/廣東省揭陽市2024-2025學(xué)年高二下冊第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷一?單選題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】解絕對值不等式求得集合，結(jié)合，可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)椋曰颍忠驗(yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確，，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知，則（）A.10 B. C.5 D.【正確答案】A【分析】通過求解即可；【詳解】解法一：，解法二：因?yàn)?，所以，故選：A.3.若雙曲線的實(shí)軸長為4，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，解方程即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為4，所以，解得.故選：A.4.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由題意先求出時(shí)的的值，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以“”不能推出“”；“”能推出“”，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C.36 D.18【正確答案】C【分析】先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而得到的值，也就得到的值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式求出.【詳解】已知數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，已知，，那么.又因?yàn)?，所?對兩邊同時(shí)開平方，得到，即.

由，已知，，所以.因?yàn)椋?

在等差數(shù)列中，.又因?yàn)椋?

故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求導(dǎo)可得,則可轉(zhuǎn)化問題為在上有解,進(jìn)而求解即可詳解】由題,,因?yàn)?則若函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,即在上有解,即存,使得成立,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,所以,即,故選:B本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性問題,考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù),考查轉(zhuǎn)化思想7.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，，在上的投影向量的模為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】C【分析】取M為的中點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，根據(jù)條件得，由在上的投影向量的模為得，利用雙曲線的定義可得結(jié)果.【詳解】取M為的中點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，∵,∴，∴，∵在上的投影為，∴,∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C.方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線的離心率問題往往需根據(jù)題目條件建立關(guān)于的一個(gè)等量關(guān)系或不等關(guān)系，結(jié)合離心率定義得解.8.棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列結(jié)論不正確的是（）A.動點(diǎn)的軌跡的長度為B.的最小值為C.三棱錐體積的最小值為D.當(dāng)三棱錐體積取最小值時(shí)，其外接球的表面積為【正確答案】C【分析】取，的中點(diǎn)，連接，可得為動點(diǎn)的軌跡，計(jì)算可判斷A；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，求解可判斷B；由，可得在處時(shí)，體積最小，求解可判斷C；外接球的球心在過中點(diǎn)且與平面垂直的直線上，求得外接球的表面積可判斷D.【詳解】對于A，取，的中點(diǎn)，連接，所以，又易證，所以，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)（包括邊界），且平面，所以為動點(diǎn)的軌跡，又，所以動點(diǎn)的軌跡的長度為，故A正確；對于B，又易得，所以為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，所以的最小值為，故B正確；對于C，，其中為到的距離，所以最小時(shí)，最小，顯然在處時(shí)，最小，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以外接球的球心在過中點(diǎn)且與平面垂直的直線上，設(shè)外接球的球心為，由，可得，所以，解得，所以，所以外接球的表面積為，故D正確.故選：C.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分.9.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)代入得，再代入求得，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)與可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，即可判斷選項(xiàng)B；由選項(xiàng)B可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)與即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選項(xiàng)A正確.因?yàn)?，即，所?因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.故選項(xiàng)B正確.由選項(xiàng)B知，，所以，即當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A.若有三個(gè)零點(diǎn)，則 B.C.是的極小值點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，則【正確答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性并求出、，結(jié)合零點(diǎn)定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得，或，當(dāng)，或，，當(dāng)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，對于A，由得，即，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，可得在上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，可得在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，是的極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，則，解得，故D正確.故選：ABD.11.在2024年巴黎奧運(yùn)會藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【正確答案】ABD【分析】對于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得；對于C，將直點(diǎn)線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求得弦長，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)對稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)函數(shù)滿足，則__________.【正確答案】【分析】利用極限運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的定義可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為.13.某商場進(jìn)行“福氣到”抽獎活動，福袋中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5的五個(gè)相同小球，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，若號碼之和是3的倍數(shù)，可獲獎.則獲獎概率是__________.【正確答案】#【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合組合數(shù)計(jì)算獲獎概率．【詳解】每次抽獎中，總情況數(shù)為種，獲獎的共有這4種，所以，故答案為.14.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且，若，則的最小值為______．【正確答案】##【分析】根據(jù)題意分析可得，利用裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)而求的取值范圍即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，且，可得，即，則，又因?yàn)?，即，且，可得，即，故，若，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用兩次余弦定理即可.（2）利用，得出，，然后結(jié)合兩角和差公式即可.【小問1詳解】在中，又因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜傻?【小問2詳解】由（1）可得，從而，.故16.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先求出切線方程，然后將代入，得到的通項(xiàng)公式，然后利用等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）得到，所以，然后利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問1詳解】，所以切線的斜率為，又，所以直線的方程為，代入得，所以，所以，所以為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以.17.如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且四棱錐的體積為．（Ⅰ）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；（Ⅱ）若，且二面角的余弦值為，求的值．【正確答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題意結(jié)合體積公式可得．據(jù)此可知證得，同理可得．結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明題中的結(jié)論即可；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，由結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得，據(jù)此可得平面的一個(gè)，平面的一個(gè)法向量為，據(jù)此得到關(guān)于的方程，解方程即可確定的值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，所以平面，又四邊形是邊長為的正方形，且四棱錐的體積為，所以，即，所以．又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，同理可得．又，所以平面，又平面，所以平面平面．（Ⅱ）如圖，連接，易得，，互相垂直，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，點(diǎn)在棱上，所以，又，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，因?yàn)?，，所以，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，所以，即，解得（負(fù)值舍去）．本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18.如圖，已知：橢圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓左焦點(diǎn)作圓的切線，求切線方程．（3）設(shè)為（1）中雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和，與橢圓的交點(diǎn)分別為和．是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為（），根據(jù)題意，可求得m的值，即可得雙曲線方程；（2）討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離對于半徑，求出斜率，即可得到切線方程．（3）設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式，可得的表達(dá)式，同理可得的表達(dá)式，再可得，從而化簡可解.【小問1詳解】由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，又橢圓，則橢圓的左、右焦點(diǎn)為，所以，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，所以直線不是切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則圓心到切線的距離為，化簡得，解得，所以切線方程.【小問3詳解】設(shè)，設(shè)直線的方程為，由，得，顯然，可得，由韋達(dá)定理得，∴，同理可得，則設(shè)．則，∵點(diǎn)在雙曲線上，所以，∴，∴，故，因此存在，使恒成立．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，則，，由點(diǎn)在雙曲線上，得從而.19.已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【正確答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)