§10.1計(jì)數(shù)原理與排列組合課標(biāo)要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)原理、排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．知識(shí)梳理1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照__________排成一列組合作為一組3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有______________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)________表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有______________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)________表示．4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝________________________＝____________________(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝____________(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)0?。絖_______；Aeq\o\al(n,n)＝________.(2)Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝____________常用結(jié)論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)！－n?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．()(4)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()2．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．3×4×5＝Aeq\o\al(3,5)B．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝Ceq\o\al(2,6)C．若Ceq\o\al(x,10)＝Ceq\o\al(2x－2,10)，則x＝3D．Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝643．(選擇性必修第三冊(cè)P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為________，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為________．4．將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有________種.題型一計(jì)數(shù)原理例1(1)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60B．48C．36D．24(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè)B．120個(gè)C．96個(gè)D．72個(gè)(3)如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成)，給△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48B．54C．72D．108跟蹤訓(xùn)練1(1)某生產(chǎn)過程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種B．36種C．48種D．72種(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成______個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．(3)某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域花卉顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．(用數(shù)字作答)題型二排列組合問題例2(1)(2023·濟(jì)寧模擬)為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生對(duì)體育的熱情，某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)．某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為()A．48B．36C．24D．12(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有______種(用數(shù)字作答)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·溫州模擬)學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上，而英語、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié)，則不同的課程安排有________種情況．(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)．題型三排列組合的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1相鄰、相間問題例3(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種命題點(diǎn)2定序問題例4(2023·揚(yáng)州模擬)花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數(shù)為________．命題點(diǎn)3分組、分配問題例5(2023·湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考)某高校計(jì)劃在今年暑假安排編號(hào)為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個(gè)學(xué)校．則不同的安排方法共有()A．96種B．144種C．240種D．384種思維升華求解排列組合問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有()A．若A，B不相鄰，則共有72種不同排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有72種不同排法C．若A在B右邊，則共有60種不同排法D．若A，B兩人站在一起，則共有48種不同排法(2)(2023·聊城模擬)某綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求每位學(xué)生從大一到大三的三個(gè)學(xué)年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，若同一學(xué)年內(nèi)選修的課程不分前后順序，則每位學(xué)生共有________種不同的選修方式(用數(shù)字作答)．

§10.2二項(xiàng)式定理課標(biāo)要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝_____________________________________________(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝____________________，它表示展開式的第________項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)________(k＝0,1，…，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)________．(2)增減性與最大值：①當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而________；由對(duì)稱性知，當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而________．②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)________取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)__________與____________相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項(xiàng)．()(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．()(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互換．()(4)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)．()2．(選擇性必修第三冊(cè)P31T4改編)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開式中x2的系數(shù)等于()A．45B．20C．－30D．－903．(選擇性必修第三冊(cè)P34T1改編)eq\f(C\o\al(0,2023)＋C\o\al(1,2023)＋C\o\al(2,2023)＋…＋C\o\al(2023,2023),C\o\al(0,2024)＋C\o\al(2,2024)＋C\o\al(4,2024)＋…＋C\o\al(2024,2024))的值為()A．1 B．2C．2023 D．2023×20244．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________.題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式例1(1)(x－2y)8的展開式中x6y2的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝______.命題點(diǎn)2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式例2(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．(2)若(x2＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展開式中x8的系數(shù)為9，則a的值為________．破解三項(xiàng)展開式問題求三項(xiàng)展開式中某些指定的項(xiàng)，常常利用這幾種方法：(1)兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理展開．(2)因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式再求解．(3)看作多個(gè)因式的乘積，用組合的知識(shí)解答．典例(1)(3x2＋2x＋1)10的展開式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為________．(2)(1＋2x－3x2)5的展開式中含x5的項(xiàng)的系數(shù)為________．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,\r(x))))n的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則下列結(jié)論成立的是()A．n＝10B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為45C．含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D．展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)(2)(2024·攀枝花模擬)(1－ax2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為12，則a＝________.題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)(多選)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))2n＋1的展開式中第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之比為1∶8，則()A．n＝4B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為24D．展開式中不含常數(shù)項(xiàng)(2)(多選)(2023·重慶模擬)已知(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023＋a2024x2024，則()A．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＋eq\f(a2024,22024)＝－1D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＋2024a2024＝4048命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值例4已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,\r(x))))n的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是()A．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為37B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x3思維升華(1)賦值法的應(yīng)用一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．(2)二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解得k.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知(mx＋1)n(n∈N*，m∈R)的展開式只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，設(shè)(mx＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＝8，則a2＋a3＋…＋an等于()A．63B．64C．247D．255(2)(多選)若(3x－2)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2025x2025(x∈R)，則()A．a(chǎn)0＝22025B．a(chǎn)0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq\f(1－52025,2)C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋…＋a2025＝eq\f(－52025－1,2)D.eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋eq\f(a3,33)＋…＋eq\f(a2025,32025)＝22025－1題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，則a等于()A．0B．1C．11D．12(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是()A．－3B．2C．10D．11(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算0.996，則其結(jié)果精確到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943

§10.3隨機(jī)事件與概率課標(biāo)要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率．知識(shí)梳理1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的________________稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的__________，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的________稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示．③隨機(jī)事件的極端情形：__________________、________________.2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生相等關(guān)系B?A且A?B并事件(和事件)A∪B或A＋B交事件(積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有________；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_________________________________________．4．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝__________＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝____________________.6．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸________事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．常用結(jié)論1．當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件．2．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．()(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件．()2．(必修第二冊(cè)P235T1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是()A．至少有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶3．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.84．(2022·全國(guó)乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________.題型一隨機(jī)事件的關(guān)系命題點(diǎn)1隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1(1)(多選)(2023·大連模擬)有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”，下列命題正確的是()A．E與G是互斥事件B．F與I互為對(duì)立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件(2)(多選)某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是()A．A?BB．A∩B＝?C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A與B互為對(duì)立事件命題點(diǎn)2利用互斥、對(duì)立事件求概率例2某商場(chǎng)的有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率例3(多選)某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種)，結(jié)果如表所示：總?cè)藬?shù)食用大米套餐人數(shù)食用面食人數(shù)1000550260假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則下列結(jié)論正確的是()A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是()A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B．恰有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；都是白球D．至多有一個(gè)紅球；都是紅球(2)某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20,0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是________．題型二古典概型例4(1)(2023·湖北省十一校聯(lián)考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是()A.eq\f(3,28)B.eq\f(5,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(3,14)(2)(2023·秦皇島模擬)某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團(tuán)，學(xué)生們都能自主選擇自己喜歡的社團(tuán)．目前話劇社團(tuán)、書法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請(qǐng)加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，則甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023·濟(jì)南模擬)從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)(2)(2024·茂名模擬)從1,2,3,4,5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)題型三概率的綜合問題例5某省高考目前實(shí)行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門，已知某大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門．(1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓(xùn)練3為了備戰(zhàn)2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)(第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì))，中國(guó)射擊隊(duì)的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員展開隊(duì)內(nèi)對(duì)抗賽．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，且兩人命中目標(biāo)與否互不影響．已知甲命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，乙命中目標(biāo)的概率為eq\f(3,4).(1)求甲沒有命中目標(biāo)的概率；(2)在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標(biāo)的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§10.4事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式課標(biāo)要求1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．知識(shí)梳理1．相互獨(dú)立事件(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝________________成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與__________，eq\x\to(A)與__________，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．(2)兩個(gè)公式①利用古典概型：P(B|A)＝________；②概率的乘法公式：P(AB)＝________.(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝________；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝____________________.③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝________________.3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝____________________.常用結(jié)論1．如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率．()(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立．()(4)若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．()2．(必修第二冊(cè)P253T4改編)甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則謎題沒被破解出的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6)D．13．(選擇性必修第三冊(cè)P46例1改編)在8件同一型號(hào)的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是()A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)4．智能化的社區(qū)食堂悄然出現(xiàn)，某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機(jī)地選擇一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.5，則居民甲第二天去A食堂用餐的概率為________.題型一相互獨(dú)立事件的概率命題點(diǎn)1事件相互獨(dú)立性的判斷例1(多選)(2024·滁州模擬)已知A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則()A．P(A＋B)<1B．若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0C．若P(AB)＝0.24，則A，B為相互獨(dú)立事件D．若A，B為相互獨(dú)立事件，則P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(AB)命題點(diǎn)2相互獨(dú)立事件的概率例2(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率概率問題中的遞推數(shù)列在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合考查的問題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)．主要有四種類型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型．典例(多選)甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍智蛉税亚騻鹘o另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱傳球一次．若傳球開始時(shí)甲持球，記傳球n次后球仍回到甲手里的概率為Pn，則下列結(jié)論正確的是()A．P2＝eq\f(1,2) B．P4＝eq\f(5,8)C．Pn＝eq\f(1,2)(1－Pn－1) D．Pn＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)甲、乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同以外其余完全相同的號(hào)簽．其中，甲袋中有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)號(hào)簽；乙袋有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)號(hào)簽．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽，從甲、乙兩袋抽取號(hào)簽的過程互不影響．記事件A：從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件B：從乙袋中抽取號(hào)簽6；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為3；事件D：抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同．則下列選項(xiàng)中，正確的是()A．P(AB)＝eq\f(1,18)B．P(C)＝eq\f(1,9)C．事件A與事件C相互獨(dú)立D．事件A與事件D相互獨(dú)立(2)某高中的獨(dú)孤與無極兩支排球隊(duì)在校運(yùn)會(huì)中采用五局三勝制(有球隊(duì)先勝三局則比賽結(jié)束)．第一局獨(dú)孤隊(duì)獲勝概率為0.4，獨(dú)孤隊(duì)發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加0.1，反之降低0.1.則獨(dú)孤隊(duì)不超過四局獲勝的概率為__________．題型二條件概率命題點(diǎn)1條件概率例32023年8月31日貴南高鐵實(shí)現(xiàn)全線貫通運(yùn)營(yíng)，我國(guó)西南和華南地區(qū)新增一條交通大動(dòng)脈，黔桂兩地間交通出行更加便捷、西南與華南地區(qū)聯(lián)系將更加緊密．貴南高鐵線路全長(zhǎng)482公里，設(shè)計(jì)時(shí)速350公里，南寧東到貴陽(yáng)東旅行時(shí)間由原來的5個(gè)多小時(shí)縮短至最快2小時(shí)53分．貴陽(yáng)某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個(gè)來自南寧的旅行團(tuán)對(duì)貴陽(yáng)兩種特色小吃腸旺面和絲娃娃的喜愛情況，了解到其中有eq\f(4,15)的人喜歡吃腸旺面，有eq\f(2,15)的人喜歡吃絲娃娃，還有eq\f(7,10)的人既不喜歡吃腸旺面也不喜歡吃絲娃娃．在已知該旅行團(tuán)一游客喜歡吃腸旺面的條件下，他還喜歡吃絲娃娃的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)命題點(diǎn)2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4(多選)(2023·武漢模擬)設(shè)eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下列說法正確的是()A．P(B|A)＋P(eq\x\to(B)|A)＝1B．P(B|A)＋P(B|eq\x\to(A))＝0C．若A，B是相互獨(dú)立事件，則P(A|B)＝P(A)D．若A，B是互斥事件，則P(B|A)＝P(B)命題點(diǎn)3乘法公式的應(yīng)用例5經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么該射擊運(yùn)動(dòng)員兩次均擊中9環(huán)的概率為()A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)甲盒子中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒子中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲盒子中隨機(jī)取出一球放入乙盒子，分別以A1，A2和A3表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊液凶又须S機(jī)取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件B．P(B)＝eq\f(2,5)C．事件B與事件A1相互獨(dú)立D．P(B|A1)＝eq\f(5,11)(2)(2023·北京模擬)從－2，－1,1,2,3這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件A，“兩數(shù)均為負(fù)數(shù)”為事件B.則P(B|A)＝________.題型三全概率公式的應(yīng)用例6(1)(2024·銀川模擬)長(zhǎng)白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國(guó)，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬捕，是著名的吉林八景．某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是eq\f(2,3)，夏季來的概率是eq\f(1,3)，如果冬季來，則看不到長(zhǎng)白飛瀑、鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕．無論什么時(shí)候來，由于時(shí)間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了一眼望三國(guó)景點(diǎn)的概率為()A.eq\f(11,15)B.eq\f(16,45)C.eq\f(17,45)D.eq\f(1,3)(2)(2023·石嘴山模擬)一堆蘋果中大果與小果的比例為9∶1，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為()A.eq\f(855,857)B.eq\f(857,1000)C.eq\f(171,200)D.eq\f(9,10)跟蹤訓(xùn)練3(2023·郴州模擬)已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)綠球和一個(gè)黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球、兩個(gè)綠球(球的大小質(zhì)地相同)．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球，則第二次取到黃球的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,48)D.eq\f(11,48)

§10.5離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征課標(biāo)要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．知識(shí)梳理1．離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有________的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．3．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi________0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝________.4．離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學(xué)期望)稱E(X)＝________________________＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．它反映了隨機(jī)變量取值的____________．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_________________________為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的________，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的____________．5．均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝____________.(2)D(aX＋b)＝____________(a，b為常數(shù))．常用結(jié)論1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對(duì)應(yīng)．()(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越?。?)2．(選擇性必修第三冊(cè)P66T1改編)已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．13．(2023·遼陽(yáng)模擬)已知隨機(jī)變量X滿足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，則E(X)＝________，D(X)＝________.4．(選擇性必修第三冊(cè)P67T3改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________．題型一分布列的性質(zhì)例1(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是()A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)思維升華離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．跟蹤訓(xùn)練1(1)若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Paeq\f(1,3)c則P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)(2)設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，則k＝________；P(X≥2)＝________.題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2(1)(2024·杭州模擬)已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：時(shí)間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用X表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則X的均值和方差分別是()A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34(2)(2023·沈陽(yáng)模擬)已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：X－1012Pabceq\f(1,3)若E(X)＝eq\f(3,4)，P(X≥1)＝eq\f(7,12)，則D(X)等于()A.eq\f(15,16)B.eq\f(9,8)C.eq\f(19,16)D.eq\f(5,4)均值、方差的大小比較、最值(范圍)問題關(guān)于隨機(jī)變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計(jì)算，還經(jīng)常從下列幾個(gè)角度進(jìn)行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍．典例(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當(dāng)p從0增大到1時(shí)()X012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A.D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先減后增 D．D(X)先增后減(2)(多選)已知某商場(chǎng)銷售一種商品的單件銷售利潤(rùn)為X＝0，a,2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得0<a<2，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2Peq\f(1,2)beq\f(1,6)下列結(jié)論正確的是()A．b＝eq\f(1,3)B．若該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤(rùn)為0的概率為eq\f(5,16)C．D(X)min＝eq\f(1,2)D．當(dāng)D(X)min最小時(shí)，E(X)＝eq\f(1,3)命題點(diǎn)2均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)應(yīng)用例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()A．P(0<X<3.5)＝eq\f(2,3)B．E(3X＋2)＝7C．D(X)＝2D．D(3X＋1)＝6跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,3)m3m下列結(jié)論正確的有()A．m＝eq\f(1,6) B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(29,36)(2)學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)新開通一項(xiàng)“爭(zhēng)上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為eq\f(1,4)，設(shè)他參加一次答題活動(dòng)得分為ξ，則D(ξ)＝________.題型三均值與方差中的決策問題例4(2023·上海七寶中學(xué)模擬)隨著五一黃金周的到來，各大旅游景點(diǎn)熱鬧非凡，為了解A，B兩個(gè)旅游景點(diǎn)游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得關(guān)于A旅游景點(diǎn)的問卷100份，關(guān)于B旅游景點(diǎn)的問卷80份．問卷中，對(duì)景點(diǎn)的滿意度等級(jí)劃分為：非常滿意、滿意、一般、不滿意，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：4分、3分、2分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：非常滿意滿意一般不滿意A景點(diǎn)5030515B景點(diǎn)353078假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且游客對(duì)A，B兩個(gè)旅游景點(diǎn)的滿意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立．(1)從所有(人數(shù)足夠多)在A旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，從所有(人數(shù)足夠多)在B旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人中恰有2人給出“非常滿意”的概率；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會(huì)選擇A，B哪個(gè)旅游景點(diǎn)？說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓(xùn)練3(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§10.6二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含________可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為____________．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________________，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作________________________________________________________________________．(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝________，D(X)＝________.②若X～B(n，p)，則E(X)＝____________，D(X)＝________________.2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝__________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為________________________________．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對(duì)稱；②曲線在________處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝______________，D(X)＝________________.常用結(jié)論1．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．2．超幾何分布有時(shí)也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，方差D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．()(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．()(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．()(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．()2．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是()A．32B．16C．8D．204．(選擇性必修第三冊(cè)P78例4改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝________.題型一二項(xiàng)分布例1(2023·廣東大灣區(qū)聯(lián)考)某工廠車間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是eq\f(1,4)，且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲、乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器．(1)對(duì)于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求X的分布列與均值E(X)；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在兩種方案下，分別計(jì)算機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓(xùn)練1(2023·太原模擬)第22屆世界杯足球賽在卡塔爾舉辦，各地中學(xué)掀起足球熱．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行足球點(diǎn)球比賽，每人點(diǎn)球3次，射進(jìn)點(diǎn)球一次得50分，否則得0分．已知甲每次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(2,3)，且每次是否射進(jìn)點(diǎn)球互不影響；乙第一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(2,3)，從第二次點(diǎn)球開始，受心理因素影響，若前一次射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(3,4)，若前一次沒有射進(jìn)點(diǎn)球，則下一次射進(jìn)點(diǎn)球的概率為eq\f(1,2).(1)設(shè)甲3次點(diǎn)球的總得分為X，求X的分布列和均值；(2)求乙總得分為100分的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二超幾何分布例2(2023·宿州質(zhì)檢)宿州號(hào)稱“中國(guó)云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動(dòng)畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國(guó)第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市．為了統(tǒng)計(jì)智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個(gè)大型機(jī)房和6個(gè)小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個(gè)機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為eq\f(1,3).(1)求n的值；(2)若一次抽取3個(gè)機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．跟蹤訓(xùn)練2(2024·安慶模擬)鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂、親近自然、尋味鄉(xiāng)愁的美好追求．某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點(diǎn)甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三正態(tài)分布例3(1)(2023·煙臺(tái)模擬)新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車的耗電量(單位：kW·h/100km)情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車的耗電量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，則樣本中耗電量不小于14kW·h/100km的汽車大約有()A．180輛 B．360輛C．600輛 D．840輛(2)(2023·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)模擬)李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，通過統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都近似服從正態(tài)分布．繪制了概率分布密度曲線，如圖所示，則下列哪種情況下，應(yīng)選擇騎自行車()A．有26min可用 B．有30min可用C．有34min可用 D．有38min可用跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·佛山模擬)佛山被譽(yù)為“南國(guó)陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù)，則E(Y)＝________.(2)(2023·唐山模擬)某種食鹽的袋