2024—2025學(xué)年高二年級(jí)5月聯(lián)合測評(píng)數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線與直線間的距離為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】可變?yōu)?，則兩條平行直線間的距離為．故選：C.2.數(shù)學(xué)家楊輝在其專著中提出了一些新的高階等差數(shù)列，其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列1，2，4，7，11從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列1，2，3，4為等差數(shù)列，則稱數(shù)列1，2，4，7，11為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其中前幾項(xiàng)分別為5，8，13，20，記該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差組成新數(shù)列，則（）A.13 B.15 C.17 D.19【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，從而可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出答案．【詳解】新數(shù)列為3，5，7，9，11，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以．故選：B．3.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（）A.0.05 B.0.3 C.0.4 D.0.45【答案】A【解析】【分析】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解.【詳解】由正態(tài)分布對(duì)稱性可設(shè)，則，由題意得，解得，故．故選：A.4.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值，則（）A. B. C.0 D.或1【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值為零可求或，檢驗(yàn)后可得參數(shù)的值.【詳解】由題知在時(shí)取得極大值，，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，區(qū)間上單調(diào)遞增；由在區(qū)間上單調(diào)遞減．此時(shí)在時(shí)取得極大值，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，故舍去．．故選：A.5.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為可得，利用通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】∵展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，∴，故，∴展開式的第項(xiàng)為，由得，∴，即含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.6.給圖中五個(gè)區(qū)域染色，有4種不同的顏色可供選擇，要求有公共邊的區(qū)域染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.216種 B.192種 C.180種 D.168種【答案】D【解析】【分析】按照一定的順序?qū)ξ鍌€(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，依次考慮每個(gè)區(qū)域的染色選擇，根據(jù)相鄰區(qū)域顏色不同的要求來確定每種情況下的染色方法數(shù).【詳解】先對(duì)染色，有種方法，若2和3同色，則不同的染色方法有72種；若2和3不同色，則不同的染色方法有種．綜上所述，不同的染色方法有種．故選：D.7.如圖，在四面體ABCD中，與為等邊三角形，且，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn)，則異面直線BE，CF所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作平面于點(diǎn)，證點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，且，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】如圖，作平面于點(diǎn)，因，則為的外心，又，故點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，且．故可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)，則，則，，則有，因E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn)，故，，則，，設(shè)直線所成的角為，則，故選：A.．8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．若，為的焦點(diǎn)，則與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，可知，利用拋物線的定義結(jié)合三角形相似可求出的值.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，由拋物線的定義可得，，拋物線的焦點(diǎn)，直線+2過定點(diǎn)，，，，．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線和，其中，且，則（）A.與虛軸長相等 B.與焦距相等C.與離心率相等 D.與漸近線相同【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)條件，利用雙曲線的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】雙曲線的虛軸在軸上，虛軸長為，雙曲線的虛軸在軸上，虛軸長為，故A錯(cuò)誤；雙曲線和焦距均為，故B正確；雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，故C錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線為，雙曲線的漸近線為，故D正確．故選：BD.10.甲箱中有3紅球，2個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球放入乙箱中，再從乙箱中摸出2個(gè)球，分別用表示從甲箱中摸出的球是紅球、白球和黑球的事件，用表示從乙箱中摸出的2個(gè)球顏色不同的事件，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出可判斷A的正誤，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式計(jì)算可判斷BC的正誤，根據(jù)全概率公式求出后可判斷D的正誤【詳解】選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若事件發(fā)生，則乙箱中有4個(gè)紅球和2個(gè)黑球，所以；若事件發(fā)生，則乙箱中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球和2個(gè)黑球，選項(xiàng)B正確；若事件發(fā)生，則乙箱中有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，選項(xiàng)D正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，必有兩個(gè)極值點(diǎn)B.過點(diǎn)可以作曲線的3條不同切線，則C.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則D.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)解的問題；對(duì)于選項(xiàng)B，首先求出函數(shù)在過點(diǎn)的切線方程，然后構(gòu)造新函數(shù)，將切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)樾潞瘮?shù)與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過判斷新函數(shù)的單調(diào)性和極大值極小值，即可求出交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)的取值范圍；對(duì)于選項(xiàng)C，首先將函數(shù)化簡成含有三個(gè)零點(diǎn)的式子相乘的形式，然后展開，根據(jù)等差數(shù)列，可求得的關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)D,首先根據(jù)已知條件將表示出來，然后代入D項(xiàng)的式子中，化簡計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，故有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，即選項(xiàng)A正確；，設(shè)切點(diǎn)為，在點(diǎn)處的切線方程為，又切線過點(diǎn)，，解得，令，過點(diǎn)可以作曲線切線條數(shù)可轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令，解得或，令，解得或，令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，時(shí)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)可以作曲線的3條切線，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，，，，若成等差數(shù)列，則，，，即選項(xiàng)C正確；又，則，，同理，，，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的的最大值為________．【答案】41【解析】【分析】根據(jù)已知求出通項(xiàng)公式，及，進(jìn)而解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，所以的公差為，故，故，令，解得，故的最大值為41．故答案為：4113.已知過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為________．【答案】或【解析】【分析】由題可求得圓心到直線的距離為1，討論直線斜率是否存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】圓的半徑為2，弦長為圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線距離為1得，解得．直線的方程為或．故答案為：或14.為了解正在研發(fā)的新產(chǎn)品在18~22歲和23~27歲兩個(gè)年齡段青年群體中的受眾面，某科技公司發(fā)布問卷展開調(diào)查，從這兩個(gè)年齡段的青年群體中隨機(jī)抽取160人作為調(diào)查樣本，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)后得到如下列聯(lián)表，其中．年齡段興趣感興趣不感興趣18~22歲23~27歲若通過計(jì)算，得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否對(duì)新產(chǎn)品感興趣與青年的年齡段有關(guān)，則在被調(diào)查的位于23~27歲年齡段的80名青年中對(duì)新產(chǎn)品感興趣的人數(shù)的最小值為________．附：，其中．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】66【解析】【分析】代入公式，得到不等式，求出的最小值為16，得到答案.【詳解】由題意可得，即．函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，且，，，的最小值為16，在被調(diào)查的位于23～27歲年齡段的80名青年中對(duì)新產(chǎn)品感興趣的人數(shù)的最小值為．故答案為：66四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)，為其前n項(xiàng)和，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求其和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，整理得，即，因，則得，解得或，依題意，故故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】因，則，故．16.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到切線斜率，再用點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）由求導(dǎo)得到，要使函數(shù)的在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，則在區(qū)間上有解，得到，解得的取值范圍即可.【小問1詳解】時(shí)，，則，切線方程為，即．【小問2詳解】由，則，要使函數(shù)的在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，則在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，則解得，即的取值范圍為．17.某地區(qū)因其獨(dú)特的地理位置和生態(tài)環(huán)境，對(duì)氣候變化較為敏感．地理研究小組為了研究該地區(qū)生態(tài)情況，對(duì)該地區(qū)年平均氣溫x（單位：℃）與年降水量y（單位：mm）之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．小組收集了過去10年該地區(qū)的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：平均氣溫12.112.511.312.413111.511.011.312.612.2年降水量850880820860895840800830865860附：，，，，相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，其中．（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（2）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（a，b的計(jì)算結(jié)果均精確到1），預(yù)測年平均氣溫為13.5℃時(shí)的年降水量．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求，再代入求，最后根據(jù)回歸方程求預(yù)測值.【小問1詳解】樣本的相關(guān)系數(shù)為，其中，．【小問2詳解】易得，，，，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，將13.5攝氏度代入方程，得故預(yù)測年平均氣溫為13.5℃時(shí)的年降水量為．18.某電子零部件代加工工廠生產(chǎn)的零部件次品率為10%，現(xiàn)進(jìn)行多批次抽檢，假設(shè)各零部件是否為次品相互獨(dú)立.（1）從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽到的零部件中正品數(shù)多于次品數(shù)的概率；（2）若從另一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記抽到的零部件的正品數(shù)與次品數(shù)差的絕對(duì)值為，求的分布列與期望；（3）若從某一批次的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，記抽到的零部件的次品數(shù)為，且為奇數(shù)的概率為，求使的的最大值.注：.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)分布的概率公式可求解；（2）由題意可得的取值依次為1，3，利二項(xiàng)分布的概率公式可求分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望；（3）由題意得，為奇數(shù)的概率為，則為偶數(shù)的概率為，利用二項(xiàng)式的展開式可求得，進(jìn)而計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知該批零部件次品率為10%，正品率為，因?yàn)閺脑撆悴考须S機(jī)抽取4件，抽到的零部件中正品數(shù)多于次品數(shù)，所以次品數(shù)為0件或1件，所以所求概率為.【小問2詳解】設(shè)抽取的零部件次品數(shù)為，則，所以的取值依次為1，3，，，，所以的分布列為130.270.73.【小問3詳解】由題意得，為奇數(shù)的概率為，則為偶數(shù)的概率為，設(shè)，則，，以上兩式相減得，所以由得，所以，，所以，所以的最大值為20.19.已知是定義在I上的函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則稱為I上的非負(fù)函數(shù)．（1）判斷是否為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，并說明理由；（2）已知n為正整數(shù)，為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，記a的最大值為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）已知且，函數(shù)，若為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，為（2）中的等差數(shù)列，求證：．【答案】（1）是區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)非負(fù)函數(shù)的概念求導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性確定最值即可得結(jié)論；（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)性可得，再結(jié)合非負(fù)函數(shù)的概念與等差數(shù)列的概念判斷即可證得結(jié)論；（3）求導(dǎo)，確定單調(diào)性，再由為區(qū)間上非負(fù)函數(shù)，得，則，由（1）知在上恒成立，可得，或成立得，求和之后從而證得結(jié)論.【小問1詳解】是區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)．理由如下：，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，故是上的非負(fù)函數(shù)．【小問