一、單選題1．若直線x+ay-1=0的傾斜角的大小為，則實(shí)數(shù)a=()2．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若則P3．已知F為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則AB=4．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123P1-2a0.24a2則E(X)=()A．1.2B．1.04C．1.02D．15．從5人中選擇4人去A，B，C三地調(diào)研，一個(gè)地方安排2人另外兩個(gè)地方各安排1人的安排方法共有()EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(4),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(8),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(n),1)7．某次數(shù)學(xué)測試的單項(xiàng)選擇題，學(xué)生甲有把握答對(duì)其中4道題，余下4道題中，有3道有思路，1道完全沒有思路.若甲答對(duì)每道有思路的題的概率為，答對(duì)每道完全沒有思路的題的概率為，他從這8道題中任抽一題作答，答對(duì)的概率為()8．已知函數(shù)f(x)=x3-x，過點(diǎn)(-2,a)可向曲線y=f(x)引3條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()二、多選題9．?dāng)?shù)字0，1，2，3，4組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)構(gòu)成集合M，則下列說法正確的是()A．M中有偶數(shù)60個(gè)B．M中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個(gè)C．M中2，4不相鄰的數(shù)有72個(gè)D．將M中的元素從小到大排列，第55個(gè)數(shù)為3102410．設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且則A．事件A，B相互獨(dú)立B．11．已知曲線，直線l:y=kx+t，P(m,n)為E上一點(diǎn)，則()2C．對(duì)任意k，t∈R，直線l與E的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過3個(gè)時(shí)，直線l與E有3個(gè)交點(diǎn)三、填空題12．已知隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)若P=0.2.則13．已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則n=.四、解答題15．在一個(gè)不透明的箱子里有8個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)紅球.從中不放回地依次摸出3個(gè)小球.(1)求前兩次摸出的球均為黑球的概率；(2)記X表示摸出的小球中紅球的數(shù)量，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.(1)求BC1與平面BCD所成角的正弦值；(2)求平面BC1D與平面BCD夾角的余弦值.17．“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”.科技進(jìn)步能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek.某公司A部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工一輪至三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為每輪相互獨(dú)立，有兩輪及兩輪以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用DeepSeek.(1)估計(jì)A部門員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的人數(shù)（去尾法精確到個(gè)位(2)已知開展DeepSeek培訓(xùn)前，員工每人每年為公司創(chuàng)造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓(xùn)后，能應(yīng)用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元.DeepSeek培訓(xùn)平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計(jì)劃先將A部門的部分員工隨機(jī)調(diào)至公司其他部門，然后對(duì)其余員工開展DeepSeek培訓(xùn).要保證培訓(xùn)后A部門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，A部門最多可以調(diào)多少人到其他部門？18．已知函數(shù)f(x)=kx-lnx(k∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)k=1時(shí)，若g(x)=f(x+1)-a存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；19．若數(shù)列{an}滿足：a2k=a2k-1+p，且a2k+1=a2k+q（p≥0，q>0且p≠q則稱該數(shù)列{an}為“非線性遞增數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列{bn}為“非線性遞增數(shù)列”，且p=2q=2b1=2.（i）求b3，b4；（ii）記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意的n∈N*，Sn≤λn2恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若數(shù)列{cn}為“非線性遞增數(shù)列”，且滿足p=0，q=2，c1=1，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為An，若不等式對(duì)任意的n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題號(hào)123456789答案DACADCCBABDAC題號(hào)答案ABD由傾斜角和斜率的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】直線x+ay-1=0的斜率解得a=-.故選：D.設(shè)P(X=1)=p，結(jié)合兩點(diǎn)分布方差公式列方程求p即可.【詳解】設(shè)P(X=1)=p，由兩點(diǎn)分布方差公式可得D(X)=p(1-p)，又D(X)=，所以解得，所以故選：A.由拋物線焦點(diǎn)弦公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則所以x1+x2=8，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可得AB=x1+x2+4=12.故選：C.先由概率之和為1解出a=0.2，再由期望公式求解即可.【詳解】由題意可得0.12+1-2a+0.24+a2=1，解得a=0.2或a=1.8，由概率不能大于1，所以舍掉a=1.8，所以a=0.2，故選：A滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從5人中選擇4人，第二步，將所選4人按要求分去A，B，C三地調(diào)研，利用組合知識(shí)求第一步的方法數(shù)，根據(jù)部分平均分組問題的處理方法求第二步的方法數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理求結(jié)論.【詳解】滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從5人中選擇4人，完成該步有CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(4),5)=5種方法，第二步，將所選4人按要求分去A，B，C三地調(diào)研，完成該步的方法數(shù)為由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足要求的方法共有5×36=180種.故選：D.由CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(4),n)n,CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(8),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(n),1)有意義，列不等式求n，再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)镃EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(4),n)一n,CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(8),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(n),1)有意義，*所以n=4，EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(4),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(8),n)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(n),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(0),4)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(4),5)故選：C.利用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“學(xué)生甲從這8題中任選1題且作對(duì)”為事件A，“選到能完整做對(duì)的4道題”為事件B，“選到有思路的3道題”為事件C，“選到完全沒有思路的題”為事件D，由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)故選：C.設(shè)切點(diǎn)后由導(dǎo)數(shù)的意義得到切線方程，代入(-2,a)轉(zhuǎn)化為三次方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根問題，構(gòu)造函數(shù)g(t)求導(dǎo)得到極值點(diǎn)和極值，再根據(jù)三次方程有三個(gè)不同根的條件計(jì)算.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(t,f(t))，由f(x)=x3-x可得f’(x)=3x2-1，所以切線的斜率為f’(t)=3t2-1，所以切線方程為y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t)，由點(diǎn)(-2,a)在切線上代入可得a=(t3-t)+(3t2-1)(-2-t)=-2t3-6t2+2，即三次方程2t3+6t2+(a-2)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以極值點(diǎn)為t=0和t=-2，又極值點(diǎn)處函數(shù)值為g(-2)=6+a,g(0)=a-2，三次方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件是極值點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)，所以(6+a)(a-2)<0，解得-6<a<2.故選：B分個(gè)位數(shù)是否為零兩種情況討論即可判斷A；利用捆綁法即可判斷B，利用排除法結(jié)合捆綁法即可判斷C；易得第55個(gè)數(shù)的首位為3，再列舉即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：若個(gè)位數(shù)為0，則有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24個(gè)；若個(gè)位數(shù)不為0，則個(gè)位數(shù)只能是2,4之一，0只能在中間3個(gè)位置任選一個(gè)位置，剩余3個(gè)數(shù)字在剩余的三個(gè)位置上任意排列，則有2×3AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(3),3)=36個(gè).所以偶數(shù)有60個(gè)，故A正確；對(duì)于B，將1,2看成一個(gè)整體，首位不為0，則有3AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(3),3)AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)=36個(gè)，所以M中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個(gè)，故B正確；對(duì)于C，M種共有4AEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(4),4)=96個(gè)元素，其中2,4相鄰有3AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(3),3)AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)=36個(gè)，首位為1，則有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24個(gè)，首位為2，則有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24個(gè)，首位為3，則有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24個(gè)，所以將M中的元素從小到大排列，第55個(gè)數(shù)的首位為3，則第49個(gè)數(shù)為30124，第50個(gè)數(shù)為30142，第51個(gè)數(shù)為30214，第52個(gè)數(shù)為30241，第53個(gè)數(shù)為30412，第54個(gè)數(shù)為30421，第55個(gè)數(shù)為31024，故D正確.故選：ABD.已知P(A+B)、P(A)、P(B)關(guān)系公式，把對(duì)應(yīng)值代入就能算出P(AB)．對(duì)于A選項(xiàng)：依據(jù)事件獨(dú)立定義，若P(AB)=P(A)P(B)，則A、B獨(dú)立，算出P(A)P(B)和P(AB)比較即可．P(AB)2P(B)3對(duì)于B選項(xiàng)：用條件概率公式P(A|B)P(AB)2P(B)3 對(duì)于C選項(xiàng)：先求P(A)和P(AB)，再用條件概率公式P(B|A)=計(jì)算，看是否等于．對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)P(AB)=P(A)一P(AB)算出P(AB)，和P(B)比較大小．【詳解】對(duì)于A，已知P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)，將，代入可得：P因?yàn)樗允录嗀，B相互獨(dú)立，A選項(xiàng)正確．對(duì)于B，根據(jù)條件概率公式代入可得：選項(xiàng)錯(cuò)誤．再根據(jù)條件概率公式P(B將，代入可得：選項(xiàng)正確．對(duì)于而所以P(AB)=P(B)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11．ABD化簡曲線方程，確定曲線軌跡，對(duì)于A，結(jié)合軌跡方程消n，求m2+n2的范圍即可判斷，對(duì)于B，結(jié)合根據(jù)方程可得由此可求m-3n的范圍，根據(jù)結(jié)論判斷B，對(duì)于C，取k=0，0<t<1即可判斷，聯(lián)立方程組，解方程即可判斷.當(dāng)-3<x<3時(shí)，方程可化為所以當(dāng)x≥3或x≤-3時(shí)，方程可化為所以長半軸為3的橢圓在x軸上方的部分和中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為實(shí)半軸為3的雙曲線在x軸上方的部分和點(diǎn)(-3,0)，(3,0)組成,所以曲線E的圖象為：對(duì)于A，因?yàn)镻(m,n)為E上一點(diǎn)，若-3<m<3，則所以若m≥3或m≤-3，則-n2=1，n≥0，故正確；對(duì)于B，由m≥3可得所以m2-9n2=9，n≥0，所以0<m-3n≤,故m-3n≤3，B正確，對(duì)于C，當(dāng)k=0，0<t<1時(shí)，直線l與E的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，C錯(cuò)誤；對(duì)于時(shí)，所以2x2+6xt+9t2-9=0，所以方程的根為22假設(shè)則72-36t2≥144-144t+36t2，則t2-2t+1≤0，矛盾，故-3<x1<0，所以曲線與直線，1<t<有兩個(gè)交點(diǎn)，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(3),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(1),t))上單調(diào)遞增，所以滿足條件，所以曲線與直線，1<t<有一個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)1<t<時(shí)，直線l與E有3個(gè)交點(diǎn)，D正確；故選：ABD.根據(jù)題意可得X~N(1,σ2)，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得解.(x-1)【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)2σ2，所以X~N(1,σ(x-1)所以P(-1≤X≤3)=1-2P(X>3)=0.6.故答案為：0.6.根據(jù)兩項(xiàng)乘積的通項(xiàng)公式結(jié)合沒有常數(shù)項(xiàng)列不等式結(jié)合6≤n≤10計(jì)算求解.由于的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，所以CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(r),n)xn-3r和x2CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(r),n)xn-3r=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(r),n)xn-3r+2都不是常數(shù)，故答案為：8.通過設(shè)向量，利用向量的數(shù)量積和模的性質(zhì)求出a+b與c+d的關(guān)系，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出根據(jù)向量模的計(jì)算公式，可得已知a2+b2=9，所以根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，.=ad-bc，所以.=9．所以存在實(shí)數(shù)λ>0，使得(a,b)=λ(d,-c)，即a=λd，b=-λc．又因?yàn)閍2+b2=c2+d2=9，所以λ2(d2+c2)=d2+c2，即λ2=1，結(jié)合λ>0，可得λ=1，那么a=d，b=-c．化簡|a+b-6|+|c+d-6|將a=d，b=-c代入|a+b-6|+|c+d-6|，可得|a+b-6|+|-b+a-6|．設(shè)x=a+b，y=a-b，則原式可化為|x-6|+|y-6|．由a2+b2=9，根據(jù)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，可得x2+y2=2×9=18．當(dāng)x≥6且y≥6時(shí)，x2+y2≥72，與x2+y2=18矛盾，此情況不存在．π當(dāng)x≥6且y<6時(shí)，|x-6|+|y-6|=x-6+6-y=x-y=3、(cosα-sinα)=6cos(α+)，其最大值為6．π4當(dāng)x<6且y≥6時(shí)，|x-6|+|y-6|=6-x+y-6=y-x=3(sinα-cosα)=6sin(α-π)，其最大值為6．4當(dāng)x<6且y<6時(shí)，|x-6|+|y-6|=6-x+6-y=12-(x+y)=12-3、(cosα+sinα)=12-6sin(α+π)，當(dāng)4時(shí)，取得最大值12+6=18．綜上，|a+b-6|+|c+d-6|的最大值為18．故答案為：18．(2)分布列見解析，E(X)=（1）求出每次為黑球的概率，在相乘即可；（2）寫出隨機(jī)變量的所有取值，再求出對(duì)應(yīng)概率，即可求出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意，前兩次摸出的球均為黑球的概率P=×=；P(X=1)=××+××+××=，P(X=2)=××+××+××=，所以X的分布列為X0123P 28 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCD的法向量，根據(jù)線面角公式計(jì)算即可；（2）利用向量法求平面BC1D與平面BCD的夾角余弦即可.【詳解】（1）以B為原點(diǎn)，以BA,BC,BB1分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BCD的法向量EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up7(→),n)=(x,y,z)，設(shè)BC1與平面BCD所成角為θ,（2）設(shè)平面BC1D的法向量EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up8(→),m)=(x1,y1,z1)，則令x1所以平面BC1D與平面BCD夾角的余弦值為.(2)1（1）求出每個(gè)員工“優(yōu)秀”的概率，再乘以總?cè)藬?shù)即可得解；（2）設(shè)調(diào)出x人，分別求出調(diào)整期和調(diào)整后的利潤，再根據(jù)題意建立不等式，解之即可.【詳解】（1）由題意每個(gè)員工“優(yōu)秀”的概率則估計(jì)A部門員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的人數(shù)為100×≈70.83個(gè)，按去尾法取整，有70人；（2）設(shè)調(diào)出x人，調(diào)整前的利潤為6×100=600（萬元調(diào)整后的利潤為要保證培訓(xùn)后A部門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，則解得因?yàn)閤為整數(shù)，所以最大值為1，即A部門最多可以調(diào)1人到其他部門.18．(1)答案見解析(3)證明見解析（1）求導(dǎo)后分k≤0和k>0討論可得；（2）求導(dǎo)后分析單調(diào)性和最值，再結(jié)合零點(diǎn)可得；當(dāng)a=1時(shí)，令，結(jié)合（2）的結(jié)論和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式得到再兩邊同時(shí)取指數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】（1）f(x)的定義域?yàn)楫?dāng)k≤0時(shí)，因x>0，所以f,(x)<0恒成立，即f(x)在(0,+∞)為單調(diào)遞減函數(shù)；f,(x)>0，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，綜上，當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)為單調(diào)遞減函數(shù)；f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；x∈(|(,+∞),時(shí)，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)間(x)存在零點(diǎn)，所以1-a≤0，，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up12(1),n).（1）根據(jù)“非線性遞增數(shù)列”的定義求出b3,b4，再通過分析數(shù)列{bn}的規(guī)律求前n項(xiàng)和Sn，進(jìn)而判斷是否存在滿足條件的λ;（2）先根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列的前n項(xiàng)和An，最后根據(jù)不等式恒成立求出m的取值范圍.【詳解】（1i）已知p=2q=2b1=2，則p=2，q=1，b1=1.根據(jù)“非線性遞增數(shù)列”的定義b2k=b2k-1+p，b2k+1=b2k+q可得：（ii）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：已知b2k+1=b2k+1，又因?yàn)閎2k=b2k-1+2，所以b2k+1=b2k-1+2+1=b2k-1+3.這表明