專題10拋物線及其方程一、考情分析二、考點梳理考點一：拋物線的定義定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．知識點詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點F不在準線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化.考點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）③拋物線標準方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應展開相應的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況?？键c三：拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程的幾何性質范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.

三、題型突破重難點題型突破1拋物線的定義及應用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三質檢）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，且|AF|＝5，O為坐標原點，則△OAF的面積為（）A．2 B． C． D．4（2）、（2022·上海市復興高級中學高三開學考試）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【變式訓練11】、（2022·陜西渭南·高一期末）設圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓【變式訓練12】．（河南省安陽一中2019屆期末）若拋物線y2＝2x上的一點M到坐標原點O的距離為eq\r(3)，則點M到該拋物線焦點的距離為________．

重難點題型突破2拋物線的幾何性質例2．（1）、（2022·江西·高三階段練習（文））若拋物線上一點P到焦點的距離為6，則點P到x軸的距離為____________．（2）、（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．（3）、（2022·云南大理·模擬預測）（多選題）設點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標原點）【變式訓練21】、（2022·全國·成都七中高三開學考試（理））設?是拋物線?的焦點，點A?在拋物線?上，?，若?，則?____________.【變式訓練22】、（2022·浙江嘉興·高三階段練習）（多選題）如圖，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，，準線與軸的交點為，則（

）A．直線與拋物線必相切 B．C． D．【變式訓練23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知點是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9重難點題型突破3求拋物線的標準方程例3．（1）、（2022·全國·高三專題練習）、是雙曲線的兩個焦點，拋物線的準線過雙曲線的焦點，準線與漸近線交于點，，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【變式訓練31】、（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學高二期末）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為，離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．

例4．（2022·全國·高二課時練習）分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程．(1)準線方程是；(2)拋物線的焦點是雙曲線的左頂點；(3)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，.【變式訓練41】、（2022·全國·高二課時練習）根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標準方程：(1)焦點為，，離心率為；(2)焦點為，，離心率為3：(3)拋物線的準線為；(4)橢圓與雙曲線有相同的焦點，且短軸長為2．

重難點題型突破4直線與拋物線位置關系例5、（2022·浙江·高三階段練習）如圖，已知拋物線的焦點F，且經過點，．(1)求p和m的值；(2)點M，N在C上，且．過點A作，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值．

【變式訓練51】、（2022·湖南·周南中學高三階段練習）已知拋物線與直線交于M，N兩點，且線段MN的中點為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點P作直線m交拋物線于點A，B，是否存在定點M，使得以弦AB為直徑的圓恒過點M．若存在，請求出點M坐標；若不存在，請說明理由．

重難點題型突破5拋物線與其他圓錐曲線的綜合問題例6.（1）、（2020·安徽省滁州市定遠育才學校高三模擬）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，且直線與圓交于兩點.若，則直線的斜率為A． B．C． D．（2）、（2022·湖南永州·一模）（多選題）拋物線，點在其準線上，過焦點的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），則下列說法正確的是（

）A．B．有可能是鈍角C．當直線的斜率為時，與面積之比為3D．當直線與拋物線只有一個公共點時，【變式訓練61】、（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的焦點為、，拋物線的準線與交于、兩點，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【變式訓練62】、（2022·全國·高三階段練習）（多選題）已知拋物線過點，過點的直線交拋物線于，兩點，點在點右側，若為焦點，直線，分別交拋物線于，兩點，則（

）A． B．C．A，，三點共線 D．四、定時訓練（30分鐘）1．（2022·江蘇南通·高三階段練習）拋物線的焦點到準線的距離是（

）.A． B． C．2 D．42．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（2023·全國·高三專題練習）已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）（多選題）已知拋物線C：的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結論正確的有（

）A．焦點F到拋物線準線的距離為2B．若，則點P的坐標為C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2D．若點M的坐標為，則的最小值為45．（2022·上海寶山·高三階段練習）如圖拋物線型拱橋，當拱橋的頂點距離水面3米時，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為___________米.6．（2022·全國·高二課時練習）若過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則的取值范圍是______．

7．（2022·全國·高二課時練習）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)經過點；(2)焦點為直線與坐標軸的交點．8．（2020·河南信陽·高二期中（文））已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個