專題01概率統(tǒng)計之二項分布一、解答題1．電子科技公司研制無人機，每架無人機組裝后每周要進行次試飛試驗，共進行次.每次試飛后，科研人員要檢驗其有否不良表現(xiàn).若在這次試飛中，有不良表現(xiàn)不超過次，則該架無人機得分，否則得分.假設每架無人機次檢驗中，每次是否有不良表現(xiàn)相互獨立，且每次有不良表現(xiàn)的概率均為.（1）求某架無人機在次試飛后有不良表現(xiàn)的次數的分布列和方差；（2）若參與試驗的該型無人機有架，在次試飛試驗中獲得的總分不低于分，即可認為該型無人機通過安全認證.現(xiàn)有架無人機參與試飛試驗，求該型無人機通過安全認證的概率是多少？2．某俱樂部的甲、乙兩名運動員入圍某乒乓球個人賽的半決賽后，將分別與其他俱樂部的兩名運動員進行比賽，勝者可進入決賽．已知半決賽采用五局三勝制，即首先獲勝三局的運動員勝出假設甲、乙每局比賽獲勝的概率分別為，，且每局比賽的結果相互獨立．（1）求該俱樂部提前鎖定冠軍的概率；（提前鎖定冠軍是指同一俱樂部的兩名運動員均進入決賽）；（2）在該俱樂部提前鎖定冠軍的條件下，記本次半決賽所進行的局數為，求的分布列和數學期望．3．現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲?乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；（3）用分別表示這4個人中去參加甲?乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列.4．從2020年開始，學習強國平臺開展了兩項答題活動，一項為“爭上游答題”，另一項為“雙人對戰(zhàn)”.“爭上游答題”項目的規(guī)則如下：在一天內參與“爭上游答題”活動，僅前兩局比賽有積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分，每局比賽相互獨立.“雙人對戰(zhàn)”項目的規(guī)則如下：在一天內參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽有積分，獲勝得2分，失敗得1分，每局比賽相互獨立.已知甲參加“爭上游答題”活動，每局比賽獲勝的概率為；甲參加“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽獲勝的概率為.（1）若甲連續(xù)4天參加“雙人對戰(zhàn)”活動，求甲這4天參加“雙人對戰(zhàn)”項目的總得分不低于6分的概率；（2）記甲某天參加兩項活動（其中“爭上游答題”項目參與兩局以上）的總得分為，求的分布列和數學期望.5．甲、乙兩隊進行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取勝的球隊積3分，負隊積0分；以取勝的球隊積2分，負隊積1分，已知甲、乙兩隊比賽，甲每局獲勝的概率為．（1）甲、乙兩隊比賽1場后，求甲隊的積分的概率分布列和數學期望；（2）甲、乙兩隊比賽2場后，求兩隊積分相等的概率．6．為普及傳染病防治知識，增強學生的疾病防范意識，提高自身保護能力，校委會在全校學生范圍內，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關知識有獎競賽（滿分100分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內的學生獲三等獎，得分在內的學生獲二等獎，得分在內的學生獲一等獎，其它學生不得獎．教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表．競賽成績人數61218341686（1）從該樣本中隨機抽取2名學生的競賽成績，求這2名學生恰有一名學生獲獎的概率；（2）若該校所有參賽學生的成績近似地服從正態(tài)分布，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若該校共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中超過79分的學生人數（結果四舍五入到整數）；②若從所有參賽學生中（參賽學生人數大于10000）隨機抽取4名學生進行座談，設其中競賽成績在64分以上的學生人數為，求隨機變量的分布列和數學期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．7．新疆棉以絨長?品質好?產量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價為120元/件，總量中有30%將按照原價200元/件的價格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價為160元/件，總量中有20%將按照原價300元/件的價格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客.這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時按照原價6折的價格銷售給顧客，并能全部售完.（1）通過計算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價成本）；（2）某服裝專賣店店慶當天，全場A，B兩類服裝均以會員價銷售.假設每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率為.已知該店店慶當天這兩類服裝共售出5件，設X為該店當天所售服裝中B類服裝的件數，Y為當天銷售這兩類服裝帶來的總收益.求當時，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.8．2021年7月18日第30屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數據按照，，，，，，，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學生成績的中位數；（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在，，，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中成績在，的人數，求的分布列和數學期望；（3）轉化為百分制后，規(guī)定成績在，的為等級，成績在，的為等級，其它為等級．以樣本估計總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學競賽的同學中隨機抽取100人，其中獲得等級的人數設為，記等級的人數為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大？9．高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內．如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過7次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內．例如小球要掉入3號球槽，則在前6次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下．（1）若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；（2）小明同學在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|．①求X的分布列：②高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小明同學能盈利嗎？10．某市環(huán)保部門對該市市民進行垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統(tǒng)計結果如下表所示：組別男235151812女051010713（1）若將問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”．請完成答題卡中的列聯(lián)表．根據列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“環(huán)保關注者”與性別有關？（2）若將問卷得分不低于80分的市民稱為“環(huán)保達人”，從我市所有“環(huán)保達人”中隨機抽取5人，這5人中男性的人數記為X，求X的分布列及數學期望．附：0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828．11．一機床生產了個汽車零件，其中有個一等品、個合格品、個次品，從中隨機地抽出個零件作為樣本.用表示樣本中一等品的個數.（1）若有放回地抽取，求的分布列；（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計總體中一等品的比例.①求誤差不超過的的值；②求誤差不超過的概率（結果不用計算，用式子表示即可）12．很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結合機動車駕駛人有違法行為一次記12分?6分?3分?2分的新規(guī)定設置了一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強學習，成績不低于95分的為合格.（1）求這12名新手的平均成績與方差；（2）將頻率視為概率，根據樣本估計總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會，用X表示成績合格的人數，求X的分布列與數學期望.13．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）．設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立．（1）若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，求該盤游戲獲得分的概率；（2）設每盤游戲獲得的分數為，求的分布列；（3）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少？14．加強兒童青少年近視防控，促進兒童青少年視力健康是中央關心、群眾關切、社會關注的“光明工程”．為了解青少年的視力與學習成績間的關系，對某地區(qū)今年初中畢業(yè)生的視力和中考成績進行調查．借助視力表測量視力情況，測量值5.0及以上為正常視力，5.0以下為近視．現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的視力測量值和中考成績數據，得到視力的頻率分布直方圖如圖：其中，近視的學生中成績優(yōu)秀與成績一般的人數比例為，成績一般的學生中視力正常與近視的人數比例為．（1）根據頻率分布直方圖的數據，將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認為視力情況與學習成績有關；學習成績視力情況視力正常近視合計成績優(yōu)秀成績一般合計（2）將頻率視為概率，從該地區(qū)今年初中畢業(yè)生中隨機抽取3人，設近視的學生數為，求的分布列與期望．附：，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.63515．某醫(yī)院為篩查某病毒，需要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，為了優(yōu)化檢驗方法，現(xiàn)在做了以下兩種檢驗方式：實驗一：逐份檢驗，則需要檢驗次.實驗二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記釆用逐份檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數為，釆用混合檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數為.（1）若每份樣本檢驗結果是陽性的概率為，以該樣本的陽性概率估計全市的血液陽性概率，從全市人民中隨機抽取3名市民，（血液不混合）記抽取到的這3名市民血液成陽性的市民個數為，求的分布列及數學期望（2）若每份樣本檢驗結果是陽性的概率為，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求的最大值.（，，）16．青年大學習是共青團中央組織的青年學習行動，共青團中央用習近平新時代中國特色社會主義思想武裝全團?教育青年，把深入學習宣傳貫徹黨的十九大精神作為首要政治任務和核心業(yè)務，在全團部署實施“青年大學習”行動.某區(qū)為調在學生學習情況，對全區(qū)高中進行抽樣調查，調查最近一周的周得分情況.如下莖葉圖是抽查的A校和B校各30人得到的這周得分情況：根據成績分為如下等級：成績(單位：分)等級不合格合格良好優(yōu)秀（1）根據莖葉圖判斷A校和B校中的哪個學校完成學習的效果更好，并說明理由(不要求計算)；（2）現(xiàn)要從A校被抽查的成績等級合格和不合格的8名同學中任選4人進行座談，記其中所含不合格人數，求的分布列和期望；（3）若將所統(tǒng)計的這60人的頻率作為概率，在全區(qū)的高中學生中任意抽取4人參加知識競賽，記其中所含成績優(yōu)秀人數，求的分布列?期望和方差.17．2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識到健康的重要性，云南省全面開展愛國衛(wèi)生7個專項行動及健康文明生活的6條新風尚行動，其中“科學健身”鼓勵公眾每天進行60分鐘的體育鍛煉．某社區(qū)從居民中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的平均每天鍛煉時間（單位：分鐘/天），得到的數據如下表：（所有數據均在0~120分鐘/天之間）平均鍛煉時間人數2739ab4515頻率0.090.130.38c0.150.05（1）求，，的值；（2）為了鼓勵居民進行體育鍛煉，該社區(qū)決定對運動時間不低于分鐘的居民進行獎勵，為使30%的人得到獎勵，試估計的取值？（3）在第（2）問的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎勵的人中隨機抽取4人，設這4人中日均鍛煉時間不低于80分鐘的人數為，求的分布列和數學期望．18．某高中隨機抽取部分高一學生調查其上學路上所需的時間(單位:分鐘)，并將所得數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學路上所需時間的范圍是，樣本數據分組為（1）求直方圖中的值；（2）如果上學路上所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多少名學生可以申請住宿；（3）從學校的高一學生中任選4名學生，這4名學生中上學路上所需時間少于40分鐘的人數記為，求的分布列和數學期望.(以直方圖中的頻率作為概率)19．某同學參加籃球投籃測試，罰球位上定位投中的概率為，三步籃投中的概率為，測試時罰球位上投籃投中得2分，三步籃投中得1分，不中得0分，每次投籃的結果相互獨立，該同學罰球位上定位投籃1次，三步上籃2次.（1）求“該同學罰球位定位投籃投中且三步籃投中1次”的概率；（2）求該同學的總得分X的分布列和數學期望.20．在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息，得到如下表格：潛伏期/天人數85205310250130155（1）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關；潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50歲）6510050歲以下總計200（2）以這1000名患者的潛伏期不超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期不超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立，為了深入研究，該研究團隊隨機調查了該地區(qū)的3名患者，設該3名患者中潛伏期不超過6天的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望．附：0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中．21．為了提高學生身體素質，引導學生廣泛發(fā)展其體育愛好，某大學每年會舉辦一次盛大的羽毛球比賽，其賽制如下：采用七局四勝制，比賽過程中