高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東名?？荚嚶?lián)盟2024-2025學(xué)年高二年級下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故選：D.2.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.30 B.45 C.60 D.75【答案】A【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，令，，展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.3.一袋中有外觀完全相同，標(biāo)號分別為1，2，3，4，5的五個球，現(xiàn)在分兩次從中有放回地任取一個球,設(shè)事件“第一次取得5號球”,事件“第二次取得5號球”，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B4.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以為“”.故選：A.5.現(xiàn)有6種不同的顏色給圖中的四塊區(qū)域涂色，若每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A.400種 B.460種 C.480種 D.496種【答案】C【解析】當(dāng)使用4種顏色時，不同的涂法有種方法；當(dāng)使用3種顏色時，不同的涂法有種方法；所以不同的涂法共有種.故選：C.6.已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若增加一個數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差的絕對值為（）A0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】由題設(shè)，則，增加數(shù)據(jù)后，，，且回歸直線為，所以，則，所以，有，故殘差的絕對值為.故選：A7.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，每局兩人各隨機(jī)擲一次骰子，當(dāng)兩人的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時.視為平局，當(dāng)兩人的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時，誰的骰子點(diǎn)數(shù)大該局誰勝．重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比另一方多勝2局或平局4次時停止,記游戲停止時局?jǐn)?shù)為X次,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】甲乙每次擲股子1次，若兩人的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，所以平局的概率，若甲勝，則結(jié)果有，，，，，，，，，9種，所以甲勝的概率為，同理乙勝的概率也為，局?jǐn)?shù)為4次后停止游戲，若4次全平局，概率為；若平局2次，則最后1次不能是平局，另外2次甲全勝或乙全勝，概率為，若平局0次，則一方3勝1負(fù)，且負(fù)的1次只能在前2次中，概率為，所以．故選：D.8.今有A、B、C、D、E、F共6本不同的書全部分給4個同學(xué)，每個同學(xué)至少分到一本，其中A、B必須分給同一個同學(xué)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將這6本不同的書分成四組，再分配到不同的同學(xué)，若書的個數(shù)為3,1,1,1，則不同的安排方法種數(shù)為：種；若書的個數(shù)為2,2,1,1，則不同的安排方法種數(shù)為：種，故不同的安排方法共有種．將這6本不同的書分成四組，再分配到不同的同學(xué)，A，B分給同一個同學(xué)，若書的個數(shù)為3,1,1,1，則不同的安排方法種數(shù)為：種；若書的個數(shù)為2,2,1,1，則不同的安排方法種數(shù)為：種，故不同的安排方法共有種．所以所求事件的概率為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為2 D.的最小值為4【答案】BD【解析】由，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A不正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確.，即，故C不正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選：BD.10.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，任取3個隨機(jī)變量，記在區(qū)間的個數(shù)為X，則正確的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由A知，在區(qū)間的概率為，因此，B正確；對于C，由B知，，因此，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：AB11.有一組成對樣本數(shù)據(jù)，，，，設(shè)，，由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)，下面就這兩組數(shù)據(jù)分別先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)最小二乘法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸直線，最后計(jì)算出殘差平方和，則（）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．相關(guān)系數(shù)．A.兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同 B.兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同C.兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率相同 D.兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距相同【答案】ABC【解析】由于新成對樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)分別為，同理，這樣根據(jù)公式，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，即它們每一個對應(yīng)數(shù)據(jù)的差值都是一樣的，這就說明兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率相同，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同，故A、C正確；由于回歸直線經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，而新數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，即樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，而新數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，故兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距不相同，故D錯誤；由于樣本數(shù)據(jù)回歸直線和新數(shù)據(jù)回歸直線是平行關(guān)系，所以實(shí)際值與估計(jì)值的差的平方和應(yīng)該是相同的，即兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同，故B正確；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)隨機(jī)變量，則的最大值為__________．【答案】1【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為1.故答案為：1.13.為了調(diào)查A，B兩個地區(qū)的觀眾是否喜歡娛樂節(jié)目M，某電視臺隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個地區(qū)的2x名觀眾，已知從A，B兩個地區(qū)隨機(jī)調(diào)查的人數(shù)相同，A地區(qū)喜歡娛樂節(jié)目M的人數(shù)占A地區(qū)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)的，B地區(qū)喜歡娛樂節(jié)目M的人數(shù)占B地區(qū)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)的，若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目M和地區(qū)有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則所有x構(gòu)成的集合為__________．附表：，其中．0.0500.0103.8416.635【答案】【解析】列聯(lián)表為：喜歡不喜歡合計(jì)A地區(qū)B地區(qū)合計(jì)，由認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目M和地區(qū)有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，得，則，解得，又是5的倍數(shù)，則可以取的值為，所以x構(gòu)成的集合為.故答案為：14.a，b，c都為正整數(shù)，，隨機(jī)變量，則______.【答案】3.8【解析】，且，將7個小球排成一列形成6個間隙，用2塊隔板將7個小球分成3部分，每部分小球數(shù)即為,,的取值，因此,,的取值共有種情況，的所有可能取值為3,4,5，當(dāng)時，,,的取值有兩種情況：①,,中有一個是3，余下兩個都為2，則有種情況，②,,中有二個是3，余下一個為1，則有種情況，則；當(dāng)時，即,,中有一個是4，余下兩個分別為1,2，則有種情況，；當(dāng)時，即,,中有一個是5，余下兩個都是1，則有種情況，；所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.下圖為某學(xué)校20個公用電話日使用次數(shù)的頻率分布直方圖，如圖所示，其中各組區(qū)間為，，，，．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并求日使用次數(shù)在內(nèi)的公用電話個數(shù)；（2）從這20個公用電話中任取2個，設(shè)這2個公用電話中日使用次數(shù)在內(nèi)的有X個，求X的分布列和期望．解：（1）由頻率分布直方圖，得，所以；日使用次數(shù)在內(nèi)的頻率為，所以日使用次數(shù)在內(nèi)的公用電話個數(shù)為.（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.16.某地區(qū)有20000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽（滿分為100分），隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．試估計(jì)成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．解：（1）由頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)的估計(jì)值：，所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.（2）由頻率分布直方圖知，前3組的頻率和為，第4組的頻率為0.24，所以樣本的分位數(shù)為.（3）由（1）知，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，則，因此,所以成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)約為.17.某景區(qū)經(jīng)過提質(zhì)改造后統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345參觀人數(shù)y2.22.63.15.26.9（1）建立關(guān)于的回歸直線方程，預(yù)測第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)；（2）該景區(qū)只開放東門，西門供游客出入，游客從東門，西門進(jìn)入該景區(qū)的概率分別為、，且出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇相同的門的概率為，出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇不同的門的概率為.假設(shè)游客從東門，西門出入景區(qū)互不影響，求甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.附：參考數(shù)據(jù)：.參考公式：回歸直線方程，其中，.解：（1）依題意，，而，則，，因此，當(dāng)時，，所以關(guān)于回歸直線方程為，第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)約為千人.（2）記“甲從西門進(jìn)入景區(qū)”為事件，“甲從西門出景區(qū)”為事件，“乙從西門出景區(qū)”為事件，，，由全概率公式得，同理，所以甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.18.有個編號分別是的不透明的罐子里裝有除顏色外完全相同的糖果.第1個罐子中裝有3顆紅色糖果和2顆綠色糖果，其余罐子中都裝有2顆紅色糖果和2顆綠色糖果.現(xiàn)先從第1個罐子中隨機(jī)取出一顆糖果放入第2個罐子，再從第2個罐子中隨機(jī)取出一顆糖果放入第3個罐子，依此類推，直至從第個罐子中隨機(jī)取出一顆糖果.設(shè)事件表示從第個罐子中取出紅色糖果，記事件發(fā)生的概率為.（1）求的值；（2）求的值，并證明：當(dāng)時，；（3）求（用含的式子表達(dá)）.解：（1）在第一個罐子中共有糖果顆，其中紅色糖果有3顆，根據(jù)古典概型概率公式，（2）由（1）知，，所以，當(dāng)時，由全概率公式，得所以,即；（3）記，由（2）知遞推關(guān)系式，變形為，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則,即.19.某廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同種保溫杯，保溫杯按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的保溫杯的質(zhì)量，在甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的保溫杯中抽取800個樣本，一級品有600個，其余均為二級品．在乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的保溫杯中抽取2000個樣本，一級品有1600個，其余均為二級品．（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下列表格，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲生產(chǎn)線的一級品率與乙生產(chǎn)線的一級品率有差異？一級品二級品合計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)（2）現(xiàn)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的保溫杯中按一級品和二級品中，按比例用分層隨機(jī)抽樣法抽取8個保溫杯，再從這8個保溫杯中隨機(jī)抽取3個保溫杯，記抽取的3個保溫杯中一級品的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（3）用樣本頻率估計(jì)總體概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線所有保溫杯中隨機(jī)抽取100個保溫杯，記其中一級品的保溫杯個數(shù)為，求使事件“”的概率最大時r的值．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依題意，列聯(lián)表如下：一級品二級品合計(jì)甲生產(chǎn)線600200800乙生產(chǎn)線16004002000合計(jì)22006002800零假設(shè)：甲生產(chǎn)線的一級品率與乙生產(chǎn)線的一級品率無差異，根據(jù)列聯(lián)