（1）求今年1月到12月該消毒劑的總產(chǎn)量；（2）從第幾個(gè)月起，月產(chǎn)消毒劑中不合格的量能一直控制在12