高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省南充市2025屆高三高考適應性考試（三診）數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，若，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由題意知，則在復平面內復數(shù)z對應的點為，該點位于第三象限.故選：C.2.集合，，則（）A.或 B.C.或 D.【答案】A【解析】已知集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調遞增.因為，所以，即集合.已知集合，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，即集合.所以，所以或.故選：A.3.設l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】對A：因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關系不能確定，故A錯誤；對B：因為兩條直線平行，其中一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，故B正確；對C：當，，時，平面的位置關系不能確定，故C錯誤；對D：如圖：正方體中，平面平面，平面，平面，且.所以兩個平面互相垂直，一個平面的垂線與另一個平面的平行線未必平行，故D錯誤.故選：B4.某市20000名學生參加一次數(shù)學測試（滿分150分），學生的測試成績X近似服從正態(tài)分布，則測試成績在內的學生人數(shù)約為（）附：（若，則，）A.2717 B.2718 C.6827 D.9545【答案】C【解析】因為.所以測試成績在內的學生人數(shù)約為：.故選：C5.函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖可知的圖象關于原點對稱，則為奇函數(shù)，對于A：定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，不符合題意，故A錯誤；對于C：定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，不符合題意，故C錯誤；對于D：定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，當時，，，所以恒成立，不符合題意，故D錯誤；故利用排除法可知選項B符合題意.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.如圖是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若，，則該圓臺的內切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故，，故圓臺上底面半徑：下底面半徑：如圖，取圓臺的軸截面，則圓臺的高：，則該圓臺的內切球的半徑：故內切球表面積：故選：D8.已知橢圓：和雙曲線：有公共的焦點，其中為左焦點，P是與在第一象限的公共點，線段的垂直平分線經(jīng)過坐標原點，若的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，則由題：，又的離心率為，所以，即，，即，令線段的垂直平分線與線段的交點為M，則M是線段的中點，又O是的中點，則，所以，又，所以，所以，則，即，所以的漸近線方程為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2024年10月央行再次下調人民幣存款利率，存款利率下調是為了刺激經(jīng)濟增長促進投資和消費而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來的人民幣一年定期存款利率：時間2018年2019年2020年2021年2022年2023年2024年利率%1.551.501.751.751.551.851.65關于表中的7個存款利率數(shù)據(jù)，下列結論正確的是（）A.極差為0.35 B.平均數(shù)小于1.65C.中位數(shù)為1.65 D.20%分位數(shù)為1.50【答案】AC【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，對于A，極差為，故A正確，對于B，平均數(shù)為，故B錯誤，對于C，由題意得這組數(shù)共有7個數(shù)，則中位數(shù)為第4個數(shù)，即，故C正確.對于D，因為，所以分位數(shù)為第2個數(shù)，即，故D錯誤，故選：AC10.已知等式其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，將a視為自變量x（，），b為x的函數(shù)，記為，則下列結論正確的是（）A.B.C.若方程有4個不等的實根，則D.當時，若的兩實根為，，則【答案】ABD【解析】由題意知，，故即，且，故，對于A，，故A正確；對于B，故在上，單調遞增；和上，單調遞減；故且故，故B正確；對于C，，故為偶函數(shù)，則有4個不等的實根，即，有2個不等的實根，且在和上單調遞減，在上單調遞增，故，即，故C錯誤；對于D，由的單調性可知，當時，若的兩實根為，，則，且，故，引入不等式，證明過程如下：不妨設，因為，設，，則問題轉化為：，．令，所以在上恒成立，所以在上單調遞增；所以，故，成立，所以．故，故，故D正確.故選：ABD11.已知曲線，下列結論正確的是（）A.曲線C關于x軸對稱B.曲線C上任一點到坐標原點O的距離都不超過2C.曲線C內部（不含邊界）有4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）D.曲線C構成的封閉圖形面積大于的面積【答案】ABD【解析】對于A,設點為曲線上任意一點，它關于軸的對稱點是，將代入曲線方程得，化簡得，此時方程成立，故也在曲線上，則軸是曲線的一條對稱軸，故A正確；對于B，由可得，（當時取等號），，即曲線C上任一點到坐標原點O的距離都不超過2，故B正確；對于C，令，解得或，即曲線經(jīng)過，不含邊界無整數(shù)解，由B可知曲線C上任一點到坐標原點O的距離都不超過2，，令，得無整數(shù)解，令，得無解，令，得，即曲線經(jīng)過，不含邊界無整數(shù)解，令，得無解，因此曲線只能經(jīng)過4個整點，，，曲線C內部沒有整點，故C錯誤；對于D,由上分析，作出該曲線，可見圖象包含圓，所以曲線C構成的封閉圖形面積大于的面積，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則______.【答案】【解析】由題意可得：，即，所以，故答案為：13.已知曲線，圓，若直線與曲線在處的切線平行，且直線被圓C截得的弦長為6，則直線的方程為______.【答案】【解析】對求導可得，所以，故直線的斜率為1，又的半徑為圓心為，直線被圓C截得的弦長為6，故直線剛好經(jīng)過圓C的圓心，故方程為，即，故答案為：14.用平面截圓錐可得到不同的圓錐曲線.如圖，已知圓錐的側面積為，它的軸截面為等腰直角三角形.過圓錐底面圓心O作平面，使圓錐軸與平面成45°角，此時平面截圓錐側面所得圖形記為拋物線C，則拋物線C的焦點到準線的距離為______.【答案】1【解析】設圓錐底面半徑為，因為軸截面為等腰直角三角形.所以，母線長為，所以側面積為：，解得，如圖：取的中點，過作，連接，易知，由圓錐的結構特點易知，又為平面內兩條相交直線，所以平面，又在平面，所以，又為平面內兩條相交直線，所以平面，所以即為圓錐軸與平面成45°角，即，.O為AB的中點，M是中點，所以OM為中位線，所以,所以.又.以M為原點，MO為x軸建立坐標系如圖示，則.可設拋物線，把帶入拋物線方程可得：，所以拋物線為：，焦點，所以焦點到準線的距離為，故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求外接圓面積的最小值.解：（1）由，根據(jù)正弦定理，則，即，由，則，由，即，則，解得.（2）由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，則的最小值為，設的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的最小值為，所以外接圓面積的最小值為.16.在平面直角坐標系中，，，若點P是平面上一動點，且的周長為，設動點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點，且，，求k值.解：（1）由題意可知：，.由橢圓的定義知，動點P的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.可設方程為，則，，解得，則，故曲線的方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去，整理可得.則.設，，的中點為，則由韋達定理可知：，.，.∵，，則，如圖所示.又，則，即，解得.17.如圖，在等腰梯形中，，，E是的中點，，將沿著翻折成.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（1）證明：在梯形ABCD中，連接DE，因為E是BC的中點，，所以，又，所以四邊形ABED是平行四邊形，同理可證四邊形AECD也是平行四邊形，因為，所以四邊形ABED是菱形，所以，翻折后，有，，因為，平面，所以平面，因為四邊形AECD是平行四邊形，所以，所以平面；（2）解：平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，由（1）知，，故AE，，DM兩兩垂直，以M為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，因為，所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形，所以，，設平面的法向量為，則，令，得，所以，易知平面的一個法向量為，所以，由圖，平面與平面夾角為銳角，故平面與平面夾角的余弦值為；（3）解：假設線段上存在點P，使得平面，過點P作交于Q，連接MP，AQ，如圖所示，所以，即A，M，P，Q四點共面，因為平面，平面AMPQ，平面平面，所以，所以四邊形AMPQ為平行四邊形，所以，所以P是的中點，故在線段上存在點P，使得平面，且.18.甲、乙兩個不透明的口袋內裝有除顏色外大小質地完全相同的若干個小球，已知甲口袋有個紅球和4個白球，乙口袋有個紅球和2個白球.現(xiàn)在小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球.（1）當時.（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個白球的概率;（ii）設小明4次摸球中，摸出白球的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）當時，設小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P，則當m為何值時，P最大？解：（1）（i）設事件：小明4次摸球中，至少摸出1個白球，則.（ii）由題可知，可能的取值為，甲口袋每次摸到紅球的概率為，每次摸到白球的概率為，乙口袋每次摸到紅球的概率為，每次摸到白球的概率為，,,，，，分布列如下，01234所以.（2）小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率P，因為，所以，令，則，所以當時，；當時，；所以函數(shù)在單調遞增，單調遞減，所以當，即時，P最大，最大值為.19.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法.如圖，r是函數(shù)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)，，…，，在點處作的切線，則在處的切線與軸交點的橫坐標是，同理在處的切線與x軸交點的橫坐標是，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列，從圖中可以看到，較接近r，較接近r，……，當n很大時，很小，我們就可以把的值作為r的近似值，即把作為函數(shù)的近似零點.現(xiàn)令.（1）當時，求的近似解，；（2）在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和；（3）當時，令，若時，有兩個不同實數(shù)根，.求證：.解：（1）由題意可得在處切線方程為，令，得，同理可得在處的切線方程為，令，得，所以對于函數(shù)，，故，；（2）由（1）可知存在遞推關系，構造等比數(shù)列，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，所以數(shù)列前項和；（3）由題意可得，則，令，得，當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，又當時，；當時，，且