第第頁廣東省廣州市五校（省實、執(zhí)信、廣雅、二中、六中）2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A={x∣A．{x∣?1≤x≤2C．{x∣0≤x≤12．若復(fù)數(shù)z滿足z?1z+1=iA．2 B．2023 C．2023 D．13．已知a=lg12，b=cos1A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．m∥α，n∥β，α∥β?m∥C．m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β D．α⊥β5．函數(shù)y=cosx?|tanx|（A． B．C． D．6．已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿足nΩ=12，nA=6，A．事件A與事件B互斥 B．PC．PAB>P7．已知函數(shù)fx=lnA．關(guān)于點2,2b中心對稱 B．關(guān)于直線x=b軸對稱C．關(guān)于點2,4a中心對稱 D．關(guān)于點2,2a中心對稱8．已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b與e所成的角為60°，且b?te≥A．3+1 B．23 C．3+二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．衡陽市第八中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識的積累情況，隨機抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A．該次數(shù)學(xué)史知識測試及格率超過90%B．該次數(shù)學(xué)史知識測試得滿分的同學(xué)有15名C．該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D．若八中共有3000名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1800名10．如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1，AC1⊥平面A1B1CA．DE//平面B．AD⊥平面BCC．直線AD與直線DE的夾角為πD．若∠BAC=π6，則平面ABB111．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+bA．2 B．3 C．4 D．5三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．從1，2，3，4，5中任取3個不同數(shù)字，這3個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為.13．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2=3b214．函數(shù)f(x)=b|x|?a(a>0,b>0)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)a=1,b=1時，函數(shù)f(x)的“囧點”坐標(biāo)為；此時函數(shù)f(x)四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)fx（1）求fx（2）設(shè)函數(shù)gx=fx?4sin2x?π416．為普及天文知識，某校開展了“天文知識競賽”活動，共有1000名學(xué)生參加此次競賽活動，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計參加這次競賽的學(xué)生成續(xù)的第75百分位數(shù)；（2）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達人的概率；（3）已知80,90組的方差為12，90,100組的方差為8，試估計參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差（結(jié)果保留整數(shù)）；17．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D在AC邊上，且直線BD平分∠ABC.（1）求證：CDAD（2）若AD=1，CD=2.①求△ABC面積S的最大值；②若△BAD和△BCD的內(nèi)切圓半徑分別是r和R，求rR18．如圖1，在矩形ABCD中，已知AB=22，BC=2，E為AB的中點，將AB沿DE向上翻折，得到四棱錐A（1）若A1C=2，求異面直線A1E與（2）求證：DE⊥A（3）在翻折過程中，當(dāng)二面角A1?CD?B為π419．對于數(shù)列A：a1，a2，…，an(n≥3)，定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列T(A)：a2，a3，…，an，a1，記T1(A)=T(A)，Tm(A)=T（1）若A：?1，?1，（2）對于任意給定的正整數(shù)n(n≥3)，是否存在?n數(shù)列A，使得（3）若?n數(shù)列A滿足T

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由不等式xx-2≤0得xx-2≤0x-2≠0解得0≤x≤2x≠2即0≤x<2

故B=x|0≤x<2，而A={xl-1≤x≤1}，

則2．【答案】D【解析】【解答】解：z-1z+1=i2*1011×i=-i，則z-1=-i(z+1)

因此，z=1-i1+i=-i

3．【答案】B【解析】【解答】解：∵lg12<故答案為：B.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和余弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合臨界值0,12進行比較，從而比較出4．【答案】C【解析】【解答】解：對于A：m∥α，n∥β，α∥β?m∥n或?qū)τ贐：由α⊥β，m?α，n?β，可能m⊥n，也可能m∥n，

還可能異面不垂直，也可能相交不垂直，故B錯誤；對于C：由m∥n，m⊥α，則n⊥α，

又因為n?β，則對于D：α⊥β，m⊥α?m?β或m∥β，故D錯誤.故答案為：C.【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，從而逐項判斷找出真命題的選項．5．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得y=cosx·tanx，0≤x<3根據(jù)函數(shù)y=sin可得y=cosx·tanx在在π2<x<π內(nèi)為增函數(shù)且y為負值；

在π故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意可將函數(shù)化簡為y=sin6．【答案】D【解析】【解答】易知PA=nAn由PA∪B=PA+PB對于A，因為PAB對于B，顯然PB對于C，由PAB+PAB所以PAB對于D，易知PA故選：D.

【分析】利用古典概率公式可得PA,PB的值，再利用互斥事件加法求概率公式可得P7．【答案】C【解析】【解答】解：對于A、C、D：

因為f=?ln所以f?x+4則fx關(guān)于點2,4a對于B：因為f所以fx不關(guān)于直線x=b故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件和f?x+4+fx8．【答案】B【解析】【解答】因為向量b與e所成的角為60°，e=1，所以b因為b?te≥b?e對任意實數(shù)t恒成立，

所以b?t對任意實數(shù)t恒成立，則Δ=|b?|2由于a=2，如上圖，a+=2e?+b當(dāng)且僅當(dāng)?2e故答案為：B．【分析】b?te≥b?e對任意實數(shù)t恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)t2?|b|t?1+|b9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由圖知，及格率為1?8%該測試滿分同學(xué)的百分比為1?8%?32%由圖知，中位數(shù)為80分，

平均數(shù)為40×8%由題意，3000名學(xué)生成績能得優(yōu)秀的同學(xué)有3000×(48%故答案為：ACD.【分析】利用扇形圖的數(shù)據(jù)得到及格率，則判斷出選項A；先求出滿分所占百分比，再求出滿分學(xué)生人數(shù)，則判斷出選項B；利用已知條件和中位數(shù)定義和平均數(shù)公式，從而比較大小判斷出選項C；先求出抽取的學(xué)生成績優(yōu)秀率，再估算出數(shù)學(xué)史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)，則判斷出選項D，從而找出正確的選項.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為D,E分別是BC1，AC1的中點，又因為DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A因為AC1⊥平面A1B1C又因為BC?平面ABC，

所以AC因為AB⊥BC，AB∩AC1=A,AB,AC1?平面ABC又因為平面ABC1，

所以因為AD⊥BC1，BC∩BC1=B,BC,BC1?平面因為D為BC中點，且AD⊥BC1，AC1⊥AB又因為E是AC1的中點，

則∠ADE=π4，

所以直線AD與直線連接AB因為AC1⊥A1所以A1B1又因為AB1?平面AB1C1，

則A1B因為∠BAC=π6，

所以AB=3BC，

則AC故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)線面平行判定定理證出DE//AB，則可判斷選項A；根據(jù)線面垂直判定定理證出BC⊥平面ABC1，再結(jié)合線面垂直的定義得出BC⊥AD，由AD⊥BC1結(jié)合線面垂直的判定定理，則可判斷選項B；由AD⊥BC1，AC1⊥AB，可得△ABC1是等腰直角三角形，從而可得直線AD與直線DE的夾角，則可判斷選項C；連接AB111．【答案】B,C,D【解析】【解答】由題意知：A={由B={f(f(x由A=B≠?可知：b=54且(此時須滿足Δ1=a故實數(shù)a的取值范圍是[5故答案為：BCD.

【分析】將f（x）代入集合A、B中得(x2+ax+b)2+a(x2+ax+b)12．【答案】3【解析】【解答】解：總共5個數(shù)字，選3個，總共C53=10則為兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，共有C3所以從這5個數(shù)中選3個不同的數(shù)且和為偶數(shù)的概率為610故答案為：35【分析】先計算從這5個數(shù)中任意選3個的情況總數(shù)，再計算當(dāng)3個數(shù)之和為偶數(shù)的情況數(shù)，再利用古典概率公式得出從1，2，3，4，5中任取3個不同數(shù)字，這3個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率.13．【答案】?2【解析】【解答】解：因為a2=3b2+c2，所以a2+b2所以sinAcosC=2sinB所以sinA則sinA因為cosAcosC≠0，

所以tanA=?2tan故答案為：?2.【分析】依題意可得a2+b2?c214．【答案】(0,1)；3π【解析】【解答】解：第一空：由題意知：f(x)=1|x|?1，x≠±1，f(0)=?1，

故與y軸的交點為0,?1，

則“囧點”坐標(biāo)為第二空：畫出函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)B(0,?1)，C(0,1)，圓心為C(0,1)，

要使“囧圓”面積最小，只需要考慮y軸及y軸右側(cè)的圖象，當(dāng)圓C過點B(0,?1)時，其半徑為2，

是和x軸下方的函數(shù)圖象有公共點的所有“囧圓”中半徑的最小值，當(dāng)圓C和x軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點A時，

設(shè)A(m,1m?1),m>1，

則點A到圓心C令t=1m?1,t>0，

則當(dāng)t?1t=1時，即當(dāng)m=1+52時，d2最小為3，

又因為2>故答案為：(0,1)；3π.

【分析】第一空：直接求出與y軸的交點，從而得出當(dāng)a=1,b=1時，函數(shù)f(x)的“囧點”坐標(biāo).

第二空：先畫出函數(shù)圖象，再考慮y軸和y軸右側(cè)的圖象，因為x軸下方的函數(shù)圖象顯然過點B(0,?1)時面積最小，當(dāng)圓C和x軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點A時，設(shè)出公共點，表示出半徑的平方，再借助二次函數(shù)求出函數(shù)的最小值，比較得出半徑最小值，從而得出此時函數(shù)f(x)的所有“囧圓”中的面積的最小值.15．【答案】（1）解：因為fx所以fx的最小正周期為T=令?π+2kπ≤2x≤2kπ所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?（2）解：因為g=5其中sinφ=當(dāng)gx取最大值為gx0可得2x0+φ=π2由sinφ=35，

所以cos2x0=1?2sin又因為x0∈0,π2【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得fx=32cos（2）利用已知條件整理可得gx=52sin2x+φ?2（1）易知fx所以fx的最小正周期為T=令?π+2kπ因此fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）易知g=5其中sinφ=當(dāng)gx取最大值為gx0可得2x0+φ=由sinφ=35易知cos2x0又x0∈0,16．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可知，

成績在40,50內(nèi)的頻率為0.005×10=0.05，成績50,60在內(nèi)的頻率為0.015×10=0.15，成績在60,70內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，成績70,80在內(nèi)的頻率為0.030×10=0.3，成績在80,90內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，所以成績在80分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=70%成績在90分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90所以成績的第75分位數(shù)一定在80,90內(nèi)，即80+因此，估計參加這次競賽的學(xué)生成績的75百分位數(shù)為82.5.（2）解：因為6×0.30.3+0.2+0.1=3，

6×0.2所以從成績在70,80，80,90，90,100內(nèi)的學(xué)生中

分別抽取了3人，2人，1人，其中有3人為航天達人，

設(shè)為a,b,c，有3人不是航天達人，設(shè)為d,e,f，則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，則(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)，(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)，共15種，其中2人均為航天達人為(a,b),(a,c),(b,c)，共3種，所以被選中的2人均為航天達人的概率為315（3）解：因為80,90內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，

90,100內(nèi)的頻率為0.010×10=0.1，又因為80,90內(nèi)的平均數(shù)為85，

90,100內(nèi)的平均數(shù)為95，80,100內(nèi)的平均數(shù)為：0.20.2+0.1又因為80,90組的方差為12，90,100組的方差為8，所以這次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差為：10.2+0.1【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和頻率分步直方圖求百分位數(shù)的方法，從而估計出參加這次競賽的學(xué)生成續(xù)的第75百分位數(shù).（2）先按照分層抽樣求出各層人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概率公式，從而得出被選中的2人均為航天達人的概率.（3）利用分層抽樣的方法和平均數(shù)公式以及方差公式，從而估計出參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差.（1）由頻率分布直方圖可知，成績在40,50內(nèi)的頻率為0.005×10=0.05，成績50,60在內(nèi)的頻率為0.015×10=0.15，成績在60,70內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，成績70,80在內(nèi)的頻率為0.030×10=0.3，成績在80,90內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，所以成績在80分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=70%成績在90分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90%所以成績的第75分位數(shù)一定在80,90內(nèi)，即80+0.75?0.7因此估計參加這次競賽的學(xué)生成績的75百分位數(shù)為82.5；（2）因為6×0.30.3+0.2+0.1=3，6×所以從成績在70,80，80,90，90,100內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人，2人，1人，其中有3人為航天達人，設(shè)為a,b,c，有3人不是航天達人，設(shè)為d,e,f，則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)，(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種，其中2人均為航天達人為(a,b),(a,c),(b,c)共3種，所以被選中的2人均為航天達人的概率為315（3）80,90內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，90,100內(nèi)的頻率為0.010×10=0.1，80,90內(nèi)的平均數(shù)為85，90,100內(nèi)的平均數(shù)為95，80,100內(nèi)的平均數(shù)為0.20.2+0.1又80,90組的方差為12，90,100組的方差為8，所以這次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差為10.2+0.117．【答案】（1）證明：設(shè)AC邊上的高為h，

則S△BCD=12因為直線BD平分∠ABC，

所以∠CBD=∠ABD，所以S△BCD所以CDAD（2）解：①設(shè)∠CBD=∠ABD=θ(0<θ<π因為AD=1，CD=2，

所以，由（1）可知a=2c，在△ABC中，由余弦定理得AC所以9=5c2?4c2所以S===18令t=tanθ，

則當(dāng)且僅當(dāng)9t=1t時，即當(dāng)所以S的最大值為3.②在△ABC中，

因為AD=1，CD=2，所以BD所以BD所以9BD在△ABC中，

由余弦定理得9=5c所以BD因為S△BAD=1所以r=h所以r=1?=1?1因為c+2c>3，且c+3>2c，

所以1<c<3，所以0<c?1<2，

則1<1所以4<21所以0<1所以?1所以34<1?121【解析】【分析】（1）設(shè)AC邊上的高為h，利用三角形的面積公式表示出S△BCD和S△BAD，兩式相比證出（2）①設(shè)∠CBD=∠ABD=θ(0<θ<π2)，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得S=9sin2θ5?4cos2θ，化簡換元結(jié)合基本不等式求最值的方法，從而求出△ABC面積S的最大值.

②利用等面積法可得r=hc+1+BD,R=2h（1）證明：設(shè)AC邊上的高為h，則S△BCD=1因為直線BD平分∠ABC，所以∠CBD=∠ABD，所以S△BCD所以CDAD（2）①設(shè)∠CBD=∠ABD=θ(0<θ<π因為AD=1，CD=2，所以由（1）可知a=2c，在△ABC中，由余弦定理得AC所以9=5c2?4所以S===18令t=tanθ，則當(dāng)且僅當(dāng)9t=1t，即所以S的最大值為3；②在△ABC中，因為AD=1，CD=2，所以BD=所以BD2所以9BD在△ABC中，由余弦定理得9=5c所以BD因為S△BAD=1所以r=h所以rR=1?=1?1因為c+2c>3，且c+3>2c，所以1<c<3，所以0<c?1<2，則1<1所以4<21所以0<1所以?1所以34<1?118．【答案】（1）解：取DC的中點O，連接A1O,OE又因為E為AB的中點，

所以O(shè)C∥BE，OC=BE，則四邊形EBCO是平行四邊形，所以O(shè)E∥BC，所以∠OEA1為異面直線A1又因為A1C=2，A1所以A1C2+A可得A1又因為A1E=2，OE=2，

所以△A1EO為等腰直角三角形，

所以異面直線A1E與BC的的夾角（2）證明：如圖1，連接AC交DF于F，因為AB=22，且E為AB的中點，AE=在矩形ABCD中，因為AD=2，

所以AEAD所以△EAD～△CBA，

所以∠ADE=∠BAC，所以∠AFD+∠BAC=∠AED+∠ADE=90°，則∠AFE=180°?(∠AED+∠CAB)=90°，

所以DE⊥AC，由題意可知DE⊥A1F,DE⊥FC,A1F∩FC=F所以DE⊥平面A1FC，

因為A1C?平面A1（3）解：如圖2，過A1作A1H⊥FC，垂足為H，

過H作HG⊥DC，垂足為G，連接因為DE⊥平面A1FC，A1H?平面A1又因為A1H⊥FC,FC∩DE=F，F(xiàn)C,DE?平面BCDE，

所以A1因為CD?平面BCDE，

所以A1又因為HG⊥CD,A1H∩HG=H，A所以CD⊥平面A1GH，

因為A1G?平面A1所以∠A1GH所以∠A1GH=π4，所以A設(shè)A1H=HG=x，

由△CGH～△ADC，可得GHAD由（1）可得AF=233，

則可得A1F=所以FH+HC=(233)所以四棱錐A1?BCDE的體積為：【解析】【分析】（1）取DC的中點O，連接A1O,OE，結(jié)合中位線定理證出OE∥BC，則∠OEA1為異面直線A1E與BC的夾角，再結(jié)合線段相等和勾股定理，從而得出△A（2）在矩形ABCD中，從而證出DE⊥AC，則在翻折過程中DE⊥A1F，從而證出DE⊥平面A（3）過A1作A1H⊥FC，垂足為H，過H作HG⊥DC，垂足為G，連接A1G，利用已知條件可證出∠A1GH是二面角A1（1）取DC的中點O，連接A1又E為AB的中點，