2.2.2反證法1.理解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程,會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.1.如何理解反證法的概念?剖析:(1)反證法不是直接去證明結(jié)論,而是先否認(rèn)結(jié)論,在否認(rèn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,運(yùn)用演繹推理,導(dǎo)出矛盾,從而必然結(jié)論的真實(shí)性.(2)反證法屬邏輯方法范疇,它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上,即“否認(rèn)之否認(rèn)等于必然”.其中,第一種否認(rèn)是指“否認(rèn)結(jié)論(假設(shè))”;第二個(gè)否認(rèn)是指“邏輯推理成果否認(rèn)了假設(shè)”.反證法屬“間接解題方法”,書(shū)寫(xiě)格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”易錯(cuò)寫(xiě)成“設(shè)”.2.反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么?剖析:用反證法解題的實(shí)質(zhì)就與否認(rèn)結(jié)論導(dǎo)出矛盾,從而證明原結(jié)論對(duì)的.否認(rèn)結(jié)論:對(duì)結(jié)論的背面要一一否認(rèn),不能遺漏;要注意用反證法解題,“否認(rèn)結(jié)論”在推理論證中作為已知使用,導(dǎo)出矛盾是指在假設(shè)的前提下,邏輯推理成果與“已知條件、假設(shè)、公理、定理或顯然成立的事實(shí)”等相矛盾.3.反證法證題的環(huán)節(jié)有哪些?剖析:用反證法證明命題“若p,則q”的過(guò)程能夠用下列框圖體現(xiàn):必然條件p,否認(rèn)結(jié)論q→導(dǎo)出邏輯矛盾→“若p,則q”為假→“若p,則q”為真這個(gè)過(guò)程涉及下面三個(gè)環(huán)節(jié):(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論的背面為真;(2)歸謬——由“反設(shè)”作為條件出發(fā)通過(guò)一系列對(duì)的的推理,得出矛盾;(3)存真——由矛盾成果斷定反設(shè)錯(cuò)誤,從而必然原結(jié)論成立.簡(jiǎn)樸概括反證法的證明過(guò)程就是“反設(shè)→歸謬→存真”.溫馨提示用反證法證明數(shù)學(xué)命題,需要注意下列幾點(diǎn):(1)反證法中的“反設(shè)”是應(yīng)用反證法的第一步,也是核心一步.“反設(shè)”的結(jié)論將是下一步“歸謬”的一種已知條件.“反設(shè)”與否對(duì)的、全方面,直接影響下一步的證明.做好“反設(shè)”應(yīng)明確:①對(duì)的分清題設(shè)和結(jié)論;②對(duì)結(jié)論實(shí)施對(duì)的否認(rèn);③對(duì)結(jié)論否認(rèn)后,找出其全部狀況.(2)反證法的“歸謬”是反證法的核心,其含義是從命題結(jié)論的題設(shè)(即把“反設(shè)”作為一種新的已知條件)及原命題的條件出發(fā),引用一系列論據(jù)進(jìn)行對(duì)的推理,推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的成果.(3)反證法中引出矛盾的結(jié)論,不是推理本身的錯(cuò)誤,而是開(kāi)始假定的“結(jié)論的背面”是錯(cuò)誤的,從而必然原結(jié)論是對(duì)的的.(4)宜用反證法證明的題型有:①某些基本命題、基本定理;②易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;③“否認(rèn)性”命題;④“唯一性”命題;⑤“必然性”命題;⑥“至多”“最少”類(lèi)命題;⑦涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題.題型一題型二題型三題型四用反證法證明否(肯)定式命題

分析:按反證法的環(huán)節(jié),即先否認(rèn)結(jié)論,把假設(shè)和已知結(jié)合起來(lái),推出矛盾,即假設(shè)不成立.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思結(jié)論為必然形式或者否認(rèn)形式的命題的證明慣用反證法,通過(guò)反設(shè)將必然命題轉(zhuǎn)化為否認(rèn)命題或?qū)⒎裾J(rèn)命題轉(zhuǎn)化為必然命題,然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理,很容易推出矛盾,從而達(dá)成證明的目的.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四用反證法證明唯一性命題【例2】求證:兩條相交直線(xiàn)有且只有一種交點(diǎn).分析:根據(jù)題意寫(xiě)出已知、求證,再用反證法,即否認(rèn)結(jié)論,把假設(shè)和已知條件結(jié)合起來(lái)去推出矛盾.題型一題型二題型三題型四證明:已知:a與b是兩條相交直線(xiàn),求證:a與b有且只有一種交點(diǎn).證明:假設(shè)結(jié)論不對(duì)的,則有兩種可能:a與b無(wú)交點(diǎn),或不止有一種交點(diǎn).若直線(xiàn)a,b無(wú)交點(diǎn),則a∥b或a,b是異面直線(xiàn),與已知矛盾.若直線(xiàn)a,b不止有一種交點(diǎn),則最少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,這樣同時(shí)通過(guò)點(diǎn)A,B就有兩條直線(xiàn),這與“通過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)”相矛盾.故直線(xiàn)a與b有且只有一種交點(diǎn).總而言之,兩條相交直線(xiàn)有且只有一種交點(diǎn).題型一題型二題型三題型四反思1.用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意下列三點(diǎn):(1)必須先否認(rèn)結(jié)論,即必然結(jié)論的背面,當(dāng)結(jié)論的背面呈現(xiàn)多樣性時(shí),必須羅列出多個(gè)可能結(jié)論,缺少任何一種可能,反證都是不完全的.(2)反證法必須從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的背面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證,否則,僅否認(rèn)結(jié)論,不從結(jié)論的背面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多個(gè)多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與事實(shí)矛盾等,推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.2.注意本題反設(shè)中不能遺漏“無(wú)交點(diǎn)”這種狀況.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象持續(xù)不間斷,且f(x)在[a,b]上單調(diào),f(a)>0,f(b)<0.求證:函數(shù)y=f(x)在[a,b]上有且只有一種零點(diǎn).證明:由于y=f(x)的圖象在[a,b]上持續(xù)不間斷,又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0,故y=f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在零點(diǎn)x0.下面用反證法證明只有一種零點(diǎn)x0.假設(shè)y=f(x)在[a,b]上還存在一種零點(diǎn)x1(x1≠x0),則f(x1)=0.由函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào),且f(a)>0,f(b)<0知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減.若x1>x0,則f(x1)<f(x0),即0<0,矛盾,若x1<x0,則f(x1)>f(x0),即0>0,矛盾.因此假設(shè)不成立,即f(x)在[a,b]上有且只有一種零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四用反證法證明“至多”或“最少”類(lèi)命題【例3】已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b擬定的三條拋物線(xiàn)最少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).分析:假設(shè)三條拋物線(xiàn)都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)→演繹推理,運(yùn)用Δ≤0得出矛盾→原命題得證題型一題型二題型三題型四證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)擬定的三條拋物線(xiàn)都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,因此2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.因此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.因此a=b=c.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證.題型一題型二題型三題型四反思1.當(dāng)命題出現(xiàn)“至多”“最少”“唯一”等形式時(shí),適合用反證法.2.常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】已知下列三個(gè)方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0最少有一種方程有實(shí)根,求