第1頁/共1頁2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷真題及解析答案（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成：4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.6相反數(shù)是（）A. B. C. D.62.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A.調(diào)查某種柑橘的甜度情況 B.調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力C.調(diào)查某市垃圾分類的情況 D.調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況4.如圖，點A，B，C在上，，的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（）A32 B.28 C.24 D.206.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A B. C. D.7.下列四個數(shù)中，最大是（）A. B. C. D.8.某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達(dá)到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）A. B. C. D.9.如圖，正方形的邊長為2，點E是邊的中點，連接，將沿直線翻折到正方形所在的平面內(nèi)，得，延長交于點G．和的平分線相交于點H，連接，則的面積為（）A. B. C. D.10.已知整式，其中為自然數(shù)，，，，…，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當(dāng)時，滿足條件的所有整式M的和為；③滿足條件的所有二次三項式中，當(dāng)x取任意實數(shù)時，其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個球，則摸出紅球的概率是__________．12.如圖，，直線分別與交于點E，F(xiàn)．若，則的度數(shù)是__________．13.若為正整數(shù)，且滿足，則__________．14.若實數(shù)x，y同時滿足，，則的值為__________．15.如圖，是的直徑，點C在上，連接．以為邊作菱形，交于點F，，垂足為G．連接，交于點H，連接．若，，則的長度為__________，的長度為__________．16.我們規(guī)定：一個四位數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是__________：一個“十全數(shù)”，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)，記，．若與均是整數(shù)，則滿足條件的M的值是__________．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．17.求不等式組：的所有整數(shù)解．18.學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進(jìn)行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進(jìn)行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在的邊上任取一點E，并過點E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在邊上截取，過點F作的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：，，．在和中，，．③．平分．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种魄覟檎麛?shù)）進(jìn)行整理、描述和分析（成績均不低于分，用表示，共分四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)是：，，，，，，．八年級名學(xué)生競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年級所抽取學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中__________，__________，__________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有學(xué)生人，八年級有學(xué)生人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學(xué)生人數(shù)共是多少？20.先化簡，再求值：，其中．21.列方程解下列問題：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品．每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多50個，3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個．（1）求該廠每天生產(chǎn)的甲、乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量分別是多少個？（2）由于市場需求量增加，該廠對生產(chǎn)流程進(jìn)行了改進(jìn)．改進(jìn)后，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天生產(chǎn)的數(shù)量增加同樣的數(shù)量，且每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天增加的數(shù)量是乙種文創(chuàng)產(chǎn)品每天增加數(shù)量的2倍．若生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量．22.如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍：（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，并分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過）．23.為加強(qiáng)森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機(jī)位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機(jī)同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩無人機(jī)同時分別從B，D出發(fā)沿往C處進(jìn)行巡視，乙無人機(jī)速度為甲無人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無人機(jī)相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機(jī)飛離B處多少千米時，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）點P是射線下方拋物線上的一動點，連接與射線交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且，連接，．當(dāng)取得最大值時，求點P的坐標(biāo)及的最小值；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，點M為點P的對應(yīng)點，點N為拋物線上的一動點．若，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．25.在中，，點D是邊上一點（不與端點重合），連接．將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，，，求的度數(shù)；（2）如圖2，，，過點作，交的延長線于，連接．點是的中點，點是的中點，連接，．用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明：（3）如圖3，，，，連接，．點從點移動到點過程中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，作交的延長線于點．當(dāng)取最小值時，在直線上取一點，連接，將沿所在直線翻折到所在的平面內(nèi)，得，連接，，，當(dāng)取最大值時，請直接寫出的面積．2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷真題及解析答案重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成：4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.6的相反數(shù)是（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了相反數(shù)的概念，根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：6的相反數(shù)是．

故選：A．2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．如果一個圖形沿著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊能完全重合，故選項B是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．

故選：B．3.下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）A.調(diào)查某種柑橘的甜度情況 B.調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力C.調(diào)查某市垃圾分類的情況 D.調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況【答案】D【解析】【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【詳解】解：A中，調(diào)查某種柑橘的甜度情況，全面調(diào)查工作量大，且具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；B中，調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力，具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；C中，了調(diào)查某市垃圾分類的情況

，全面調(diào)查工作量大，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；D中，調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況，范圍較小，適于全面調(diào)查，故本選項符合題意．故選：D．4.如圖，點A，B，C在上，，的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，．故選：B．5.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（）A.32 B.28 C.24 D.20【答案】C【解析】【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點的個數(shù)，代入計算即可．解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，第④個圖案中有16個黑色圓點，則第個圖案中有個黑色圓點，所以第⑥個圖中圓點的個數(shù)是個，故選：C．6.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特點進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的，點所在的反比例函數(shù)的，反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是，故選：D．7.下列四個數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用能力，運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法知識將各選項數(shù)字還原，再進(jìn)行比較、求解．關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識．【詳解】解：，，，，，，∴四個數(shù)中，最大的是，故選：D．8.某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達(dá)到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該景區(qū)2024年接待游客人次數(shù)該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)年平均增長率為x，可得方程，解得或（舍去負(fù)值），所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為，故選：B9.如圖，正方形的邊長為2，點E是邊的中點，連接，將沿直線翻折到正方形所在的平面內(nèi)，得，延長交于點G．和的平分線相交于點H，連接，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，連接，證明，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，再利用角平分線的性質(zhì)得到點到的距離相等，利用面積之比即可解答，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是正方形，，，點E是邊的中點，,將沿直線翻折得，，,，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得,即，解得，，和的平分線相交于點H，點到的距離相等，，故選：A．10.已知整式，其中為自然數(shù)，，，，…，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當(dāng)時，滿足條件的所有整式M的和為；③滿足條件的所有二次三項式中，當(dāng)x取任意實數(shù)時，其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據(jù)題意逐項分析，對進(jìn)行分類討論，即可求解，理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)，時，整式M為，當(dāng)時，整式M不可能為單項式，當(dāng)時，，，…，為正整數(shù)，整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，則中有一個可能為，故會有三種情況，對應(yīng)的整式M為，，，當(dāng)時，，則故會有一種情況，對應(yīng)的整式M為，當(dāng)時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，滿足條件的所有整式M的和為，故②錯誤；多項式為二次三項式，，，因為多項式為三項式，故，當(dāng)時，，則有兩種，，，兩種都滿足條件，當(dāng)時，，則有一種，，滿足條件，當(dāng)時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，所以其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個，故③正確，其中正確的個數(shù)是個，故選：C．二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個球，則摸出紅球的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查求概率，概率的計算公式是，其中表示事件A發(fā)生的概率，m表示事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)，n表示所有可能的結(jié)果數(shù)．根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：袋子里一共有個球，紅球有1個．∴摸出紅球的概率．故答案為：．12.如圖，，直線分別與交于點E，F(xiàn)．若，則的度數(shù)是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可解答，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故答案為：．13.若為正整數(shù)，且滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．先估算的取值范圍，得出，又因為n為正整數(shù)，且滿足，即可得出．詳解】解：∵，∴，∴，∵為正整數(shù)，且滿足，∴，故答案為：．14.若實數(shù)x，y同時滿足，，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，解一元一次方程，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)絕對值的非負(fù)性，得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到關(guān)于的一元一次方程，求出的值，進(jìn)而求出的值，再根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，，∴，∴，∴；故答案為：．15.如圖，是的直徑，點C在上，連接．以為邊作菱形，交于點F，，垂足為G．連接，交于點H，連接．若，，則的長度為__________，的長度為__________．【答案】①.3②.【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、運(yùn)用解直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵．由垂徑定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到、、；如圖：連接，由圓周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，如圖：過H作于F，解直角三角形可得、，易得，最后運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，即，∴，∵菱形，∴，∴，；∴如圖：連接，∵是的直徑，∴，∴，即，解得：；，即，解得：；∵菱形，∴，∴，如圖：過H作于F，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故答案為：3，．16.我們規(guī)定：一個四位數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是__________：一個“十全數(shù)”，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)，記，．若與均是整數(shù)，則滿足條件的M的值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全數(shù)”是；根據(jù)題意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根據(jù)題意得到與均是整數(shù)，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)四位數(shù)∵要求最小的“十全數(shù)”，∴，∴，∴最小的“十全數(shù)”是；∵一個“十全數(shù)”，∴∴，∴∴∴∴∴∴∵與均是整數(shù)∴與均是整數(shù)∴能被13整除，能被17整除∵，∴，∴∴的值可以為13，26，39，52，65∴依次代入可得，當(dāng)，時，，均是整數(shù)，符合題意∴，∴滿足條件的M的值是．故答案為：，．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷真題及解析答案17.求不等式組：的所有整數(shù)解．【答案】，，【解析】【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．利用解不等式組的步驟求解，再得出其整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式①，得：；解不等式②，得：；∴不等式組解集為．所以該不等式組的所有整數(shù)解是，，．18.學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進(jìn)行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進(jìn)行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在的邊上任取一點E，并過點E作了的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在邊上截取，過點F作的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線即為的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：，，．在和中，，．③．平分．【答案】第一步：作圖見解析；第二步：①；②；③【解析】【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．第一步：根據(jù)題意作出圖形即可；第二步：利用證明，得出即可解答．【詳解】解：第一步：作圖如下：；第二步：證明：，，．在和中，，．,平分．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19.學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种魄覟檎麛?shù)）進(jìn)行整理、描述和分析（成績均不低于分，用表示，共分四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)是：，，，，，，．八年級名學(xué)生競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年級所抽取學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中__________，__________，__________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有學(xué)生人，八年級有學(xué)生人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學(xué)生人數(shù)共是多少？【答案】（1），，（2）七年級成績較好，理由見解析（答案不唯一）（3）人【解析】【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，樣本估計總體，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）利用扇形統(tǒng)計圖即可求出組和組的人數(shù)，再利用中位數(shù)定義和組數(shù)據(jù)即可求出，再利用眾數(shù)定義即可求出，最后利用扇形和組人數(shù)即可求出；（2）根據(jù)平均分、中位數(shù)及眾數(shù)分析即可得出結(jié)果；（3）利用樣本估計總體進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)有（人），在組中的數(shù)據(jù)有（人），∵七年級競賽成績的中位數(shù)是數(shù)據(jù)從小到排列后的第和個數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)從小到排列后的第和個數(shù)據(jù)是，，∴，∵八年級名學(xué)生競賽成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是，∴，∵七年級名學(xué)生競賽成績在組中的數(shù)據(jù)共個，∴，∴，故答案為：，，；【小問2詳解】解：該校七年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學(xué)生航天知識競賽的成績的平均數(shù)相同都是，但七年級競賽的成績的中位數(shù)大于八年級競賽的成績的中位數(shù)，所以該校七年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好；或該校八年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學(xué)生航天知識競賽的成績的平均數(shù)相同都是，但八年級競賽的成績的眾數(shù)大于七年級競賽的成績的眾數(shù)，所以該校八年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好；【小問3詳解】解：（人），即估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于分的學(xué)生人數(shù)共是人．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查分式化簡求值，零指數(shù)冪，根據(jù)多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，分式的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡，根據(jù)絕對值的意義，零指數(shù)冪求出的值，再把的值代入化簡后的式子中進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式；∵，∴原式．21.列方程解下列問題：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品．每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多50個，3天時間生產(chǎn)的甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量比4天時間生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量多100個．（1）求該廠每天生產(chǎn)的甲、乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量分別是多少個？（2）由于市場需求量增加，該廠對生產(chǎn)流程進(jìn)行了改進(jìn)．改進(jìn)后，每天生產(chǎn)乙種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天生產(chǎn)的數(shù)量增加同樣的數(shù)量，且每天生產(chǎn)甲種文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量較改進(jìn)前每天增加的數(shù)量是乙種文創(chuàng)產(chǎn)品每天增加數(shù)量的2倍．若生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產(chǎn)的乙種文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量．【答案】（1）該廠每天生產(chǎn)的甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個，乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是個（2）每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個【解析】【分析】本題考查一元一次方程和分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是x個，根據(jù)題意列一元一次方程解答即可；（2）設(shè)該廠每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個，根據(jù)“生產(chǎn)甲、乙兩種文創(chuàng)產(chǎn)品各1400個，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷真題及解析答案【小問1詳解】解：設(shè)該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是x個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個．，解得：，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個，答：該廠每天生產(chǎn)的乙文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量是個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量為個．【小問2詳解】解：設(shè)每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個，則甲文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個．，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，答：每天乙文創(chuàng)產(chǎn)品增加的數(shù)量是個．22.如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍：（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，并分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過）．【答案】（1），（2）作圖見解析，性質(zhì)：當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減?。?）（或或或或）【解析】【分析】本題考查函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與不等式，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并能正確分段列出動點問題的相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．（1）利用矩形性質(zhì)和勾股定理得出，，分兩部分：①當(dāng)時；②當(dāng)時，分別列出；過點作于點，利用等面積法求出，即可表示出的面積為，同理可得的面積為，再結(jié)合矩形的面積為與，即可列出；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)；（3）根據(jù)圖象寫出的圖象在下方時對應(yīng)的自變量的取值范圍即可【小問1詳解】解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，∴，，∴，當(dāng)時，，如圖，∴；當(dāng)時，，如圖，∴；∴；如圖，過點作于點，∵，∴，∴的面積為，同理可得的面積為，又∵矩形的面積為，∴，∴；【小問2詳解】解：作圖如下：性質(zhì)：當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減??；【小問3詳解】解：結(jié)合函數(shù)圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．23.為加強(qiáng)森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機(jī)位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機(jī)同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩無人機(jī)同時分別從B，D出發(fā)沿往C處進(jìn)行巡視，乙無人機(jī)速度為甲無人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無人機(jī)相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機(jī)飛離B處多少千米時，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？【答案】（1）千米（2）千米【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（1）過點A作于E，過點B作于F，由題意得，，解得到千米，千米，證明四邊形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的長；（2）當(dāng)甲無人機(jī)運(yùn)動到M，乙無人機(jī)運(yùn)動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，解得到千米，千米，則千米，設(shè)千米，則千米，千米，解得到千米，千米，則千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。【小問1詳解】解：如圖所示，過點A作于E，過點B作于F，∴，由題意得，，在中，千米，千米，∵無人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的長度約為千米；【小問2詳解】解：如圖所示，當(dāng)甲無人機(jī)運(yùn)動到M，乙無人機(jī)運(yùn)動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，在中，千米，千米，∴千米，設(shè)千米，則千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此時大于的長，舍去），∴千米，答：甲無人機(jī)飛離B處千米時，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）點P是射線下方拋物線上的一動點，連接與射線交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且，連接，．當(dāng)取得最大值時，求點P的坐標(biāo)及的最小值；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，點M為點P的對應(yīng)點，點N為拋物線上的一動點．若，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2）點P的坐標(biāo)為，的最小值為（3）點N的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）先求出直線的解析式，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為，過點P作軸交于點F，交x軸于點H，點F的坐標(biāo)為，求出長，再證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出的最小值，把點P向上平移個單位長度得到點，點的坐標(biāo)為，連接，即可得到，連接，則，是最小值，利用勾股定理計算解題；（3）根據(jù)平移得到拋物線的解析式，然后過點P作軸于點Q，過點N作軸于點K，連接，即可得到，設(shè)點N的坐標(biāo)為，根據(jù)列等式求出a的值即可解題．【小問1詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，把代入得，解得，∴；【小問2詳解】解：令，則，∴點C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把和代入得：，解得，∴，設(shè)點P的坐標(biāo)為，過點P作軸交于點F，交x軸于點H，則點F的坐標(biāo)為，∴，∵軸，∴，，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值為，這時點P的坐標(biāo)為，把點P向上平移個單位長度得到點，點的坐標(biāo)為，連接，則四邊形是平行四邊形，∴，即，由A，B關(guān)于對稱性可得點A的坐標(biāo)為，連接，則的最小值為長，即，即的最小值為；【小問3詳解】解：∵，∴，∴將拋物線沿射線方向平移個單位長度即為向左平移兩個單位長度，向下平移兩個單位長度得到拋物線，即，過點P作軸于點Q，過點N作軸于點K，連接，設(shè)點N的坐標(biāo)為，由平移得，∴，如圖所示，∵，即，解得（舍去）或，這時點N的坐標(biāo)為；如圖所示，則∵，2025年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷真題及解析答案即，解得或（舍去），這時點N的坐標(biāo)為；綜上所述，點N的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，主要考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的線段問題，軸對稱的最短路徑問題，二次函數(shù)的平移，解直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．25.在中，，點D是邊上一點（不與端點重合），連接．將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，，，求的度數(shù)；（2）如圖2，，，過點作，交的延長線于，連接．點是的中點，點是的中點，連接，．用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明：（3）如圖3，，，，連接，．點從點移動到點過程中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，作交的延長線于點．當(dāng)取最小值時，在直線上取一點，連接，將沿所在直線翻折到所在的平面內(nèi)，得，連接，，，當(dāng)取最大值時，請直接寫出的面積．【答案】（1）（2），理由見解析.（3）【解析】【分析】（1）利用，，得出是等邊三角形，得出．由旋轉(zhuǎn)得，則可求出，再利用外角即可求解；（2）連接，，利用，，得，證明，得，，得出，再證明，得出，可得，，再通過點是的中點，和點是的中點，證明，，通過證明是等腰直角三角形，即可得出；（3）取中點，中點，連接，，，通過證明，得出，由點為固定點，，得點在過點且垂直于的直線上運(yùn)動，由點到直線的最短距離可得，當(dāng)取最小值時，即垂直于點運(yùn)動軌跡的直線，即點和點重合時，最小，此時，由翻折可知，則點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，由點到圓上一點的最大距離可知當(dāng)、、依次共線時，取最大值，此時，連接，過點作于點，過點作于點，證明，得出，，通過證明，得出，，再計算出，，即可求出，則，通過，求出，可求出，則利用即可求出．【小問1詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴．由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴；【小問2詳解】解：，理由如下：如圖，連接，，∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，即，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵點是的中點，，∴，∴，∴，∴，即，∵點是的中點，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即；【小問3詳解】解：取中點，中點，連接，，，∵，，∴，，，∴，∵是中點，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴是等邊三角形，，∴，∴，∴，由點為固定點，，得點在過點且垂直于的直線上運(yùn)動，由點到直線的最短距離可得，當(dāng)取最小值時，即垂直于點運(yùn)動軌跡的直線，即點和點重合時，最小，此時如圖，由翻折可知，∴點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，由點到圓上一點的最大距離可知當(dāng)、、依次共線時，取最大值，此時如圖，連接，過點作于點，過點作于點，由旋轉(zhuǎn)知，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵為中點，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索；設(shè)計分層練習(xí)，滿足不同學(xué)生的需求。學(xué)生層面：養(yǎng)成反思習(xí)慣，建立錯題本；積極參與數(shù)學(xué)討論，拓展思維。5.3未來研究方向探索信息技術(shù)（如AI解題助手）在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中的應(yīng)用；研究不同學(xué)習(xí)風(fēng)格學(xué)生的個性化培養(yǎng)策略。折疊問題中必考的七大題型

圖形的“折疊問題”是近年中考數(shù)學(xué)中每年必考的熱點問題。折疊的對象也往往有三角形、矩形、正方形等；考查問題有求折點位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等；解題時，靈活運(yùn)用軸對稱性質(zhì)和背景圖形性質(zhì)。軸對稱性質(zhì)折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應(yīng)點連線垂直對稱軸、對應(yīng)邊平行或交點在對稱軸上。折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題.

考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。③如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且與原點距離相等。④數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

■絕對值：①在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。②正數(shù)的絕對值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值是0。兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

■有理數(shù)的運(yùn)算：●加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數(shù)與0相加不變。●減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)?！癯朔ǎ孩賰蓴?shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。●除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)?！癯朔剑呵驨個相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)?！窕旌享樞颍合人愠朔?，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2.實數(shù)

■無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

■平方根：①如果一