/江西省上饒市2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)弋橫鉛聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則（

）A．12 B．18 C．24 D．362．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列中，，且對(duì)任意都有，若，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．沒有最大值10．朱世杰（1249年-1314年），字漢卿，號(hào)松庭，元代數(shù)學(xué)家，教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育，有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù).他的一部名著《算學(xué)啟蒙》是中國(guó)最早的科普著作，該書中有名的是“堆垛問題”，其中有一道問題如下：今有三角錐垛果子，每面底子四十四個(gè)，問共積幾何？含義如下：把一樣大小的果子堆垛成正三棱錐形（如圖所示，給出了5層三角錐垛從上往下看的示意圖），底面每邊44個(gè)果子，頂部?jī)H一個(gè)果子，從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)分別為，共有44層，問全垛共有多少個(gè)果子？現(xiàn)有一個(gè)層三角錐垛，設(shè)從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)組成數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考公式：）A．是等差數(shù)列B．C．函數(shù)單調(diào)遞增D．原書中該“堆垛問題”的結(jié)果為1518011．如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則（

）

A．有對(duì)稱軸B．的弦長(zhǎng)的最大值為C．對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，均存在過且平分圍成區(qū)域的面積的直線D．的面積大于三、填空題12．在等比數(shù)列中，，，則．13．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．若無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱數(shù)列為“階對(duì)等遞進(jìn)數(shù)列”.若數(shù)列是“1階對(duì)等遞進(jìn)數(shù)列”，且，則，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.四、解答題15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，網(wǎng)球女單決賽中，中國(guó)選手鄭欽文擊敗克羅地亞選手維基奇獲得中國(guó)在該項(xiàng)目上首枚金牌！展現(xiàn)了祖國(guó)至上，為國(guó)爭(zhēng)光的赤子情懷．已知網(wǎng)球比賽為三局兩勝制，在鄭欽文與維基奇的單局比賽中，鄭欽文獲勝的概率為，且每局比賽相互獨(dú)立．（1）在此次決賽之前，兩人交手記錄為2021年庫(kù)馬約爾站：鄭欽文0比2不敵維基奇；2023年珠海WTA超級(jí)精英賽：鄭欽文以2比1戰(zhàn)勝維基奇．若用這兩次交手共計(jì)5局比賽記錄來估計(jì)．（?。槎嗌?？（ⅱ）請(qǐng)利用上述數(shù)據(jù)，若鄭欽文再次遇到維基奇，求比賽局?jǐn)?shù)的分布列．（2）如果比賽可以為五局三勝制，若使鄭欽文在五局三勝制中獲勝的概率大于三局兩勝制中獲勝的概率，求的取值范圍？18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的解集；（2）若有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若，求的最大值.19．泰勒公式是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處展開成無(wú)限項(xiàng)的多項(xiàng)式．當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：．注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，和表示在原點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)．(1)求的泰勒公式（寫到含的項(xiàng)為止即可），并估算的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；(2)當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明；(3)設(shè)，證明：．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意可知，則，則.故選C.2．【正確答案】D【詳解】令，則，因?yàn)?，而恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，因?yàn)椋?，，所以，?故選D.3．【正確答案】D【詳解】由任意都有，所以令，則，且，所以是一個(gè)等比數(shù)列，且公比為，則所以，故選D.4．【正確答案】A【詳解】對(duì)任意都有恒成立，不妨設(shè)，則不等式變形為，設(shè)函數(shù)，該函數(shù)在定義域的任意子區(qū)間內(nèi)不是常函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，，當(dāng)時(shí)恒成立，，當(dāng)時(shí)恒成立，，故選A5．【正確答案】B【詳解】的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞減；，即，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選.6．【正確答案】B【詳解】令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，，即，所以；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故．綜上可知．故選B．7．【正確答案】B【詳解】解：令，則，∴．不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，，恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，，在單調(diào)遞增，即等價(jià)于，在恒成立．即，在恒成立.令，則，可得，∴在遞增，在遞減，∴，∴，∴的取值范圍為．故選B．8．【正確答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，點(diǎn)處的切線斜率，則過點(diǎn)的切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，方程有三個(gè)不等實(shí)根．令，求導(dǎo)得到，令，解得，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，如圖所示，

故，即．故選A．9．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以或，即或若，又，，?，所以，符合題意，若，又，則，又，則，與矛盾，不符合題意，所以沒有最大值，所以A、D正確，因?yàn)榍绊?xiàng)均小于1，從項(xiàng)起均大于1，所以無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；又由，所以B正確．故選ABD．10．【正確答案】ACD【詳解】依題意，每層的果子數(shù)分別為，則數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)于A，時(shí)，，為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選ACD11．【正確答案】ACD【詳解】A項(xiàng)，由題意，由，的反函數(shù)為，兩者關(guān)于對(duì)稱，故A正確，B項(xiàng)，，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，注意到，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)為，，故B錯(cuò)誤.C項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為

設(shè)上存在一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為∵函數(shù)與互為反函數(shù)，∴在上，∴關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱，即在封閉圖形中，總存在與任意一點(diǎn)關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，使得直線平分封閉圖形，∴對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，均存在過且平分圍成區(qū)域的面積的直線，C正確；對(duì)于D，如圖，只需考察曲線上到距離的最大值即可，找出過與曲線相切且與平行的點(diǎn)即可，令，令，此時(shí)，到的距離，

，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】在等比數(shù)列中，，則，設(shè)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，同號(hào)，又，所以．13．【正確答案】【詳解】，則，令，.①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則，若時(shí)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，使得，即，但當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減，故，即在單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述：的取值范圍是.14．【正確答案】【詳解】①由題干可知，又因?yàn)閿?shù)列是“階對(duì)等遞進(jìn)數(shù)列”，所以，即，同理可得所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，即，所以；②因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列也是以為周期的周期數(shù)列，所以.15．【正確答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列；（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,所以，16．【正確答案】（1）答案見解析（2）【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得；由得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：（分離參數(shù)法）由已知得在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)建，則構(gòu)建，可知在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；解法二：（分類討論法）由題意可知：在上恒成立，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；且，不合題意；當(dāng)時(shí)，可知，構(gòu)建，可知在上單調(diào)遞增，且，若，則，可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為17．【正確答案】（1）（?。?；（ⅱ）分布列見解析（2）【詳解】（1）（ⅰ）根據(jù)兩次交手記錄，鄭欽文共勝2局，負(fù)3局，因此的估計(jì)值為．（ⅱ）由題知，可取值為、，，，所以的分布列為230.520.48（2）三局兩勝制鄭欽文最終獲勝概率，五局三勝制中鄭欽文最終獲勝的概率所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，即，所以，所以使得五局三勝制獲勝的概率大于三局兩勝獲勝的概率的取值范圍是．18．【正確答案】（1）（2）（3）2【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的解集為.（2）因?yàn)橛袠O值，所以在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以只需，所以.（3）由，得，設(shè)，則，令，得（舍去），或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，即，令，因?yàn)榕c在上都單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以在存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以由可得，又，所以的最大值為2.19．【正確答案】(1)，；(2)，證明見詳解；(3)證明見解析.【分析】（1）求出，根據(jù)泰勒公式可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用