習(xí)題課第八章<<<二面角的平面角的常見(jiàn)解法1.掌握二面角的定義及其平面角的作法.(重點(diǎn))2.會(huì)使用定義法、垂面法、垂線法、射影面積法求二面角的大小.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)一、定義法求二面角二、垂面法求二面角課時(shí)對(duì)點(diǎn)練三、垂線法求二面角內(nèi)容索引四、射影面積法隨堂演練定義法求二面角一定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

例

1

利用二面角的定義，在二面角的棱上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，解題時(shí)應(yīng)先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角.

反思感悟

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點(diǎn)C，且AC=2BC.(1)求證：BC⊥PA；跟蹤訓(xùn)練

1∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰好是圓O上的點(diǎn)C，∴PC⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴BC⊥PC，又AB是圓O的直徑，有BC⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PA?平面PAC，∴BC⊥PA.(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.

二垂面法求二面角垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面各有一條交線，這兩條交線所成的角即二面角的平面角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.例

2∵SB=BC且E是SC的中點(diǎn)，∴BE是等腰△SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE?平面BDE，∴SC⊥平面BDE，又BD?平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA?平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE=DE，平面SAC∩平面BDC=DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，

反思感悟二面角中如果存在一個(gè)平面與棱垂直，且與二面角的兩個(gè)半平面交于兩條射線，那么這兩條射線所成的角即為該二面角的平面角.

如圖，設(shè)P是二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，P到平面α，β的距離PA，PB分別為8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.跟蹤訓(xùn)練

2如圖，作AC⊥l于C，連接BC，PC，∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l，又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，∴l(xiāng)⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴l(xiāng)⊥PC，∵PB⊥β，l?β，∴PB⊥l，又PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC，∴l(xiāng)⊥平面PBC，∴平面PAC與平面PBC重合，且l⊥BC，∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，

垂線法求二面角三垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)A向另一個(gè)半平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

如圖，平面β內(nèi)一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.例

3

反思感悟二面角中過(guò)一個(gè)半平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線與二面角的棱的垂線，連接兩個(gè)垂足，應(yīng)用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.

跟蹤訓(xùn)練

3√∵以正方形A1BCD的對(duì)角線BD為棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，連接A1C交BD于點(diǎn)O，連接AO，如圖所示.則AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，∴AO⊥平面BCD，取CD的中點(diǎn)M，連接OM，AM，則OM∥BC，∴OM⊥CD，根據(jù)三垂線定理知AM⊥CD，∴∠AMO即為二面角A-CD-B的平面角.不妨設(shè)正方形A1BCD的邊長(zhǎng)為2，

射影面積法四

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.例

4

反思感悟

1.知識(shí)清單：利用二面角的定義及其平面角的作法求二面角.2.方法歸納：定義法、垂面法、垂線法、射影面積法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：尋找二面角的平面角出錯(cuò)，求二面角的三角函數(shù)值時(shí)出錯(cuò).隨堂演練五

√1234

1234

√1234

1234

123460°

12341

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練六答案12345678910111213141516題號(hào)12345678答案CBBDAABC題號(hào)1112131415答案CACDBC75°C對(duì)一對(duì)答案123456789101112131415169.由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱長(zhǎng)都為1，得△BCD為正三角形，如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥CD，在平面ADC中，過(guò)E作AD的平行線交AC于點(diǎn)F，則∠BEF為二面角A-CD-B的平面角.答案123456789101112131415169.

答案1234567891011121314151610.設(shè)PA=AB=2，過(guò)點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)作AE⊥BC，連接PE，如圖所示，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE?平面PAE，答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151616.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB?平面PAB，答案1234567891011121314151616.所以AD⊥AB.因?yàn)锽C2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，

根據(jù)平面知識(shí)可知AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.答案1234567891011121314151616.(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CP于點(diǎn)F，連接DF，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD=AC，答案1234567891011121314151616.DE?平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，因?yàn)镃P?平面PAC，所以DE⊥CP，又EF⊥CP，EF∩DE=E，EF，DE?平面DEF，所以CP⊥平面DEF，所以DF⊥CP，答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

1.如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，使得∠B'AC=60°.則二面角B'-AD-C的大小是A.30°

B.60°C.90°D.120°12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固答案√

12345678910111213141516答案2.已知二面角α-l-β的大小為130°，兩條異面直線a，b滿足a?α，b?β，且a⊥l，b⊥l，則a，b所成角的大小為A.40° B.50° C.130° D.140°如圖，在直線l上任取一點(diǎn)O，作OA∥b，OB∥a，由a?α，b?β且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則有∠AOB=130°，又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小為180°-130°=50°.√12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案√

12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，則點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的A.內(nèi)心

B.外心

C.垂心

D.重心因?yàn)槎娼茿-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影到△BCD的三邊的距離都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的內(nèi)心.√12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案√√

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案7.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，則二面角C-BB1-D的正切值是

.

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案8.在60°的二面角的一個(gè)半平面上有一點(diǎn)C，它到棱的距離等于4，則點(diǎn)C到另一個(gè)平面的距離為

.

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案10.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案11.已知二面角α-MN-β的平面角為θ1，AB?α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2為銳角)，AB與β的夾角為θ3，則下列關(guān)系式成立的是A.cosθ3=cosθ1·cosθ2B.cosθ3=sinθ1·cosθ2C.sinθ3=sinθ1·sinθ2D.sinθ3=cosθ1·sinθ2√12345678910111213141516綜合運(yùn)用答案

12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案√√連接BD，如圖所示，對(duì)于A，由正方體性質(zhì)可知，BB1⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，又因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD，又BB1∩BD=B，且BB1，BD?平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因?yàn)锽1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正確；12345678910111213141516答案對(duì)于B，連接A1D，平面B1CD即為平面B1A1DC，又A1C1∩平面B1A1DC=A1，即A1C1與平面B1CD相交，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，BC⊥CD，所以∠B1CB即為二面角B1-CD-B的平面角，顯然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小為45°，所以C正確；12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案√

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案75°根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P在銳二面角α-l-β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥平面α，垂足為A，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥平面β，垂足為B，因?yàn)镻A⊥α，l?α，則PA⊥l，同理PB⊥l，而PA∩PB=P，PA，PB?平面PAB，則l⊥平面PAB，設(shè)平面PAB與直線l的交點(diǎn)為C，連接PC，AC，BC，PC，AC，BC?平面PAB，則有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案拓廣探究

√12345678910111213141516答案

12