PAGEPAGE1專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1．（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，即而，解不等式得：，故本題選D。2．（北京市海定區(qū)101中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域是，

，

故在遞減，

而，

∴，即，故選A。3．（黑龍江省牡丹江市第一高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，下面四個(gè)圖象中的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)y＝xf′（x）的圖象可知：當(dāng)x＜﹣1時(shí)，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）增，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）減，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）減，當(dāng)x＞1時(shí)，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）增．故選C。4．（遼寧省朝陽市重點(diǎn)中學(xué)2025屆模擬）已知函數(shù)（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A． B．-2 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即函?shù)在上單調(diào)遞增；又，所以在上必定存在零點(diǎn)，即，因此，所以.故選B。5．（福建省廈門第一中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋ǎ?，所以，由得，所以，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；又函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以有，解得.故選C。6．（安徽省蚌埠市其次中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由的圖象可知：在先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上先大于0，后小于0，再大于0，在上恒小于0.分析選項(xiàng)中各個(gè)圖象，只有選項(xiàng)A符合，故選A。7．（遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2024-2025學(xué)年期中）函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿意，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選D。8．（廣東省東莞市2024-2025學(xué)年期末）若函數(shù)，，且有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，則在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，則的圖象與直線的圖象在同始終角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，由圖可知，當(dāng)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為：，故選A。9．（江西省宜春市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年期中）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，有解，即當(dāng)時(shí)，有解等價(jià)于在上有解令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；本題正確選B。10.（河南省平頂山市2024-2025學(xué)年期末）若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．，在上是增函數(shù) B．，在上是減函數(shù)C．，是偶函數(shù) D．，是奇函數(shù)【答案】C【解析】因?yàn)?，且函?shù)定義域?yàn)榱?，則明顯，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)A，B均不正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C正確．要使函數(shù)為奇函數(shù)，必有恒成立，即恒成立，這與函數(shù)的定義域相沖突，所以選項(xiàng)D不正確，故選C。11．（遼寧省朝陽市重點(diǎn)中學(xué)2025屆模擬）已知函數(shù)（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A． B．-2 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以在上恒成立，即函?shù)在上單調(diào)遞增；又，所以在上必定存在零點(diǎn)，即，因此，所以.故選B。12．（湖南省益陽市2025屆模擬）函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故.故，即函數(shù)在上為增函數(shù)，故選A。13．（甘肅省蘭州市第一中學(xué)2025屆模擬）定義在上的函數(shù)滿意，，則關(guān)于的不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；又，所以；由得，所以，因此，，解得.故選A。14．（河北省石家莊市2025屆中學(xué)畢業(yè)班模擬）已知當(dāng)，時(shí)，，則以下推斷正確的是（）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】C【解析】由題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又由，所以，即，故選C。15．（吉林省吉林市一般中學(xué)2025屆調(diào)研）設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．-1 B． C． D．1【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即為偶函?shù)，將不等式，等價(jià)變形得，即，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則在是單調(diào)遞增，，解得，所以的最小值為，故選C。16．（云南省昆明市2025屆模擬）己知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，．當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以有，因此有，所以是偶函數(shù)，而，可以化為，是偶函數(shù)，所以有，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以有，故本題選D。17．（河北省衡水市其次中學(xué)2025屆模擬）已知函數(shù)，若對(duì)隨意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，即，令.則，max，即的取值范圍為.故選A。18．（山東省煙臺(tái)市2025屆模擬）若函數(shù)，則滿意的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，定義域?yàn)?，且滿意，∴為上的奇函數(shù)；又恒成立，∴為上的單調(diào)增函數(shù)；又，得，∴，即，解得或，所以的取值范圍是．故選B。19．（安徽省黃山市2025屆高其次次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則當(dāng)時(shí)，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選B。20．（河南省鄭州市2025屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)）設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，，有，在上有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以令即函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)樯嫌?，所以即函?shù)在單調(diào)遞增；又因?yàn)樗约此?，解得故選B。1.【2024年高考天津】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥坑梢阎?，有．因此，當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.2.【2024年高考浙江】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，．，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+）。【答案】的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；3.【2024年高考北京】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍。若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對(duì)隨意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】4.【2024年高考全國Ⅲ卷】已知函數(shù)，探討的單調(diào)性；【解析】．令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.5.(2024·全國卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x＋alnx，探討f(x)的單調(diào)性．【解析】f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)－1＋eq\f(a,x)＝－eq\f(x2－ax＋1,x2).①當(dāng)a≤2時(shí)，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時(shí)，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．②當(dāng)a＞2時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(a－\r(a2－4),2)或x＝eq\f(a＋\r(a2－4),2).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞))時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))上單調(diào)遞增．綜合①②可知，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))上單調(diào)遞增．6.(2024·全國Ⅰ卷改編)已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中參數(shù)a≤0.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，則f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.②若a<0，則由f′(x)＝0，得x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2))).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))上單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))上單調(diào)遞增.(2)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，則由(1)得，當(dāng)x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\