寧遠一中2025年高三數學模擬卷（一）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一組樣本數據刪除一個數后,得到一組新數據:10,21,25,35,36,40.若這兩組數據的中位數相等,則刪除的數為()A.25 B.30 C.35 D.402．已知集合,,則()A. B.C. D.3．已知向量,滿足,,則為()A. B. C. D.4．函數在開區(qū)間的零點個數為()A.5 B.6 C.7 D.85．正四棱臺中，，，與底面所成的角為，則此四棱臺的體積為()A. B. C. D.6．若函數的定義域為D,且存在,使得,則稱是的一個“二倍階值點”.下列四個函數中,不存在“二倍階值點”的是()A. B. C. D.7．某商店店慶，每個在店內消費到一定額度的顧客都可以參與抽獎活動.組織方準備了個盲盒，其中有個盲盒內有獎品.抽獎規(guī)則為：抽獎者從這n個盲盒中隨機抽取1個盲盒，兌獎后組織方會再補回一個相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎者抽獎.抽獎者甲先拿起了一個盲盒，在猶豫是否打開時，組織方拿走了一個沒有獎品的盲盒，最終甲選擇了另外一個盲盒打開，記甲中獎的概率為.抽獎者乙在選盲盒時不小心碰掉了一個盲盒，并且發(fā)現摔裂的盲盒內沒有獎品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個盲盒打開，記乙中獎的概率為，則()A. B.C. D.無法確定與的大小關系8．已知平面向量,,,當最小時,,則,的夾角為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分。9．已知拋物線的焦點為F,過F的直線l交拋物線于,兩點,且A,B在其準線上的射影分別為,,則下列結論正確的是()A.若直線軸,則 B.C. D.10．若隨機變量X服從正態(tài)分布，且，，則()A. B.C. D.11．設等比數列的公比為q,其前n項和為,前n項積為,并且滿足條件,,,則下列結論正確的是()A. B.C.的最大值為 D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某中學高一?高二?高三的學生人數比例為,假設該中學高一?高二?高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為,,若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生,則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233,已知該中學高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率,則p的取值范圍是______________。13．已知函數,曲線在點處的切線方程為__________。14．在正六棱柱中,,M,N分別為,的中點,則點A到平面的距離為________。四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知銳角三角形ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求A;(2)若,求的取值范圍.16．（本小題滿分15分）已知O為坐標原點，直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點，與橢圓交于E，F兩點.當時，.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與C相切，證明：的面積為定值.17．（本小題滿分15分）如圖,在四棱錐中,平面,,,,,點E在棱上,且不與S和D重合,平面交棱SC于點F.（1）求證:;（2）若E為棱的中點,求二面角的正弦值;（3）記點D,S到平面的距離分別為,,求的最大值.18．（本小題滿分17分）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉,可以從高處俯瞰四周景色.位于濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪,該摩天輪輪盤直徑為124米,設置有36個座艙.游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙,當到達最高點距地面145米時大約需要15分鐘.當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時.（1）經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米,已知H關于t的函數關系式滿足（其中,,）,求摩天輪轉動一周的解析式;（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間,距離地面的高度第一次恰好達到52米?（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙,且中間間隔5個座艙,從游客甲坐上摩天輪后開始計時,多長時間游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同?19．（本小題滿分17分）某市為繁榮地方經濟，大力實行人才引進政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計了2018-2023年人才引進的數量y（單位：萬人），并根據統(tǒng)計數據繪制了如圖所示的散點圖（x表示年份代碼，年份代碼1-6分別代表2018-2023年）.（1）根據散點圖判斷與（a，b，c，d均為常數）哪一個適合作為y關于x的回歸方程類型；（給出結論即可，不必說明理由）（2）根據（1）的結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程，并預測該市2025年引進人才的數量；（3）從這6年中隨機抽取4年，記引進人才數量超過4萬人的年數為X，求X的分布列和數學期望.參考數據：5.151.5517.520.953.85其中，，，.參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.參考答案1．答案：B解析：依題意,新數據組有6個數,其中位數是,顯然原數據組有7個數,因此刪除的數是中位數30.故選:B2．答案：C解析：因為集合,集合,.故選:C.3．答案：D解析：因為,即,則,整理得,又因為,即,則,所以.故選：D.4．答案：D解析：法一：,,令,則或,即：或或,如圖所示：由圖像可知,函數共8個零點.法二：因為,由,得,或,所以,或,即,或,,因為,所以,或,,,,,,共8個零點.故選：D.5．答案：B解析：∵，，∴上、下底面的面積分別為，設正四棱臺的高為h，連接，分別取，的中點O，，由正四棱臺性質可知：面，面，∴，過作交于E，則，面，∴，為與底面所成的角，∵，由，可得：，即，所以.故選：B.6．答案：C解析：對于A,,,由,得,解得,所以函數存在“二倍階值點”;對于B,,,由,得,因為,,解得,所以函數存在“二倍階值點”;對于C,,,由,得,令,,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,所以當時,有極小值也是最小值,且,所以無解,所以函數不存在“二倍階值點”;對于D,,,由,得,令,,所以在R上單調遞增,又,,根據零點存在性定理可知在上存在零點,所以方程有解,所以函數存在“二倍階值點”.故選：C.7．答案：A解析：設事件A為“抽獎者甲中獎”，事件B為“甲選中的盲盒有獎”，則，在組織方拿走無獎的盲盒后，若先選中的有獎，則剩余個盲盒中有個獎品，甲更換盲盒后，若甲先選中的盲盒無獎，則剩余個盲盒中有m個獎品，則更換盲盒后，因此，由乙碰掉的盲盒無獎，則所有個盲盒中有m個獎品，且每個盲盒被抽到的可能性相同，則，于是，所以.故選：A.8．答案：D解析：設,的夾角為,由,由二次函數的圖象可知,當且僅當時,取最小值,此時值最小,將代入即得：,因,故.故選：D.9．答案：CD解析：拋物線C的焦點,準線方程,顯然l不垂直于y軸,設l的方程為,由得：,,是此方程的二根,選項A,直線軸,,,,則,即選項A錯誤;選項B,,則,即選項B錯誤;選項C,,即選項C正確;選項D,如圖中,由拋物線的定義知,,,又軸,,,同理可得,,,即選項D正確.故選：CD.10．答案：ABC解析：隨機變量X服從正態(tài)分布，則，.對于A，，A正確；對于B，，則，B正確；對于C，由，，得，，所以，C正確；對于D，，則，D錯誤.故選ABC.11．答案：AD解析：因為等比數列的公比為q,由得,所以數列為等差數列,公差為,由于,,則且,得,,由,得,,若,則,而,則,則,,此時不成立,所以,所以,所以A正確;由,,得,,又因為,所以數列為遞減數列,從第10項開始小于零,故前9項和最大,即可的最大值為,所以D正確,因為,所以,所以B不正確,因為,,所以數列各項均為正數,所以沒有最大值,所以C不正確,故選：AD.12．答案：解析：若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生,則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率為,解得.因為該中學高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率,所以.故p的取值范圍是.故答案為：.13．答案：解析：由題設,且,則,所以曲線在點的切線方程為,即.故答案為：.14．答案：/解析：連接,,設其交點為O.由正六棱柱的性質知,,且,取的中點P,連接,則平面.以O為坐標原點,,,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.因為,M,N分別為,的中點,所以,,,,則,,.設平面的法向量為,則令,則.故點A到平面的距離.故答案為:15．答案：(1)(2)解析：(1)由,根據正弦定理,得：,由,,則,即,而,故,又,所以.(2)由正弦定理,且,則,,由,則,由,則,即,可得,令,則,易知函數在上單調遞增,在上單調遞減,,,,所以.16．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）設，，，.若，則.易知雙曲線的漸近線方程為，不妨設A在直線上，B在直線上.由得，同理可得，所以.由得，所以，所以，即.又，所以，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）由（1）得，，所以，，所以.由得.因為直線l與雙曲線C相切，所以，所以，所以，為定值.17．答案：（1）證明見解析（2）（3）解析：（1）因為,且平面,平面,所以平面,又因為平面,平面平面,所以;（2）取的中點P,連接,則,又,所以四邊形為平行四邊形,因為平面,平面,所以,故四邊形為矩形,在中,,又,所以在中,,所以.因為平面,平面,所以,又因為,平面,且,所以平面,以為x軸,為y軸,為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,.,,,,設平面的法向量為,則,即,可取.設平面的法向量為,則,即,可取.設二面角的大小為,則則二面角的正弦值為;（3）設,,則,設平面的法向量為,則,即,可取.因為,,所以,,故,設,,則,令,得,解得（舍去）,,故時,,時,,所以,故的最大值為.18．答案：（1）,;（2）5分鐘（3）17.5分鐘解析：（1）由題意知,,,解得,又,所以,時,,解得,因為,所以,所以,;（2）令,得,解得,即,因,依題意,需使,解得,所以游客甲坐上摩天輪后5分鐘,距離地面的高度第一次恰好達到52米;（3）由題意知,,因中間間隔5個座艙,則有,依題意,,即,即,所以,解得,;所以,;時,,不合題意;當時,,即從游客甲坐上摩天輪后開始計時