/1.3探索三角形全等的條件（一~三）【推本溯源】1.由上一節(jié)課我們已經(jīng)知道了全等三角形的性質(zhì)，它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等；那當(dāng)兩個(gè)三角形的角和邊具備什么樣的條件時(shí)，兩個(gè)三角形就相等呢？想一想：（1）當(dāng)兩個(gè)三角形的1對(duì)邊或角相等時(shí)，它們?nèi)葐?？?）當(dāng)兩個(gè)三角形的2對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐幔浚?）當(dāng)兩個(gè)三角形的3對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐幔縿?dòng)手做一做：按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1．作∠MAN＝∠α．2．在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b．3．連接BC，△ABC就是所求作的三角形．通過(guò)自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡(jiǎn)寫成“”或“”）幾何語(yǔ)言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2.用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就畫出了一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形，他的原理是什么？

動(dòng)手做一做：按下列作法，用圓規(guī)和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一側(cè)分別作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．通過(guò)自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡(jiǎn)寫成“”或“”）幾何語(yǔ)言：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如圖，為測(cè)量池塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間距離，在地面上找一點(diǎn)C，連接，，使，然后在的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)D，使，得到，通過(guò)測(cè)量的長(zhǎng)，就能得出的長(zhǎng)．那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，，．求證：．

例3：如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)、，使，再定出的垂線，可以證明，得，因此，測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)．判定的理由是（

）A． B． C． D．例4：如圖，，點(diǎn)D在邊上，，，和相交于點(diǎn)O．求證：．例5：在中，，，D是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作，在右側(cè)，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線交于點(diǎn)E，連接．(1)當(dāng)都在的左側(cè)時(shí)，如圖①，線段之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(2)當(dāng)在的兩側(cè)時(shí)，如圖②，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明；(3)當(dāng)都在AC的右側(cè)時(shí)，如圖③，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不必證明．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐匯·七年級(jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，則的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，與相交于點(diǎn)O，且O是的中點(diǎn)，則與全等的理由是（）A． B． C． D．3．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了測(cè)量點(diǎn)到河對(duì)面的目標(biāo)之間的距離，在點(diǎn)同側(cè)選擇一點(diǎn)，測(cè)得，，然后在處立了標(biāo)桿，使，，得到，測(cè)得的長(zhǎng)就是，兩點(diǎn)間的距離，這里判定的理由是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，平分，則_____≌_____．

6.（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽的工具（卡鉗）．在圖中，若測(cè)量得，則工件內(nèi)槽寬_________．

7．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是上的中線，點(diǎn)F、E分別在和的延長(zhǎng)線上，且，連接、．試說(shuō)明：．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）為了制作燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖所示，，，，證明：．

9．（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市遠(yuǎn)東第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，小剛站在河邊的A點(diǎn)處，在河對(duì)岸的B處有一電線塔（小剛的正北方向），他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹C處，接著再向前走了20步到達(dá)D處，然后再左轉(zhuǎn)直行，當(dāng)小剛看到電線塔B、樹C與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時(shí)，他共走了120步.

(1)根據(jù)題意，畫出示意圖；(2)若小剛一步約米，請(qǐng)求出A、B兩點(diǎn)間的距離（寫出推理過(guò)程）.10．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考三模）如圖，和相交于點(diǎn)C，，．求證：．

【知不足】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，且，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)．每分鐘走，點(diǎn)Q從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)（

）分鐘后，與全等．A．2或4 B．3 C．4 D．4或62．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，一塊三角形的玻璃破成三片，一位同學(xué)很快拿著其中一片玻璃說(shuō)：根據(jù)所學(xué)知識(shí)就能配出一個(gè)與原三角形完全一樣的圖形．他這樣做的依據(jù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）中，，邊上的中線，則邊的取值范圍是__．5．（2021春·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上且．請(qǐng)說(shuō)明．

6．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，．求證：．

7．（2023·云南昭通·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，，，．求證：．

8．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）“倍長(zhǎng)中線法”是解決幾何問(wèn)題的重要方法．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長(zhǎng)到，使，連接，構(gòu)造出和．求證：．

【一覽眾山小】1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在用尺規(guī)作圖得到過(guò)程中，運(yùn)用的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，，于A，于，且，點(diǎn)從向A運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)______秒后，與全等．3．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，要測(cè)量池塘兩端，的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)，兩點(diǎn)的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，那么量出的長(zhǎng)就等于的長(zhǎng)，這是因?yàn)椋@個(gè)判定全等的依據(jù)是______（填字母）．4．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┤鐖D，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．求證：．

5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，．

(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，的面積是20，求的面積．6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，射線平分，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．7．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上請(qǐng)你在圖①和圖②中分別畫出一個(gè)三角形，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1)以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上；(2)與全等，且不與重合．8．（2023·云南昆明·?？既＃┤鐖D，在和中，，，．求證：．

9．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，＝，＝，點(diǎn)在邊上，＝，和相交于點(diǎn)．求證：．

10．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)．求證：．

11．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，連接，E為邊上一點(diǎn)，，求證：．12．（2023秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．13．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)?？计谥校?）如圖1，點(diǎn)B，C在的邊、上，點(diǎn)E，F(xiàn)在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，．求證：；（2）如圖2，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為18，求：與的面積之和．14．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，滿足．

(1)求證：；(2)若的面積為18，，記的面積為，的面積為，求．

1.3探索三角形全等的條件（一~三）【推本溯源】1.由上一節(jié)課我們已經(jīng)知道了全等三角形的性質(zhì)，它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等；那當(dāng)兩個(gè)三角形的角和邊具備什么樣的條件時(shí)，兩個(gè)三角形就相等呢？想一想：（1）當(dāng)兩個(gè)三角形的1對(duì)邊或角相等時(shí)，它們?nèi)葐幔浚?）當(dāng)兩個(gè)三角形的2對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐?？?）當(dāng)兩個(gè)三角形的3對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐幔縿?dòng)手做一做：按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1．作∠MAN＝∠α．2．在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b．3．連接BC，△ABC就是所求作的三角形．通過(guò)自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）幾何語(yǔ)言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2.用紙板擋住了三角形的一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就畫出了一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形，他的原理是什么？

動(dòng)手做一做：按下列作法，用圓規(guī)和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一側(cè)分別作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．通過(guò)自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）幾何語(yǔ)言：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如圖，為測(cè)量池塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間距離，在地面上找一點(diǎn)C，連接，，使，然后在的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)D，使，得到，通過(guò)測(cè)量的長(zhǎng)，就能得出的長(zhǎng)．那么的理由是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可找到兩邊對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A角相等，利用即可證明，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵，∴，則在和中∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．例2：如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由即可證明≌．【詳解】解：，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．例3：如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)、，使，再定出的垂線，可以證明，得，因此，測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)．判定的理由是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可以得到，又，，由此根據(jù)角邊角即可判定．【詳解】解：，,,又，,（）故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，，點(diǎn)D在邊上，，，和相交于點(diǎn)O．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先利用三角形外角性質(zhì)證明，然后根據(jù)“”判斷．【詳解】證明：，即，而，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．例5：在中，，，D是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作，在右側(cè)，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線交于點(diǎn)E，連接．(1)當(dāng)都在的左側(cè)時(shí)，如圖①，線段之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(2)當(dāng)在的兩側(cè)時(shí)，如圖②，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明；(3)當(dāng)都在AC的右側(cè)時(shí)，如圖③，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不必證明．【答案】(1)(2)，詳見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；（3）過(guò)點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，如圖，先證明，得到，，然后證明解題即可；【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．故答案為：．（2）圖②的猜想：．證明：過(guò)點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，如圖②．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．（3）過(guò)點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，如圖∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐匯·七年級(jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，則的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：在和中，，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，與相交于點(diǎn)O，且O是的中點(diǎn)，則與全等的理由是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵O是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了測(cè)量點(diǎn)到河對(duì)面的目標(biāo)之間的距離，在點(diǎn)同側(cè)選擇一點(diǎn)，測(cè)得，，然后在處立了標(biāo)桿，使，，得到，測(cè)得的長(zhǎng)就是，兩點(diǎn)間的距離，這里判定的理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法進(jìn)行分析即可．【詳解】解：在和中，，，判定的理由是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【分析】觀察圖形可知，有兩角以及兩角的夾邊是已知，由此即可得到答案．【詳解】解：由題意得，有兩角以及兩角的夾邊是已知，因此可以利用ASA畫出一個(gè)全等的三角形，故答案為：ASA故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，平分，則_____≌_____．

【答案】【分析】直接利用全等三角形的判定方法，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，在和中,，∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．6.（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽的工具（卡鉗）．在圖中，若測(cè)量得，則工件內(nèi)槽寬_________．

【答案】【分析】根據(jù)三角形全等的判定可知，從而得到．【詳解】解：由題意可知，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是上的中線，點(diǎn)F、E分別在和的延長(zhǎng)線上，且，連接、．試說(shuō)明：．【答案】見(jiàn)解析【分析】證明得到得證．【詳解】解：∵是上的中線，∴，∵在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定定理，熟練掌握全等的判定，8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）為了制作燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖所示，，，，證明：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∴在和中，∴【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．9．（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市遠(yuǎn)東第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，小剛站在河邊的A點(diǎn)處，在河對(duì)岸的B處有一電線塔（小剛的正北方向），他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹C處，接著再向前走了20步到達(dá)D處，然后再左轉(zhuǎn)直行，當(dāng)小剛看到電線塔B、樹C與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時(shí)，他共走了120步.

(1)根據(jù)題意，畫出示意圖；(2)若小剛一步約米，請(qǐng)求出A、B兩點(diǎn)間的距離（寫出推理過(guò)程）.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)40米，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)上北下南，左西右東，直角的意義，共線的條件畫圖即可．（2）根據(jù)三角形全等，得到步，結(jié)合一步約米，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)上北下南，左西右東，直角的意義，共線的條件畫圖如下：

則畫圖即為所求．（2）∵，∴，∴步，∵一步約米，∴（米），答：A、B兩點(diǎn)間的距離約為40米．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考三模）如圖，和相交于點(diǎn)C，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得，．根據(jù)證明，即可推出．【詳解】證明：∵，∴，．在和中，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．【知不足】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，且，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)．每分鐘走，點(diǎn)Q從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)（

）分鐘后，與全等．A．2或4 B．3 C．4 D．4或6【答案】C【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后與全等，則，，，分兩種情況：①若，則，此時(shí)，；②若，則，得出，，此情況舍去，則得出結(jié)果．【詳解】解：∵于A，于B，∴．設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后與全等，則，，，分類討論：①若，則，∴，∴；②若，則，解得：，∴，此時(shí)與不全等；綜上所述：運(yùn)動(dòng)4分鐘后與全等；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法、解方程等知識(shí)；本題難度適中，利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，一塊三角形的玻璃破成三片，一位同學(xué)很快拿著其中一片玻璃說(shuō)：根據(jù)所學(xué)知識(shí)就能配出一個(gè)與原三角形完全一樣的圖形．他這樣做的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合三角形全等的判定條件，依次對(duì)三片玻璃進(jìn)行分析即可．【詳解】解：第一片玻璃只有一個(gè)角與原三角形相等，無(wú)法判斷與原三角形全等；第二片玻璃既沒(méi)有邊與原三角形相等，也有沒(méi)有角與原三角形相等，無(wú)法判斷與原三角形全等；第三片玻璃有兩角及其夾邊與原三角形相等，可以通過(guò)判定新三角形與原三角形全等；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的相關(guān)知識(shí)．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的條件進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來(lái)完全一樣的；第三塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)來(lái)配一塊一樣的玻璃，應(yīng)帶③去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）中，，邊上的中線，則邊的取值范圍是__．【答案】【分析】延長(zhǎng)至使，連接，然后證明，接著利用三角形的三邊關(guān)系即可得到的取值范圍．【詳解】延長(zhǎng)至使，連接在和中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2021春·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上且．請(qǐng)說(shuō)明．

【答案】見(jiàn)解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由，可得，進(jìn)而根據(jù)即可證明．【詳解】證明：，，，，即，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．6．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用線段的加減證得，即可用“”證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各個(gè)判定定理是關(guān)鍵．7．（2023·云南昭通·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)全等三角形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，，，在和中，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．8．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）“倍長(zhǎng)中線法”是解決幾何問(wèn)題的重要方法．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長(zhǎng)到，使，連接，構(gòu)造出和．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】由是的中線，可得，再由，，即可證明．【詳解】證明：如圖所示：

，是的中線，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定，倍長(zhǎng)中線，熟練掌握三角形全等的判定，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在用尺規(guī)作圖得到過(guò)程中，運(yùn)用的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作法可得，可利用證明，即可求解．【詳解】解：根據(jù)作法得：，∵，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作一個(gè)角等于已知角，全等三角形的判定，熟練掌握作一個(gè)角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，，于A，于，且，點(diǎn)從向A運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)______秒后，與全等．【答案】6【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒鐘后與全等；則則，分兩種情況：①若，則，此時(shí)，；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵于A，于，∴，設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后與全等；則則，分兩種情況：①若，則，∴，，，∴；②若，則，解得：，，此時(shí)與不全等；綜上所述：運(yùn)動(dòng)6秒鐘后與全等；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法、解方程等知識(shí)；本題難度適中，需要進(jìn)行分類討論．3．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，要測(cè)量池塘兩端，的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)，兩點(diǎn)的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，那么量出的長(zhǎng)就等于的長(zhǎng)，這是因?yàn)椋@個(gè)判定全等的依據(jù)是______（填字母）．【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)三角形全等的判定即可得．【詳解】解：由對(duì)頂角相等得：，在和中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題關(guān)鍵．4．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┤鐖D，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明，可得，根據(jù)即可證明．【詳解】證明：在和中，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何證明，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，找出是關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，．

(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，的面積是20，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再利用“邊角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形面積相等，即三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：，．是的中點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的中線將三角形面積平分為兩等份，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，射線平分，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由射線平分，可得，進(jìn)而可證；（2）由，可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：射線平分，∴，在和中，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴為．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．7．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上請(qǐng)你在圖①和圖②中分別畫出一個(gè)三角形，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1)以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)也在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上；(2)與全等，且不與重合．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的判定方法分析得出答案．【詳解】（1）如圖所示：即為所求；在和中∴．（2）如圖所示：即為所求．∵，∴．在和中∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．8．（2023·云南昆明·?？既＃┤鐖D，在和中，，，．求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析；【分析】根據(jù)角的和差得到，再根據(jù)全等三角形的判定即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴在和中，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差關(guān)系，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，＝，＝，點(diǎn)在邊上，＝，和相交于點(diǎn)．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用三角形內(nèi)角和得到，結(jié)合推出，再利用證明即可．【詳解】解：證明：和相交于點(diǎn)，．在和中，，．又，，．在和中，，．【點(diǎn)