人教版2024·七年級上冊1.1探索勾股定理

（第1課時）

第一章

勾股定理

章節(jié)導(dǎo)讀

三角形1.1探索勾股定理1.2勾股定理逆定理（判斷直角三角形）直角三角形邊角關(guān)系全等三角形邊角

關(guān)系勾股定理逆定理勾股數(shù)確定直角三角形勾股定理解直角三角形勾股定理的證明

方法1.3勾股定理的應(yīng)用折疊問題大樹折斷/蘆葦問題幾何體表面最短路徑問題1.1.1學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)（P1-P3）123理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會在直角三角形中運用勾股定理求第三邊，形成勾股定理的應(yīng)用意識；經(jīng)歷探索勾股定理的過程，了解先猜想后驗證的數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)方法和從特殊到一般的數(shù)學(xué)定理驗證方法；會利用面積法（割補法/拼圖法）驗證勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高推理能力。

某大樓不幸發(fā)生了火災(zāi)，消防隊員在消防車上，向受災(zāi)的樓層搭建救災(zāi)梯，樓層、消防車頂所在水平面和救災(zāi)梯組成了一個直角三角形，已知樓與消防車的高度差和樓與消防車的水平距離，如果你們是消防隊員，需準(zhǔn)備多長的梯子呢？情景引入

通過測量樓與消防車的高度差為6m，樓與消防車的水平距離為8m，此時可以轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題：在一個直角三角形中，已知兩條直角邊的長，求斜邊。

其實在一個直角三角形中，任意兩邊確定了就可以求出第三邊，這是因為直角三角形三邊邊長的平方滿足一個關(guān)系，這一關(guān)系就是我們今天要學(xué)的勾股定理，接下來我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)，求出消防梯長。6m8m？溫故知新(1)等腰三角形中的邊角關(guān)系有哪些？(2)直角三角形中的邊角關(guān)系有哪些？

通過以上問題，猜想一下：直角三角形中的邊長關(guān)系是什么？讓我們趕緊進(jìn)入勾股定理的探索吧！※問題2圖案中的兩個小正方形的面積和一個大正方形的面積有什么關(guān)系？新知探究探究1.探究等腰直角三角形三條邊長之間的關(guān)系

圖案中的小正方形是由兩個單位三角形組成，大正方形是由四個單位的三角形組成，所以兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積

S1+S2=S3S2S1S1都是4個等腰直角三角形※問題2根據(jù)問題1的結(jié)論，請你分析等腰直角三角形的三邊的邊長平方之間的關(guān)系？新知探究探究1.探究等腰直角三角形三條邊長之間的關(guān)系S1+S2=2a2，S3=c2，2a2=c2，

等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方設(shè)圖中等腰直角三角形的直角邊長為a,斜邊長為c

S1S2

S3S1+S2=S3拿出準(zhǔn)備好的方格紙（每個小方格代表1個單位面積），在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形（直角邊長數(shù)據(jù)在下表中），分別測量它們的三條邊長，并填入下表。看看三邊長的平方之間有怎樣的關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流。新知探究探究2.數(shù)格子和表格法歸納勾股定理直角三角形aA的面積bB的面積C的面積SA，SB，SC之間的關(guān)系

393918

24248

243913

4163925

問題1.分別求出圖1中正方形A、B、C的面積新知探究探究2.數(shù)格子和表格法歸納勾股定理圖1：正方形A的面積是

9

，同理，正方形B的面積是

9

，正方形C的面積是

18

.A、B：數(shù)格子(3×3=9個)；C：①數(shù)格子(不滿一格按半格算)問題2.用什么方法求出的A、B、C的面積？

問題3.分別求出圖2中的正方形（A、B、C）的面積圖2：正方形A的面積是

4

，同理，正方形B的面積是

4

，正方形C的面積是

8

.問題3.按照上述方法求出圖3，并在小組內(nèi)討論正方形C的面積是怎樣得出的？新知探究探究2.數(shù)格子和表格法歸納勾股定理圖3：正方形A的面積是

4

，正方形B的面積是

9

，正方形C的面積是

13

.①分割為4個直角三角形和1個小正方形②補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積③將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形拿出準(zhǔn)備好的方格紙（每個小方格代表1個單位面積），在紙上畫若干個直角邊為整數(shù)的直角三角形（直角邊長數(shù)據(jù)在下表中），分別測量它們的三條邊長，并填入下表?？纯慈呴L的平方之間有怎樣的關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流。新知探究探究2.數(shù)格子和表格法歸納勾股定理直角三角形aA的面積bB的面積C的面積SA，SB，SC之間的關(guān)系

3939189+9=18242484+4=82439134+99=25

a2

b2c2SA+SB=SC，a2+b2=c2問題5.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明你的理由.新知探究探究2.數(shù)格子和表格法歸納勾股定理∵2.4=0.8×3，1.6=0.8×2，32×22=13；

∴0.82×32+0.82×22=0.82×13問題6.從上面的分析中，歸納直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系？直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方通過上面的活動，我們發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。新知探究歸納定理在古代，我們把直角三角形中較短的直角邊(彎曲成直角的手臂的上半部分)稱為勾，較長的直角邊(彎曲成直角的手臂的下半部分)稱為股，斜邊稱為弦.因此這一定理稱為勾股定理。新知探究歸納定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么a2+b2=c2，Rt△ABC中，∠C=90°,則a2+b2=c2.變形：①c2=a2+b2；

②a2=c2-b2；

③b2=c2-a2；應(yīng)用勾股定理解直角三角形提分筆記

1

應(yīng)用勾股定理求導(dǎo)入問題中的消防梯的長度？應(yīng)用新知2

求出圖中直角三角形第三邊的長度.解：因為62+82=100=102，所以建消防梯長10m

（1）

（2）解：（1）由勾股定理，得152+x2=172，所以x2=64，所以x=8.32+42（2）由勾股定理，得x2=32+42+52，所以x2=169，所以x=13.斜邊直角邊①斜邊

②直角邊題型一.勾股定理與等面積法求三角形一邊上的高題型探究

例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的長.

題型一.勾股定理與等面積法求三角形一邊上的高題型探究

變式1.（求等腰三角形的面積）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面積？

題型二.應(yīng)用勾股定理和方程思想求邊長題型探究例2.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．已知BD=3，AB=5．設(shè)CD長為x．(1)根據(jù)勾股定理，得AC2=

．（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡）(2)求x的值．16+x2方法點撥：用含x的代數(shù)式表示出AC2，根據(jù)∠BAC=90°和勾股定理列出等式，轉(zhuǎn)化為方程題型二.應(yīng)用勾股定理和方程思想求邊長題型探究

變式2-1.如圖，在△ABC中，∠B=90°，點D在AB邊上，若BD=10，BC=5，且AD+AC=BD+BC，求AD的長．x15-x105題型二.應(yīng)用勾股定理和方程思想求邊長題型總結(jié)

變式2-2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=8，BC=6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD=

．10586xx8-x64應(yīng)用勾股定理和方程思想解折疊問題拓展提升例3.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=3cm，BC=5cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合．折痕為DE，則的CD長為

cm．

5-x4x應(yīng)用勾股定理和方程思想解折疊問題拓展提升

變式3.如圖，三角形紙片ABC，∠C=90°，將紙片沿過點C的直線折疊，使點A落在邊AB上點D處，再折疊紙片使點B與點D重合，折痕交BC于點