第第頁四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集U={?2，?1，0，A．{1，3} B．{0，2．已知α是第二象限角，sinα=513，則A．?513 B．?1213 C．3．在平行四邊形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，記AC→=a→，A．12a→C．a(chǎn)+124．如果函數(shù)y=2sin(x+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是π3，那么φA．?π6 B．π6 C．π5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若△ABC的面積是3(b2A．π3 B．2π3 C．π66．已知a=(sinα,1?4cos2α)，b=(1,3sinα?2)，α∈(0,πA．211 B．411 C．6117．如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,A．3π B．9π C．36π8．已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=2，則PAA．1+22 B．1+222 C．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是()A．若z?z?=0，則z為實(shí)數(shù) B．若C．若|z?i|=1，則|z|的最大值為2 D．若|z?i|=|z|+1，則z為純虛數(shù)10．已知a，b，c滿足a<b<c，且ac<0，則下列選項(xiàng)中恒成立的是()A．a(chǎn)c<bc B．b?ca>011．如圖，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，過AC中點(diǎn)M的直線l與線段AB交于點(diǎn)N.將△AMN沿直線l翻折至△A'MN，且點(diǎn)A'在平面BCMN內(nèi)的射影H在線段BC上，連接AH交l于點(diǎn)OA．∠B．∠C．點(diǎn)O的軌跡的長度為πD．直線A'O與平面BCMN三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為45°，腰和上底長均為2的等腰梯形，則原平面圖形的面積為．13．已知sin(α+π)14．已知將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．已知|a|=4，|b|=8，a與（1）求|a（2）當(dāng)k為何值時(shí)，(a16．已知f(（1）化簡f(（2）已知f(α)17．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位，得函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在區(qū)間[0,（3）若f(α)=23,α∈(0,18．如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)f(x)為向量OM（1）設(shè)函數(shù)g(x)=sin(x+5π（2）記向量ON=(1,3)的伴隨函數(shù)為f(x)，當(dāng)f(x)=85（3）設(shè)向量OP=(2λ,?2λ)，λ∈R的伴隨函數(shù)為u(x)，OQ=(1,1)的伴隨函數(shù)為v(x)，記函數(shù)h(x)=u(x)+v

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)題意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴?U(A∪B2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，cosα=-故答案為：B.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：

則CB=OBAE=故答案為：D．【分析】由圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得CB=124．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(x+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是π3，所以π3+φ=kπ,k∈Z故答案為：D.【分析】由題意，可得π35．【答案】A【解析】【解答】解：△ABC的面積為S=1解得tanA=3，則故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合正余弦定理化簡求值即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閍=(sinα,1?4cos2α)，b=(所以sinα(3sinα?2)=1?4cos2α=1?4(1?2sin則sin2故答案為：B.【分析】由題意，根據(jù)a∥b以及倍角公式求出sinα，再根據(jù)α∈(7．【答案】B【解析】【解答】已知如圖所示：

將四面體補(bǔ)形成長方體，長方體的長?寬?高分別為2、1、2，

四面體的外接球即為長方體的外接球，

而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為R，

故2R=22+故答案為：B.【分析】用補(bǔ)行法，將四面體P-ABC補(bǔ)形成長方體，長方體的長?寬?高分別為2、1、2，長方體的外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.8．【答案】A【解析】【解答】解：如圖所示：

|OA|=1，|OP|=2由勾股定理可得|PA當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)∠OPC=則PA?PD=|=cos0≤α<所以當(dāng)2α?π4=?當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)則PA?PD=|=cos20≤α<所以當(dāng)2α+π4=綜上可得，PA?PD的最大值為故答案為：A.【分析】由題意，作出示意圖，如圖所示：再分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PD=12?29．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、設(shè)z=a+bi(a若z?z=0，即(a+bi)B、若z2+z化簡可得a2?b2+2ab當(dāng)a=b時(shí)，z=a+ai，z=a?ai當(dāng)a=?b時(shí)，z=a?ai，z=a+aiC、若|z?i|=1所以a2+(b?1)2=1且|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以D、若|z?i||z|+1=化簡可得b=?a2+b2此時(shí)z可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故答案為：AC.【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)分析判斷即可.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因?yàn)閍<b<c，且ac<0，所以a<0<c，而b與0的大小關(guān)系不確定，所以ac<bc，b?ca>0，故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件可得a<0<c，b與0的大小關(guān)系不確定判斷即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意，將△AMN沿直線l翻折至△A'MN，連接AA故AA'⊥MN，又A'在平面BCMN內(nèi)的射影所以A'H⊥平面BCMN，MN?平面BCMNAA'∩A'H=A'，AA'?AO?平面A'AH，A'O?平面A'AO⊥MN,所以∠AOM=90°，且∠AA、由題意可知，∠A'DH為A'D與平面BCMNB、因?yàn)椤螦'OH即為二面角AC、因?yàn)镸N⊥AO恒成立，故O的軌跡為以AM為直徑的圓弧夾在△ABC內(nèi)的部分，易知其長度為1D、如下圖所示：設(shè)∠AMN=θ在△AOM中，因?yàn)椤螦OM=90°在△ABH中，∠B=π2所以O(shè)H=AH?AO=3cos(θ?π3則cosα=當(dāng)且僅當(dāng)2θ故答案為：BCD．【分析】線面角最小，二面角最大即可判斷AB；先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出MN⊥AO，故其軌跡為圓弧，即可求解即可判斷C；求直線與平面所成角的余弦值，即求OHA'O=OH12．【答案】2【解析】【解答】解：在直觀圖等腰梯形A'B'C'分別過點(diǎn)A'、B'作A'E⊥C'D由題意可知∠A所以，D'E=A因?yàn)锳'B'//EF，A所以EF=A'B將直觀圖還原為原圖形，如圖所示：由題意可知，梯形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB=2CD=2+2，AD⊥CD因此，梯形ABCD的面積為S=(故答案為：22【分析】計(jì)算出梯形的下底的長，作出原圖形，確定原圖中梯形的上、下底的長以及梯形的高，利用梯形的面積公式計(jì)算即可.13．【答案】-7或?【解析】【解答】因?yàn)閟in(α+π)=?35當(dāng)cosα=?45時(shí)，當(dāng)cosα=45時(shí)，故答案為：-7或?1

【分析】利用sin(α+π)=?35結(jié)合誘導(dǎo)公式得出sin14．【答案】[【解析】【解答】f(x)=3sinxcosx+cos2x?12=32sin2x+12+12cos【分析】先利用三角變換化簡函數(shù)f(x)，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換求得g（x）的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域，即可求得g（x）在給定區(qū)間上的值域．15．【答案】（1）解：因?yàn)閨a?|=4，|b|=8，a所以a?則|a（2）解：(a則(a?+2【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得|a（2）由已知可得(a+2b16．【答案】（1）解：f=（2）解：因?yàn)閒(α)∴sin【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而化簡f(α)。

（2）因?yàn)閒(α)17．【答案】（1）解：由圖知，T=π，則ω=2π由圖可得，f(x)在x=π又因?yàn)閳D象經(jīng)過(?π12,0)所以?π6+φ=2kπ,k∈Z又因?yàn)閨φ|<π2，所以函數(shù)又經(jīng)過(0,1)，故f(0)=Asinπ所以函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)=2sin(2x+π（2）解：由題意得，g(x)=2sin[2(x?π因?yàn)閤∈[0,π2]則sin(2x?π3所以y=g(x)在區(qū)間[0,π2]（3）解：因?yàn)閒(x)=2sin(2x+π所以f(α)=2sin(2α+π6)=又因?yàn)棣痢?0,π2)由sin(2α+π6所以cos(2α+所以f(α?π【解析】【分析】（1）通過三個(gè)連續(xù)零點(diǎn)的值可以求出函數(shù)f(x)的周期，根據(jù)最小正周期公式可以求出ω的值，將特殊點(diǎn)代入解析式中，可以求出φ（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換特點(diǎn)可以求出y=g(x)的解析式，由x∈[0（3）根據(jù)f(α)=23求得18．【答案】（1）證明：因?yàn)锳B=AD，O是BD中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥BD，因?yàn)镺A?平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以O(shè)A⊥平面BCD．因?yàn)镃D?平面BCD，所以O(shè)A⊥CD.（2）解：[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為z軸，OD為y軸，垂直O(jiān)D且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，則C(32所以EB=設(shè)n=(x則由EB?n=0EC?又平面BCD的一個(gè)法向量為OA=所以cos?n，又點(diǎn)C到平面ABD的距離為32，所以V所以三棱錐A?BCD的體積為36[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作EG⊥BD，垂足為點(diǎn)G．作GF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)EF，則OA∥因?yàn)镺A⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，∠EFG為二面角E?BC?D因?yàn)椤螮FG=45°，所以EG=FG．由已知得OB=OD=1，故OB=OC=1．又∠OBC=∠OCB=30°，所以BC=3因?yàn)镚D=2VA?BCD[方法三]：三面角公式考慮三面角B?EDC，記∠EBD為α，∠EBC為β，∠DBC=30°記二面角E?BC?D為θ．據(jù)題意，得θ=45°對β使用三面角的余弦公式，可得cosβ化簡可得cosβ=使用三面角的正弦公式，可得sinβ=sinα將①②兩式平方后相加，可得34由此得sin2α如圖可知α∈(0根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為OD的三等分點(diǎn)，即可得BG=4結(jié)合α的正切值，可得EG=23，OA=1從而可得三棱錐【解析】【分析】（1）由AB=AD，得到OA⊥BD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，證得OA⊥平面BCD，進(jìn)而證得OA⊥CD；

（2）[方法一]：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0，m)，求得平面EBC[方法二]作EG⊥BD，連結(jié)EF，由OA∥EG，證得EG⊥平面BCD，得到∠EFG為二面角E?BC?D的平面角，由∠EFG=45°，得到EG=FG[方法三]：記∠EBD為α，∠EBC為β，∠DBC=30°，根據(jù)題意得到θ=45°，結(jié)合cosβ=cosα?cos30°，得到cosβ=19．【答案】（1）解：g(x)=sin所以O(shè)M=(1?（2）解：依題意f(x)=sinx+3由f(x)=85得因?yàn)閤∈(?π所以